Der Kototient einer Zahl ist definiert als . Dabei ist die Eulersche Phi-Funktion (auch Totient von genannt), welche angibt, wie viele zu teilerfremde natürliche Zahlen es gibt, die nicht größer als sind. Der Wert gibt somit die Anzahl der natürlichen Zahlen an, welche mindestens einen Primfaktor mit gemeinsam haben.

In der Zahlentheorie ist eine hochkototiente Zahl (vom englischen highly cototient number) eine natürliche Zahl , für welche die Gleichung

mehr Lösungen hat als die Gleichung für jede andere natürliche Zahl .

Eine hochkototiente Zahl, welche Primzahl ist, nennt man hochkototiente Primzahl.

Beispiele

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  • Die Kototienten  , also die Anzahl der positiven ganzen Zahlen  , welche mindestens einen Primfaktor mit   gemeinsam haben, lauten (für  ):
0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, 1, 38, 35, 40, 17, 54, 1, 48, 27 … (Folge A051953 in OEIS)
Beispiel:
An der 7. Stelle obiger Liste steht die Zahl  . Die Zahl   hat   teilerfremde Zahlen, welche kleiner als   sind (nämlich alle von   bis  ), somit ist   und daher ist tatsächlich  .
Mit anderen Worten: Die Zahl   hat nur mit der Zahl   mindestens einen Primfaktor gemeinsam, deswegen ist der Kototient von   gleich  .
An der 6. Stelle obiger Liste steht die Zahl  . Die Zahl   hat   teilerfremde Zahlen, welche kleiner als   sind, nämlich   und  . Somit ist   und daher ist tatsächlich  .
Mit anderen Worten: Die Zahl   hat mit den Zahlen  ,  ,   und   mindestens einen Primfaktor gemeinsam, deswegen ist der Kototient von   gleich  .
  • Eine Primzahl   ist nur durch   und sich selbst teilbar. Somit ist sie zu den Zahlen   bis   teilerfremd. Also ist   (siehe Berechnung der Eulerschen Phi-Funktion). Somit gilt:
 
