Nichtkommutative Geometrie

Als nichtkommutative Geometrie bezeichnet man in der Mathematik die Untersuchung nichtkommutativer C^*-Algebren mittels aus der Topologie stammender Invarianten wie K-Theorie und Homologietheorien. Sie wurde wesentlich von Alain Connes begründet und ausgebaut mit Vorarbeiten, die bis auf Israel Gelfand zurückgehen.

Motivation

Topologische Räume (genauer: lokalkompakte Hausdorff-Räume) entsprechen kommutativen C^*-Algebren. Man kann nämlich jedem lokalkompakten topologischen Raum $X$ die Algebra der im unendlichen verschwindenden, komplex-wertigen, stetigen Funktionen $C_{0}(X,\mathbb {C} )$ (mit der Supremums-Norm als Norm und der komplexen Konjugation als Involution) zuordnen, die eine kommutative C^*‑Algebra ist. Umgekehrt besagt der Satz von Gelfand-Neumark, dass es zu jeder kommutativen C^*‑Algebra $A$ einen lokalkompakten Hausdorff-Raum $X$ mit einem C^*‑Isomorphismus $A\simeq C_{0}(X,\mathbb {C} )$ gibt.

Insbesondere kann man Invarianten topologischer Räume auch als Invarianten kommutativer C^*-Algebren auffassen.

Die Idee der nichtkommutativen Geometrie ist nun, an die Definitionen der Topologie angelehnte Invarianten auch für nichtkommutative C^*-Algebren zu definieren und diese für die Untersuchung und Klassifikation von C^*‑Algebren nutzbar zu machen. Zu den in diesem Zusammenhang untersuchten Invarianten gehören Topologische K-Theorie, Zyklische Homologie und Hochschild-Homologie von C^*-Algebren.

Ein spezielleres Thema ist die Theorie der Spektraltripel, diese sollen die Differentialgeometrie riemannscher Spin-Mannigfaltigkeiten verallgemeinern.

Die Theorie wurde von Connes und Matilde Marcolli auch auf die Zahlentheorie angewandt. Der Versuch, die nichtkommutative Geometrie auch in der Physik anzuwenden, führte zum nichtkommutativen Standardmodell und zu nichtkommutativen Inkarnationen der M-Theorie.

Literatur

• Alain Connes: Noncommutative geometry. Academic Press, Inc., San Diego, CA, 1994. ISBN 0-12-185860-X online (pdf)
• José M. Gracia-Bondía, Joseph C. Várilly, Héctor Figueroa: Elements of noncommutative geometry. Birkhäuser Advanced Texts: Basler Lehrbücher. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2001. ISBN 0-8176-4124-6
• Alain Connes, Matilde Marcolli: Noncommutative geometry, quantum fields and motives. American Mathematical Society Colloquium Publications, 55. American Mathematical Society, Providence, RI; Hindustan Book Agency, New Delhi, 2008. ISBN 978-0-8218-4210-2 online (pdf)
• Masoud Khalkhali: Basic noncommutative geometry. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2009. ISBN 978-3-03719-061-6
• Joseph C. Várilly: An introduction to noncommutative geometry. EMS Series of Lectures in Mathematics. European Mathematical Society (EMS), Zürich, 2006. ISBN 978-3-03719-024-1; 3-03719-024-8

Weblinks

• Andrew Lesniewski, Noncommutative geometry, Notices AMS, 1997, Nr.7
• Matilde Marcolli: Nichtkommutative Geometrie und Zahlentheorie. Max-Planck-Gesellschaft
• Alexander Schenkel: Nichtkommutative Geometrie und Gravitation. Berichtskolloquium Graduiertenkolleg 1147. Institut für Theoretische Physik und Astrophysik, Universität Würzburg, 13. Juli 2009
• Journal of Noncommutative Geometry