Tétraèdre équifacial
En géométrie, un tétraèdre équifacial, ou disphénoïde (du grec sphenoeides, « en forme de coin »), est un tétraèdre (non plan) dont les quatre faces sont des triangles isométriques. Une condition équivalente est que les arêtes opposées soient de même longueur.
Il a été signalé dans les Annales de Gergonne dès 1810, puis beaucoup étudié par les géomètres des XIXe et XXe siècles[1].
Le tétraèdre régulier est équifacial mais un tétraèdre équifacial peut avoir des arêtes de trois longueurs différentes.
Propriétés
[modifier | modifier le code]Le tétraèdre équifacial est invariant par les trois demi-tours d'axes les bimédianes (joignant les milieux de deux arêtes opposées), qui sont aussi les bihauteurs (perpendiculaires communes à deux arêtes opposées) , et concourent en un point O. Ce point est donc à la fois centre de la sphère circonscrite et de la sphère inscrite, et centre de gravité des quatre sommets du tétraèdre[1].
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/a/ad/Equifacialpatron.gif/300px-Equifacialpatron.gif)
Tous ses angles solides et les figures de sommet sont identiques, et la somme des mesures en degrés des angles des faces arrivant à chaque sommet est égale à 180°.
Les longueurs des six arêtes d'un tétraèdre équifacial ont trois valeurs , et les angles des faces, trois valeurs , angles en de la face .
D'après l'inégalité triangulaire sur les angles arrivant à un même sommet, , donc : les angles des faces sont strictement aigus [2],[3].
Son parallélépipède circonscrit (dont les trois paires de faces parallèles sont incluses dans les paires de plans parallèles contenant deux arêtes opposées - voir ci-contre) est rectangle.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c2/Equifacialparallelepipede.gif/220px-Equifacialparallelepipede.gif)
Le carré de la longueur du côté de ce parallélépipède, longueur qui est aussi celle de la bimédiane joignant à dans le tétraèdre, est ; on obtient les autres par permutations [4]. Ceci confirme que les angles sont aigus.
L'un des deux patrons du tétraèdre équifacial est un triangle aigu d'angles et de longueurs de côtés , divisé en quatre triangles semblables par des segments reliant les milieux des côtés.
Caractérisations
[modifier | modifier le code]Un tétraèdre (non plan) est équifacial si et seulement si [5],[6]:
- les faces sont semblables
- les faces sont isométriques
- les faces ont le même périmètre
- les faces ont la même aire [2],[5],[3]
- les arêtes opposées sont de même longueur
- son parallélépipède circonscrit est rectangle[3]
- Les bimédianes sont perpendiculaires aux arêtes qu'elles relient[3]
- les perpendiculaires communes à deux arêtes opposées sont deux à deux perpendiculaires
- le centre de la sphère circonscrite et le centre de gravité des sommets coïncident
- le centre de la sphère circonscrite et celui de la sphère inscrite coïncident
- les défauts angulaires des quatre sommets ( moins la somme des mesures des angles des faces adjacentes) sont égaux à .
Un tétraèdre dont les bihauteurs sont concourantes est équifacial, orthocentrique ou formé d'un losange gauche et de ses diagonales [7],[8],[9].
Les tétraèdres équifaciaux sont les seuls polyèdres ayant une infinité de géodésiques fermées non auto-sécantes, et toutes les géodésiques fermées sont non auto-sécantes [10].
Formules métriques
[modifier | modifier le code]La sphère circonscrite a pour rayon[11]:
La sphère inscrite a pour rayon[11]:
avec
où est le rayon des cercles circonscrits aux faces et l'aire de n'importe quelle face, donnée par la formule de Héron.
La longueur commune des quatre hauteurs est égale à [11].
Le volume d'un tétraèdre équifacial d'arêtes opposées de longueurs a, b, c est donné par [11]
On en déduit la relation intéressante suivante reliant le volume et le rayon de la sphère circonscrite :
Articles connexes
[modifier | modifier le code]- le tétraèdre orthocentrique
- le tétraèdre trirectangle
- le disphénoïde adouci, solide de Johnson à 12 faces triangulaires équilatérales et une symétrie D2d .
Références
[modifier | modifier le code]- Victor Thébault, « Sur le tétraèdre dont les arêtes opposées sont deux à deux égales », L'Enseignement mathématique, , p. 50-60 (lire en ligne)
- Jean-Marc LÉVY-LEBLOND et Jean-Paul MARMORAT, « Tout tétraèdre équiaire est équifacial », Quadrature, janvier-février-mars 2021 (lire en ligne
)
- Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, , p. 382-383
- Pierre Audibert, « Tétraèdres équifaciaux, ou disphénoïdes »
- Em. Lemoine, « Quelques théorèmes sur les tétraèdres dont les arêtes opposées sont égales deux à deux, et solution de la question 1272 », Nouvelles annales de mathématiques, 2e série, vol. 19, , p. 133-138 (lire en ligne)
- « concours général 1992 - exercice 3 »,
- E. Ehrhart, Articles de mathématiques : Sur les tétraèdres dont les perpendiculaires communes aux arêtes opposées sont concourantes, Cedic/Nathan, , p. 75-76
- E. Ehrhart, « Sur le triangle et le tétraèdre », Bulletin de l'APMEP, no 381, , p. 621 (lire en ligne)
- Bertrand Gambier, « Sur les tétraèdres dont certaines bihauteurs se rencontrent », Bulletin de la S. M. F., vol. 76, , p. 79-94 (lire en ligne)
- (en) Dmitry, Ekaterina Fuchs, « Closed geodesics on regular polyhedra », Moscow Mathematical Journal, vol. 7 (2), , p. 265–279 (lire en ligne
)
- Yvonne et René Sortais, Géométrie de l'espace et du plan, Hermann, , p. 330-336
Paul COUDERC, Augustin BALLICCIONI, Premier livre du tétraèdre à l'usage des élèves de première, de mathématiques, des candidats aux grandes écoles et à l'agrégation., Paris, Gauthier-Villars, , p. 137-175
- (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Disphenoid » (voir la liste des auteurs).