Der Kototient jeder Primzahl ist somit gleich   (was klar sein sollte, zumal jede Primzahl nur mit sich selbst mindestens einen Primfaktor gemeinsam hat). Es gibt unendlich viele Primzahlen, also gibt es auch unendlich viele Lösungen der Gleichung   für  . Wenn man also für hochkototiente Zahlen die Zahl   erlauben würde, gäbe es keine weiteren natürlichen Zahlen  , welche für die Gleichung   mehr Lösungen als   hätte. Deswegen wird   als Sonderfall per Definition ausgeschlossen, es muss deswegen   sein.
  • Sei  . Es gibt zwei Lösungen der Gleichung  , nämlich   und  :
Die Zahl   ist zu den Zahlen   und   teilerfremd, es gibt also zwei zu   teilerfremde Zahlen und es ist deswegen  . Somit ist  . Der Kototient der Zahl   ist also  , es gibt   Zahlen, die kleiner oder gleich   sind, welche mit   mindestens einen Primfaktor gemeinsam haben.
Die Zahl   ist zu den Zahlen   und   teilerfremd, es gibt also vier zu   teilerfremde Zahlen und es ist deswegen  . Somit ist  . Der Kototient der Zahl   ist also ebenfalls  , es gibt   Zahlen, die kleiner oder gleich   sind, welche mit   mindestens einen Primfaktor gemeinsam haben.
Es gibt keine andere natürliche Zahl  , welche kleiner als   ist, für welche die Gleichung   zwei oder mehr Lösungen hat. Somit ist   eine hochkototiente Zahl.
Mit anderen Worten: es gibt genau zwei Zahlen, nämlich   und  , deren Kototient   ist. Die Anzahl der Zahlen, deren Kototient   ist, darf jeweils nicht größer oder gleich   sein. Da dies der Fall ist, ist   eine hochkototiente Zahl.
Tatsächlich kommt in der obigen Liste der Kototienten der Wert   nur zwei Mal vor, nämlich an der 6. und an der 8. Stelle.
  • Sei  . Es gibt drei Lösungen der Gleichung  , nämlich  ,   und  :
Die Zahl   ist zu den Zahlen   und   teilerfremd, es gibt also vier zu   teilerfremde Zahlen und es ist  . Somit ist  .
Die Zahl   ist zu den Zahlen   und   teilerfremd, es gibt also sechs zu   teilerfremde Zahlen und es ist  . Somit ist  .
Die Zahl   ist zu den Zahlen   und   teilerfremd, es gibt also acht zu   teilerfremde Zahlen und es ist  . Somit ist  .
Es gibt keine andere natürliche Zahl  , welche kleiner als   ist, für welche die Gleichung   drei oder mehr Lösungen hat. Somit ist   eine hochkototiente Zahl.
Mit anderen Worten: es gibt genau drei Zahlen, nämlich  ,   und  , deren Kototient   ist. Die Anzahl der Zahlen, deren Kototient   ist, darf jeweils nicht größer oder gleich   sein. Da dies der Fall ist, ist   eine hochkototiente Zahl.
Tatsächlich kommt in der obigen Liste der Kototienten der Wert   nur drei Mal vor, nämlich an der 12., an der 14. und an der 16. Stelle.
  • Die ersten hochkototienten Zahlen sind die folgenden:
2, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 119, 167, 209, 269, 299, 329, 389, 419, 509, 629, 659, 779, 839, 1049, 1169, 1259, 1469, 1649, 1679, 1889, 2099, 2309, 2729, 3149, 3359, 3569, 3989, 4199, 4289, 4409, 4619, 5249, 5459, 5879, 6089, 6509, 6719, 6929 … (Folge A100827 in OEIS)
Die Zahlen dieser Liste werden definitionsbedingt immer größer (im Gegensatz zur Liste, die im nächsten Beispiel steht).
Diese oberen hochkototienten Zahlen sind die Kototienten für   Zahlen (aufsteigend für  ):
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13, 15, 19, 20, 22, 25, 28, 31, 34, 41, 42, 46, 52, 58, 59, 69, 74, 77, 83, 93, 99, 116, 130, 138, 140, 156, 165, 166, 167, 173, 192, 200, 218, 219, 223, 241, 242, 271, 276, 292, 304, 331 … (Folge A101373 in OEIS)
Beispiel:
An der 12. Stelle der ersten Liste steht die Zahl  . An der 12. Stelle der unteren Liste steht die Zahl  . Das bedeutet, dass es   verschiedene Zahlen gibt, deren Kototient   ergibt. Keine andere Zahl kleiner als   ist der Kototient von gleich viel oder mehr als   verschiedenen Zahlen, was   zur hochkototienten Zahl macht.
  • Die nächste Liste gibt die kleinsten Zahlen an, welche Kototient für   Zahlen sind (aufsteigend für  ):
10, 0, 4, 8, 23, 35, 47, 59, 63, 83, 89, 113, 143, 119, 197, 167, 279, 233, 281, 209, 269, 323, 299, 359, 497, 329, 455, 605, 389, 461, 479, 419, 539, 599, 509, 755, 791, 713, 875, 797, 719, 629, 659, 1025, 1163, 929, 779, 1193, 1121, 899, 1133, 1091, 839 … (Folge A063741 in OEIS)
Diese Liste ähnelt sehr der vorigen Liste der hochkototienten Zahlen, es können die Zahlen aber im Gegensatz zur vorigen Liste der hochkototienten Zahlen auch wieder kleiner werden.
Beispiel 1:
An der  -ten Stelle steht die Zahl  . Es gibt keine Zahl  , für welche   lösbar wäre. Somit hat keine Zahl   den Kototienten  . Zahlen  , für welche es keine Zahlen   gibt, für welche   lösbar wäre, nennt man Nichtkototient (vom englischen Noncototient). Die kleinsten Nichtkototienten lauten:[1]
10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122 … (Folge A005278 in OEIS)
Beispiel 2:
An der  -ten Stelle (wenn man mit   zu zählen beginnt) steht die Zahl  . Es gibt somit   Zahlen, deren Kototient   ist und es gibt kein  , welche ebenfalls Kototient für   Zahlen wäre. Somit ist   der kleinste Wert, für den es   Zahlen gibt, die alle denselben Kototient, nämlich  , haben.
Vergleicht man diesen Wert aber mit der Liste der hochkototienten Zahlen direkt darüber, dann stellt man fest, dass dort an der  -ten Stelle die Zahl   steht. Diese Zahl ist der Kototient von   verschiedenen Zahlen, die alle denselben Kototient, nämlich  , haben. Weil es keinen kleineren Wert   gibt, der Kototient für   oder mehr Zahlen ist, ist   eine hochkototiente Zahl. Der Wert   ist zwar der kleinste Wert, der Kototient von   verschiedenen Zahlen ist, da er aber größer als   ist, ist er nicht hochkototient und kommt deswegen in dieser Liste nicht vor.
  • Es folgt eine Tabelle, von der man etwas leichter die hochkototienten Zahlen ablesen kann. In der ersten Spalte sind die aufsteigenden  , in der zweiten Spalte stehen diejenigen Zahlen, deren Kototient   ist und in der dritten Spalte kann man die Anzahl der Zahlen ablesen, die in der zweiten Spalte stehen. Jedes Mal, wenn in dieser dritten Spalte eine höhere Zahl steht als in allen anderen Zeilen zuvor (außer bei  ), handelt es sich bei   um eine hochkototiente Zahl (welche gelb eingefärbt wird). Am Ende der Tabelle werden noch ein paar ausgewählte weitere   angeführt, die in obigen Beispielen eventuell auftauchen:

