Dodekaeder

Dodekaeder
Klik på billedet for større version. Animation
Type	Platonisk
Sideflade	femkant
Sideflader	12
Kanter	30
Hjørner	20
Sideflader ved hvert hjørne	3
Hjørner ved hver sideflade	5
Symmetrigruppe	ikosaedralsk (I_h)
Dualt polyeder	ikosaeder
Egenskaber	regulær, konveks

Et regulært dodekaeder (græsk: ~ tolv ansigter) er et platonisk legeme som består af tolv femkantede sideflader, med tre der mødes ved hvert hjørne. Det har tyve hjørner og tredive kanter. Dens duale polyeder er ikosaedret. De kanoniske koordinater for hjørnene af et dodekaeder med midtpunkt i origo er {(0,±1/φ,±φ), (±1/φ,±φ,0), (±φ,0,±1/φ), (±1,±1,±1)}, hvor φ = (1+√5)/2 er det gyldne snit. Fem terninger kan laves fra disse, med deres kanter som diagonaler i dodekaedrets sideflader, og sammen danner disse den regulære polyediske sammensætning med fem terninger. Stellationen af dodekaedret udgør tre ud af de fire Kepler-Poinsot-legemer.

Arealet, A, og volumenet, V, af et regulært dodekaeder med sidelængden, a, er:

A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\ a^{2}

V={\begin{matrix}{1 \over 4}\end{matrix}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}

Udtrykket dodekaeder bruges også til andre polyedre med tolv sideflader, mest bemærkelsesværdigt det rombiske dodekaeder som er dualt i forhold til kuboktaedret og findes i naturen som en krystalform fx granat. Det almindelige dodekaeder kaldes nogle gange for pentagondodekaeder for at man kan kende forskel på dem.