Dirichlet-Kern

wichtige Funktionenfolge in der Fourieranalysis

Der Dirichlet-Kern ist eine von Peter Gustav Lejeune Dirichlet untersuchte Funktionenfolge. Diese wird in der Analysis im Teilgebiet der Fourier-Analysis verwendet. Dirichlet fand im Jahr 1829 den ersten strengen Beweis für die Konvergenz der Fourier-Reihe von einer periodischen, stückweise stetigen und stückweise monotonen Funktion. Die Konvergenz von Fourier-Reihen wurde schon seit Leonhard Euler diskutiert. Diese von Dirichlet gefundene Funktionenfolge ist wichtiger Bestandteil dieses Beweises und wird dort als Integralkern verwendet. Deshalb nennt man sie Dirichlet-Kern.

Die ersten vier Dirichlet-Kerne. (Die Funktionen sind 2π-periodisch.)

Definition

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Als Dirichlet-Kern bezeichnet man die Funktionenfolge

 

Die Bedeutung des Dirichlet-Kerns hängt mit dem Verhältnis zur Fourierreihe zusammen. Die Faltung von   mit einer Funktion   der Periode   ist die Fourier-Approximation  -ten Grades für  . Beispielsweise ist

 

wobei

 

der  -te Fourierkoeffizient von   ist. Daraus lässt sich schließen, dass es zum Studium der Konvergenz von Fourierreihen ausreicht, die Eigenschaften des Dirichlet-Kerns zu studieren. Aus der Tatsache, dass die L1-Norm von   für   logarithmisch gegen   geht, kann man herleiten, dass es stetige Funktionen gibt, die nicht durch ihre Fourierreihe dargestellt werden.[1] Explizit gilt nämlich:

 

Für die  -Notation siehe Landau-Symbole.

Beziehung zur Delta-Distribution

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Die periodische Delta-Distribution ist das neutrale Element für die Faltung mit  -periodischen Funktionen:

 

für jede Funktion   mit Periode  . Die Fourierreihe wird durch folgende "Funktion" repräsentiert:

 

Beweis der trigonometrischen Identität

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Die trigonometrische Identität

 

kann wie folgt bewiesen werden. Dazu vergegenwärtige man sich die endliche Summe der geometrischen Reihe:

 

Insbesondere gilt

 

Multipliziert man Zähler und Nenner mit  , erhält man

 

Im Fall von   erhält man

 

und kürzt schließlich mit  .

Literatur

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  • Kurt Endl, Wolfgang Luh: Analysis II. Eine integrierte Darstellung. 7. Auflage, Aula-Verlag, Wiesbaden 1989, S. 117.
  • Andrew M. Bruckner, Judith B. Bruckner, Brian S. Thomson: Real Analysis. ClassicalRealAnalysis.com 1996, ISBN 013458886X, S. 620 (vollständige Online-Version (Google Books))
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Einzelnachweise

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  1. W. Rudin, Real and Complex Analysis. McGraw-Hill, London 1970. Abschnitt 5.11, S. 101