Heun-Verfahren

Das Heun-Verfahren, benannt nach Karl Heun, ist ein einfaches Verfahren zur numerischen Lösung von Anfangswertaufgaben. Es ist ein Einschrittverfahren und ist ein Beispiel für ein zweistufiges explizites Runge-Kutta-Verfahren.

Im Gegensatz zum expliziten Euler-Verfahren erfolgt die Näherung über ein Trapez und nicht über ein Rechteck.

Verfahren

Zur numerischen Lösung des Anfangswertproblems

$y'=f(t,y),\quad \quad y(t_{0})=y_{0}$

für eine gewöhnliche Differentialgleichung mit dem Verfahren von Heun wähle man eine Diskretisierungsschrittweite $h>0$, betrachte die diskreten Zeitpunkte

$t_{k+1}=t_{0}+kh,\quad \quad k=0,1,2,\dots$

und berechne zunächst analog zum expliziten Euler-Verfahren

$y_{k+1}^{[P]}=y_{k}+hf(t_{k},y_{k})\quad ,\quad k=0,1,2,\dots$

und dann

$y_{k+1}=y_{k}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{k},y_{k})+f(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots$

was sich umformen lässt zu

$y_{k+1}={\frac {1}{2}}y_{k}+{\frac {1}{2}}(y_{k+1}^{[P]}+hf(t_{k+1},y_{k+1}^{[P]}))\quad ,\quad k=0,1,2,\dots$

Die $y_{k}$ sind die Näherungswerte der tatsächlichen Lösungsfunktion $y(t)$ zu den Zeitpunkten $t_{k}$.

Mit $h$ wird die Schrittweite bezeichnet. Verkleinert man diese, so wird der Verfahrensfehler kleiner (sprich: die $y_{k}$ liegen näher am tatsächlichen Funktionswert $y(t_{k})$). Der globale Fehler des Verfahrens von Heun geht mit $h^{2}$ gegen null; man spricht auch von Konvergenzordnung 2.

Ähnliche Einschrittverfahren

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