Dirichlet-Kern
Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.
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Definition
BearbeitenAls Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge
Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von mit einer Funktion der Periode ist die Fourier-Approximation -ten Grades für . Beispielsweise ist
wobei
der -te Fourierkoeffizient von ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L1-Norm von für logarithmisch gegen geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.[1] Explizit gilt nämlich:
Für die -Notation siehe Landau-Symbole.
Beziehung zur Delta-Distribution
BearbeitenDie periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit -periodischen Funktionen:
für jede Funktion mit Periode . Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:
Beweis der trigonometrischen Identität
BearbeitenDie trigonometrische Identität
kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:
Insbesondere gilt
Multipliziert man Zähler und Nenner mit , erhält man
Im Fall von erhält man
und kürzt schließlich mit .
Literatur
Bearbeiten- Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
- Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S. 620 (vollständige Online-Version (Google Books))
Weblinks
Bearbeiten- Dirichlet Kernel bei PlanetMath (engl.)
Einzelnachweise
Bearbeiten- ↑ W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101