In der Mathematik ist Extremwert (oder Extremum; Plural: Extrema) der Oberbegriff für ein lokales oder globales Maximum oder Minimum. Ein lokales Maximum bzw. lokales Minimum ist der Wert der Funktion an einer Stelle , wenn die Funktion in einer hinreichend kleinen Umgebung keine größeren bzw. kleineren Werte annimmt; die zugehörige Stelle wird lokaler Maximierer bzw. lokaler Minimierer, Maximalstelle bzw. Minimalstelle oder zusammenfassend auch Extremstelle genannt, die Kombination aus Stelle und Wert Extrempunkt oder je nach Art des Extremums Hoch- bzw. Tiefpunkt. Umgangssprachlich wird ein Hochpunkt auch als Gipfel bezeichnet.

Minima und Maxima der Funktion cos(3πx)/x im Bereich 0,1 ≤ x ≤ 1,1

Ein globales Maximum wird auch absolutes Maximum genannt, für ein lokales Maximum wird auch der Begriff relatives Maximum gebraucht. Lokale und globale Minima sind analog definiert.

Die Lösung einer Extremwertaufgabe, für eine einfache Darstellung siehe Kurvendiskussion, nennt man die extremale Lösung.

Eindimensionaler Fall

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Formale Definitionen

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Es sei   eine Teilmenge der reellen Zahlen (z. B. ein Intervall) und   eine Funktion.

  hat an der Stelle  

  • ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung   von   in   gibt, so dass   für alle   gilt;
  • ein globales Minimum, wenn   für alle   gilt;
  • ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung   von   in   gibt, so dass   für alle   gilt;
  • ein globales Maximum, wenn   für alle   gilt.[1]

Gibt es eine Umgebung   von  , in der für alle   sogar die strenge Ungleichung   (bzw.  ) gilt, so spricht man von einem strengen[2] oder isolierten[3] lokalen Minimum (bzw. Maximum).

Besitzt die Funktion an der Stelle   ein strenges lokales Maximum, so nennt man den Punkt   Hochpunkt, hat sie dort ein strenges lokales Minimum, so heißt der Punkt Tiefpunkt. Liegt ein Hoch- oder ein Tiefpunkt vor, so spricht man allgemein von einem Extrempunkt.[4]

Existenz von Extrema

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Jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall nimmt ein globales Maximum und ein globales Minimum an.[A 1] Dieser Satz vom Minimum und Maximum folgt aus dem Satz von Heine-Borel, wird aber oft auch nach Karl Weierstraß oder Bernard Bolzano benannt. Es handelt sich um eine reine Existenzaussage, die keine Informationen darüber liefert, wie die Extrema ggf. aufgefunden werden können.

Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

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Ist   eine differenzierbare Funktion auf einer offenen Menge  , so lässt sie sich mithilfe der Differentialrechnung auf Extremstellen untersuchen.

Notwendiges Kriterium

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Hat   an einer Stelle   ein lokales Extremum, so ist dort die erste Ableitung gleich null:[2]

 .

Neben lokalen Extrema erfüllen auch Sattelpunkte dieses Kriterium.[A 2] Ein klassisches Beispiel ist die Funktion  , deren Ableitung im Punkt   verschwindet, ohne dass die Funktion dort ein lokales Extremum hat. Zum Nachweis der Extrempunkteigenschaft bedarf es deshalb eines hinreichenden Kriteriums oder weiterer Überlegungen.

Hinreichende Kriterien

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  • Ist   zweimal differenzierbar, und gilt neben   auch  , so hat   an der Stelle   ein strenges lokales Extremum. Ist   und  , handelt es sich dabei um ein strenges lokales Minimum, für   dagegen um ein strenges lokales Maximum (Kriterium der 2. Ableitung).[5]
  • Ist   und außerdem   lokal um   (streng) monoton wachsend (bzw. steigend), so hat   bei   ein (strenges) lokales Minimum (bzw. Maximum).[6]
  • Aus den ersten beiden Kriterien folgt eine allgemeinere Aussage: Ist   n-mal differenzierbar und gilt
 
so folgt:
(1) Ist   gerade sowie   (bzw.  ), so hat   bei   ein strenges lokales Maximum (bzw. Minimum).
(2) Ist   hingegen ungerade, so ist   bei   streng monoton steigend oder fallend (hat also dort einen Sattelpunkt).[7]
  • Ist   und gilt zudem   (bzw.  ) für alle   und   (bzw.  ) für alle   in einer Umgebung von  , so hat   bei   ein lokales Minimum (Maximum).[8] Gelten sogar die strengen Ungleichungen   und  , d. h. wechselt   bei   das Vorzeichen, so liegt ein strenges lokales Minimum bzw. Maximum vor (Vorzeichenwechselkriterium).[9]
  • Für stetige Funktionen auf Intervallen gilt: Zwischen zwei lokalen Minima einer Funktion liegt stets ein lokales Maximum, und zwischen zwei lokalen Maxima liegt stets ein lokales Minimum.
  • Für differenzierbare Funktionen auf Intervallen gilt: Gibt es zwei Stellen   mit  , so dass die erste Ableitung im Intervall   nur die Nullstelle   hat, und sind   sowie  , so hat   bei   ein lokales Minimum. Gilt die analoge Bedingung mit   und  , so hat   bei   ein lokales Maximum.