Hochkototiente Primzahlen

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  • Die kleinsten hochkototienten Primzahlen sind die folgenden:
    2, 23, 47, 59, 83, 89, 113, 167, 269, 389, 419, 509, 659, 839, 1049, 1259, 1889, 2099, 2309, 2729, 3359, 3989, 4289, 4409, 5879, 6089, 6719, 9029, 9239, 10289, 10709, 11549, 13649, 13859, 15329, 15959, 20789, 21839, 23099, 25409, 27299, 30029, … (Folge A105440 in OEIS)

Eigenschaften

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  • Es gibt unendlich viele hochkototiente Zahlen. Es sind aber nur 229 hochkototiente Zahlen bekannt (Stand: 23. Februar 2020).[2]
  • Unter den bekannten 229 hochkototienten Zahlen sind nur die ersten drei, nämlich  ,   und   gerade Zahlen. Alle anderen sind ungerade Zahlen.[2]
  • Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen enden alle zwischen der 14. und der 229. hochkototienten Zahl mit der Ziffer 9.[2] Es gilt also für alle diese hochkototienten Zahlen   von   bis  :
 
  • Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 9. und der 229. hochkototienten Zahl bei Division durch 6 einen Rest von 5.[2] Es gilt also für alle diese hochkototienten Zahlen   von   bis  :
 
  • Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 14. und der 229. hochkototienten Zahl bei Division durch 30 einen Rest von 29.[2] Es gilt also für alle diese hochkototienten Zahlen   von   bis  :
 
  • Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 41. und der 229. hochkototienten Zahl bei Division durch 210 einen Rest von 209.[2] Es gilt also für alle diese hochkototienten Zahlen   von   bis  :
 
  • Von den bekannten 229 hochkototienten Zahlen ergeben alle zwischen der 169. und der 229. hochkototienten Zahl bei Division durch 2310 einen Rest von 2309.[2] Es gilt also für alle diese hochkototienten Zahlen   von   bis  :
 
  • Wenn man die obigen Ergebnisse zusammenfasst, erhält man folgendes Ergebnis:
Mit Ausnahme der ersten drei hochkototienten Zahlen  ,   und   sind alle weiteren bekannten hochkototienten Zahlen kongruent -1 modulo einer Primfakultät.[3]
Beispiel:
Die ersten Primfakultäten lauten  ,  ,  ,   und  .
Die 200. hochkototiente Zahl ist  . Tatsächlich ist  . Es ist auch  ,  ,   und  .

Siehe auch

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Einzelnachweise

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  1. Eric W. Weisstein: Noncototient. In: MathWorld (englisch).
  2. a b c d e f g Liste der ersten 229 hochkototienten Zahlen auf OEIS A100827
  3. Comments zu OEIS A100827