Undergruppe

Gruppeteori

Gruppeteori Grundlæggende begreber Undergruppe Normal undergruppe Kvotientgruppe Gruppehomomorfi (semi-)direkte produkt Endelige grupper og klassifikation af endelige simple grupper Cyklisk gruppe Zn Symmetrisk gruppe, Sn Diedergruppe, Dn Alternerende gruppe An Mathieugrupper M11, M12, M22, M23, M24 Conwaygrupper Co1, Co2, Co3 Jankogrupper J1, J2, J3, J4 Fischergrupper F22, F23, F24 Babymonstergruppen B Monstergruppen M Diskrete grupper og gitre Heltallene, Z Gitter (gruppe) Modulære grupper, PSL(2,Z) og SL(2,Z) Topologiske grupper og Liegrupper Solenoide (matematik) Cirkelgruppen Den generelle lineære gruppe GL(n) Den specielle lineære gruppe SL(n) Den ortogonale gruppe O(n) Den specielle ortogonale gruppe SO(n) Den unitære gruppe U(n) Den specielle unitære gruppe SU(n) Den symplektiske gruppe Sp(n) G2 F4 E6 E7 E8 Lorentzgruppen Poincarégruppen Konform gruppe Diffeomorfigruppe Løkkegruppen

Givet en gruppe G med binær operator *, siges en delmængde H i gruppeteori at være en undergruppe af G, hvis H også danner en gruppe med operatoren *. Mere præcist er H en undergruppe af G, hvis restriktionen af * på H er en gruppeoperator på H.

En ægte undergruppe af en gruppe G er en undergruppe H, der er en ægte delmængde af G (dvs. H ≠ G.) Den trivielle undergruppe af en gruppe er undergruppen {e}, der kun består af det neutrale element. Hvis H er en undergruppe af G, kaldes G af og til en overgruppe af H.

De samme definitioner gælder mere generelt, når G er en arbitrær semigruppe, men denne artikel vil kun omhandle undergrupper af grupper. Gruppen G betegnes undertiden ved det ordnede par (G,*) for at lægge vægt på operatoren *, når G har flere algebraiske eller andre strukturer.

I det følgende benyttes den almindelige konvention med at droppe * og skrive produktet a*b som ab.

Grundlæggende egenskaber ved undergrupper

• H er en undergruppe af en gruppe G, hvis og kun hvis den ikke er tom og er lukket under produkter og inverser. (Lukkethedskravet betyder følgende: Hvis a og b er elementer i H, er også ab og a⁻¹ elementer i H. Disse to krav kan kombineres i et enkelt ækvivalent krav: Hvis a og b er elementer i H, er også ab⁻¹ et element i H.) I tilfældet hvor H er endelig, er H en undergruppe af G hvis og kun hvis H er lukket under produkter. (I dette tilfælde frembringer ethvert element a i H en endelig cyklisk undergruppe af H, og den inverse til a er a⁻¹ = a^{n − 1}, hvor n er ordenen af a.
• Det ovenstående krav kan udtrykkes ved brug af en gruppehomomorfi: H er en undergruppe af en gruppe G hvis og kun hvis H er en delmængde af G og der findes en inklusionshomomorfi (dvs., i(a) = a for alle a) fra H til G.
• Det neutrale element i undergruppen er det neutrale element i gruppen: Hvis G er en gruppe med neutralt element e_G, og H er en undergruppe af G med neutralt element e_H, er e_H = e_G.
• Et inverst element til et element i undergruppen er det inverse element til elementet i gruppen: Hvis H er en undergruppe af en gruppe G, og a og b er elementer i H, så ab = ba = e_H, er ab = ba = e_G.
• Fællesmængden af to undergrupper, A og B, er igen en undergruppe. Foreningsmængden af to undergrupper, A og B, er en undergruppe hvis og kun hvis den ene af de to er indeholdt i den anden; eksempelvis er 2 og 3 indeholdt i foreningen af 2Z og 3Z, men deres sum, 5, er ikke.
• Ethvert element a i en gruppe G frembringer den cykliske undergruppe <a>. Hvis <a> er isomorf på Z/nZ for et positivt heltal n, er n det mindste positive heltal, for hvilket aⁿ = e, og n kaldes ordenen af a. Hvis <a> er isomorf på Z, siges a at have uendelig orden.

Eksempel

Lad G være den abelske gruppe med elementer

G={0,2,4,6,1,3,5,7},

og gruppeoperator addition modulo otte. Dens Cayleytabel er

+	0	2	4	6	1	3	5	7
0	0	2	4	6	1	3	5	7
2	2	4	6	0	3	5	7	1
4	4	6	0	2	5	7	1	3
6	6	0	2	4	7	1	3	5
1	1	3	5	7	2	4	6	0
3	3	5	7	1	4	6	0	2
5	5	7	1	3	6	0	2	4
7	7	1	3	5	0	2	4	6

Gruppen har to ikketrivielle undergrupper: J={0,4} og H={0,2,4,6}, hvor J også er en undergruppe af H. Cayleytabellen for H er kvadranten øverst til venstre i Cayley-tabellen for G. Gruppen g er cyklisk, og det samme er dens undergrupper. Det gælder generelt, at undergrupper af cykliske grupper er cykliske.

Sideklasser og Lagranges sætning

Uddybende artikel: Sideklasse

Givet en undergruppe H af en gruppe G og et element a i G, defineres venstresideklassen aH af H ved aH = {ah | h ∈ H}. Da multiplikation med a er invertibelt, er afbildningen φ : H → aH givet ved φ(h) = ah en bijektion. Yderligere gælder, at ethvert element i G er indeholdt i præcis en venstresideklasse af H; venstresideklasserne er ækvivalensklasserne hørende til ækvivalensrelationen a₁ ~ a₂ hvis og kun hvis a₁⁻¹a₂ ∈ H. Antallet af venstresideklasser af h kaldes indekset af H i G og betegnes [G : H].

Lagranges sætning siger, at der, for en endelig endelig gruppe G og en undergruppe H, gælder, at

$[G:H]={\frac {|G|}{|H|}}$

hvor |G| og |H| betegner ordenen af henholdsvis G og H. Specielt går ordenen af enhver undergruppe af G (og ordenen af ethvert element i G) op i ordenen af G.

Højresideklasser defineres analogt: Ha = {ha | h ∈ H}. De er ligeledes ækvivalensklasserne for en passende ækvivalensrelation og antallet af dem er lig [G : H].

Hvis aH = Ha for alle a i G, siges H at være en normal undergruppe. Enhver undergruppe med indeks 2 er normal: Venstresideklasserne og højresideklasserne er ganske simpelt undergruppen og dens komplement.