Es gibt allerdings auch Funktionen, bei denen keines der oben genannten Kriterien weiterhilft (siehe das letzte Beispiel).

Beispiele

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  •   Die erste Ableitung   hat nur bei   eine Nullstelle. Die zweite Ableitung   ist dort positiv, also nimmt   bei 0 ein lokales Minimum an, nämlich  .
  •   Die erste Ableitung   hat nur bei   eine Nullstelle. Die zweite Ableitung   ist dort ebenfalls 0. Man kann nun auf verschiedene Arten fortfahren:
    • Auch die dritte Ableitung   ist dort 0. Die vierte Ableitung hingegen ist mit   die erste höhere Ableitung, die nicht 0 ist. Da diese Ableitung einen positiven Wert hat und gerade ist, gilt nach (1), dass die Funktion dort ein lokales Minimum besitzt.
    • Die erste Ableitung hat bei 0 einen Vorzeichenwechsel von Minus nach Plus, also hat   bei   ein lokales Minimum.
    • Es ist  , also hat   im Intervall   ein lokales Minimum. Da die erste Ableitung in diesem Intervall nur die Nullstelle   hat, muss das lokale Minimum dort angenommen werden.
  • Die Funktion, die durch   für   und durch   definiert ist, hat die folgenden Eigenschaften:
    • Sie hat bei   ein globales Minimum.
    • Sie ist beliebig oft differenzierbar.
    • Alle Ableitungen bei   sind gleich 0.
    • Die erste Ableitung hat keinen Vorzeichenwechsel bei 0.
    • Auch die anderen beiden oben genannten Kriterien sind nicht anwendbar.

Anwendungsbeispiel

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In der Praxis können Extremwert-Berechnungen zur Lösung von Optimierungsproblemen verwendet werden, wie das folgende Beispiel zeigt:

  • Wie muss ein Rechteck aussehen, das bei einem gegebenen Umfang einen maximalen Flächeninhalt hat?

Lösungsweg:

Wird die Länge des Rechtecks mit   bezeichnet und seine Breite mit   ( ), so lautet die Formel für die zu maximierende Rechtecksfläche   (Zielfunktion). Durch Umstellen der Umfangsformel   erhält man  . Einsetzen in die Flächenformel eliminiert die Variable   in der Zielfunktion:

 .

Die notwendige Bedingung liefert Kandidaten für ein lokales Maximum. Dazu bildet man die erste Ableitung

 

und setzt sie gleich null:

 .

Hieraus erhält man durch elementare Umformungen als einzigen Kandidaten  .

Die zweite Ableitung lautet

 .

Sie ist für jedes   negativ, also insbesondere für  . Somit liegt dort ein lokales Maximum vor, das zugleich das globale Maximum ist (da   der einzige Kandidat für ein lokales Maximum ist). Durch Einsetzen der Maximalstelle in   erhält man auch  . Also ist der größtmögliche Flächeninhalt eines Rechtecks bei vorgegebenen Umfang dann zu erzielen, wenn beide Seitenlängen gleich sind (was einem Quadrat entspricht). Umgekehrt lässt sich aber auch sagen, dass ein Rechteck mit vorgegebenem Flächeninhalt den geringsten Umfang aufweist, wenn seine Länge und sein Höhe im Verhältnis   zueinander stehen, d. h. wenn das Rechteck ein Quadrat ist.

Mehrdimensionaler Fall

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Definitionen

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Ist   eine Funktion, die von einer Teilmenge   nach   abbildet, so werden die Begriffe des Minimums und des Maximums völlig analog zum eindimensionalen Fall definiert:

  hat bei  

  • ein lokales Minimum (bzw. lokales Maximum), wenn es eine Umgebung   von   in   gibt, so dass   (bzw.  ) für alle  ;
  • ein globales Minimum (bzw. globales Maximum), wenn   (bzw.  ) für alle  .

Bestimmung von Extremstellen differenzierbarer Funktionen

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Analog zum eindimensionalen Fall ist bei einer (total) differenzierbaren Funktion   das Verschwinden des Gradienten, d. h. aller partiellen Ableitungen von   in  -Richtungen, eine notwendige Bedingung dafür, dass   in einem Punkt   im Inneren von   ein lokales Extremum annimmt. Hat   bei   ein lokales Extremum, so muss also gelten:

 .

Hinreichend ist in diesem Fall die Definitheit der Hesse-Matrix  : Ist sie positiv definit, liegt ein lokales Minimum vor; ist sie negativ definit, handelt es sich um ein lokales Maximum; ist sie indefinit, liegt kein Extrempunkt, sondern ein Sattelpunkt vor. Wenn sie nur semidefinit ist, ist keine Entscheidung anhand der Hesse-Matrix möglich (siehe peanosche Fläche).

