Ein Disphenoid (auch gleichschenkliges Tetraeder[1]) ist ein Polyeder mit vier deckungsgleichen Dreiecken als Seitenflächen. Ein Disphenoid besteht aus zwei Sphenoiden (Diedern), das sind offene Formen mit je zwei Flächen.
Charakterisierungssätze
Nach dem Satz von Bang[2] ist ein Disphenoid ein dreidimensionales Simplex mit einer der folgenden äquivalenten Charakterisierungen:
- Die jeweils gegenüberliegenden (unverbundenen) Kanten haben die gleiche Länge.
- Die 4 Dreiecke sind kongruent.
- Die 4 Dreiecke haben denselben Umfang.
- Die 4 Dreiecke haben dieselbe Fläche.
Eine anderer Charakterisierungssatz ist der folgende:
- Ein Tetraeder ist ein Disphenoid dann und nur dann, wenn die Inkugel und die Umkugel konzentrisch sind.[3]
In voller Allgemeinheit gilt sogar folgender Charakterisierungssatz:
- Ein Tetraeder ist gleichschenklig dann und nur dann, wenn von den vier Punkten:
- – Mittelpunkt der Inkugel
- – Mittelpunkt der Umkugel
- – Monge-Punkt
- – Schwerpunkt
- mindestens zwei zusammenfallen. In diesem Falle fallen sogar alle vier Punkte zusammen.[3]
Spezialfälle
Ist ein Dreieck (und damit alle) gleichschenklig, so spricht man von einem gleichschenkligen Disphenoid. Dann stehen die beiden gegenüberliegenden Kanten, die nicht zu den gleichen Schenkeln gehören, windschief senkrecht aufeinander.
Ist ein Dreieck (und damit alle) gleichseitig, dann ist das Disphenoid ein regelmäßiges Tetraeder.
Berechnung eines beliebigen Disphenoids
Ein Disphenoid ist durch eines der 4 kongruenten Dreiecke bestimmt. Da ein Dreieck durch 3 voneinander unabhängige Angaben zur Größe seiner Seiten und/oder Winkel bestimmt ist, ist ein Disphenoid ebenfalls durch 3 voneinander unabhängige Angaben bestimmt.
Beispiele
Disphenoide kommen in der Natur als Kristallform vor: Sie sind die allgemeine Flächenform der Kristallklassen 222 (rhombisch-disphenoidische) und 4 (tetragonal-disphenoidische Klasse).
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Dieder (Sphenoid) -
rhombisches Disphenoid mit drei ungleichen Achsen A, B, C -
tetragonales Disphenoid -
Spezialfall: reguläres Tetraeder mit sechs gleichen Kanten
Literatur
- Nathan Altshiller-Court: Modern Pure Solid Geometry. 2. Auflage. Chelsea Publishing Company, Bronx, NY 1964, ISBN 0-8284-0147-0.
Einzelnachweise
- ↑ Eric W. Weisstein: Isosceles Tetrahedron. In: MathWorld (englisch).
- ↑ Ross Honsberger, Mathematische Juwelen, Verlag Vieweg, 1982, S. 82
- ↑ a b Altshiller-Court: S. 105–108.