Unendlichdimensionaler Fall

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Definition

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Der Begriff des Maximums und des Minimums überträgt sich direkt auf den unendlichdimensionalen Fall. Ist   ein Vektorraum und   eine Teilmenge dieses Vektorraumes sowie   ein Funktional, so hat   an der Stelle  

  • ein (globales) Minimum, wenn   für alle  ,
  • ein (globales) Maximum, wenn   für alle  .

Der Zusatz „global“ wird meist weggelassen, wenn aus dem Zusammenhang klar ist, was gemeint ist. Ist   zusätzlich mit einer Topologie versehen, also ein topologischer Raum, dann hat   an der Stelle  

  • ein lokales Minimum, wenn es eine Umgebung   von   gibt, so dass   für alle   gilt,
  • ein lokales Maximum, wenn es eine Umgebung   von   gibt, so dass   für alle   gilt.

Ein Punkt heißt ein (lokales) Extremum, wenn er ein (lokales) Minimum oder ein (lokales) Maximum ist. Jedes globale Minimum (Maximum) ist ein lokales Minimum (Maximum).

Existenz, Eindeutigkeit und Geometrie von Extrema

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Existenz

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Entsprechend den Existenzaussagen für reelle Funktionen gibt es auch Aussagen für die Existenz von Extremalstellen von Funktionalen. Ist   ein normierter Raum, so gilt:

Da diese Version für die Anwendung und Überprüfung oft unpraktisch ist, schwächt man dies ab zu der Aussage, dass jedes stetige quasikonvexe Funktional auf einer beschränkten, konvexen und abgeschlossenen Teilmenge eines reflexiven Banachraums ein Minimum annimmt. Diese Aussage gilt auch für alle konvexen Funktionale, da diese immer quasikonvex sind. Im Endlichdimensionalen kann auf die Konvexität der Teilmenge verzichtet werden.

Eindeutigkeit

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Unter gewissen Umständen sind die Optimalpunkte sogar eindeutig bestimmt. Dazu gehört zum Beispiel die strikte Konvexität.

Geometrie

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Schränkt man sich auf gewisse Klassen von Funktionalen ein, so kann man Aussagen über die Geometrie der Menge der Extremalpunkte treffen.

  • Ist das Funktional quasikonvex auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Minima konvex.
  • Ist das Funktional quasikonkav auf einer konvexen Menge, so ist die Menge der Maxima konvex.
  • Ist das Funktional konvex auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Minimum ein globales Minimum.
  • Ist das Funktional konkav auf einer konvexen Menge, so ist jedes lokale Maximum ein globales Maximum.

Andere Arten von Extremwerten

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Diskrete Optimierung

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Bei diskreten Optimierungsproblemen ist der oben definierte Begriff des lokalen Extremums nicht geeignet, da in jedem Punkt ein lokales Extremum in diesem Sinne vorliegt. Für Extrema einer Funktion   wird daher ein anderer Umgebungsbegriff verwendet: Man benutzt eine Nachbarschaftsfunktion  , die jedem Punkt die Menge seiner Nachbarn zuordnet,

 

dabei steht   für die Potenzmenge von  .

  hat dann ein lokales Maximum in einem Punkt  , wenn   für alle Nachbarn   gilt. Lokale Minima sind analog definiert.

Variationsrechnung

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Extremwerte von Funktionen, deren Argumente selbst Funktionen sind, z. B. die Kontur eines Regentropfens mit minimalem Luftwiderstand, sind Gegenstand der Variationsrechnung.

Anmerkungen

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  1. Dabei können die Extremstellen auch in den Randpunkte des Intervalls liegen. In diesem Fall spricht man auch von einem Randminimum bzw. Randmaximum.
  2. Eine Stelle  , an denen die Bedingung   erfüllt ist, heißt kritischer Punkt oder stationärer Punkt. Kritische Punkte sind mögliche Kandidaten für Extremstellen. Mithilfe der hinreichenden Kriterien identifiziert man unter den kritischen Punkten diejenigen, die tatsächlich Extremstellen sind.

Siehe auch

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Wiktionary: Extremwert – Bedeutungserklärungen, Wortherkunft, Synonyme, Übersetzungen

Literatur

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Einzelnachweise

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  1. Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis I. 3. Auflage. Birkhäuser Verlag, Basel 2006, ISBN 3-7643-7755-0, S. 333.
  2. a b Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. S. 247.
  3. Vladimir A. Zorich: Analysis I. S. 223.
  4. Andreas Büchter, Hans-Wolfgang Henn: Elementare Analysis. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2010, ISBN 978-3-8274-2091-6, S. 254.
  5. Otto Forster, Florian Lindemann: Analysis 1. 13. Auflage. S. 254.
  6. Theodor Bröcker: Analysis 1. S. 98.
  7. Theodor Bröcker: Analysis 1. S. 99.
  8. Konrad Königsberger: Analysis 1. 6. Auflage. Springer, Berlin / Heidelberg 2004, ISBN 978-3-540-40371-5, S. 146.
  9. Vladimir A. Zorich: Analysis 1. S. 248.