Platonisk legeme

Et platonisk legeme er et konvekst polyeder hvor samtlige sideflader udgøres af kongruente regulære polygoner, og sådan at det samme antal sideflader mødes ved i hvert hjørne. Sammenlign med Kepler-Poinsot legemerne, some ikke er konvekse, og de archimediske og johnson legemer, som, selv om de er lavet af regulære polygoner, ikke selv er regulære.

Der er fem platoniske legemer, samtlige kendt af oldegrækerne:

Navn og billede	Fladepolygon	Kanter	Hjørner	Flader der mødes ved hver hjørne	Symmetrigruppe
tetraeder (Animering)	trekant	4	6	4	3	Td
terning (heksaeder) (Animering)	kvadrat	6	12	8	3	Oh
oktaeder (Animering)	trekant	8	12	6	4	Oh
dodekaeder (Animering)	femkant	12	30	20	3	Ih
ikosaeder (Animering)	trekant	20	30	12	5	Ih

Begrænset antal platoniske polyeder

At der kun er fem sådanne tredimensionale legemer er nemt vist. For at danne et hjørne, må mindst tre af sidefladerne mødes i et punkt, og den totale sum af sidefladernes hjørner må være mindre end 360 grader, dvs. hjørnene af sidefladen må være mindre end 120 grader. De eneste polygoner der møder disse begrænsninger er trekanten, kvadratet og femkanten.

• triangulære sideflader: hvert hjørne af et trekant er 60 grader, derfor bør en form være muligt med 3, 4 eller 5 trekanter der mødes i hvert hjørne; disse er tetraedret, oktaedret og ikosaedret.
• kvadratiske sideflader: hvert hjørne af en kvadrat er 90 grader, derfor er der kun en mulig ordning mulig, med tre sideflader ved et hjørne, dvs. terningen.
• femkantede sideflader: hvert hjørne er 108 grader; igen, kun en ordning, med tre sideflader ved et hjørne, er mulig, dodekaedret, og dette udtømmer listen af regulære tredimensionelle legemer.

Duelle (?) polyeder

Bemærk at hvis du forbinder midtpunkterne af sidefladerne af en tetraeder, får du et andet tetraeder. Hvis du forbinder midtpunkterne af sidefladerne af et oktaeder, får du en terning, og omvendt. Hvis du forbinder midtpunkterne af et dodekaeder, får du et ikosaeder, og omvendt. Disse par siges til at være duelle (?) polyedre.

Oprindelsen af navnet

De platoniske legemer er navngivet efter Plato, som beskrev dem i Timæus. Plato lærte om disse legemer fra sin ven Theætetus. Konstruktionerne af disse legemer er inkluderet i Bog XIIII af Euclid's Elementer. Påstand 13 beskriver konstruktionen af tetraedret, påstand 14 beskriver oktaedret, påstand 15 beskriver terningen, påstand 16 beskriver ikosaedret, og påstand 17 beskriver dodekaedret.

Oldgammel formalisme

Plato forstillede sig de fire klassiske elementer som atomer med de geometriske former af fire af de fem platoniske legemer som var opdaget af Pythagoreanerne (i Timæusen). Disse er, naturligvis, ikke de sande former af atomer; men dette viser sig, at de er nogle af de sande former af indpakkede atomer og molekyler, nemlig krystaller: Mineralen salt natriumklorid findes i kubiske krystaller; fluorid (kalciumfluorid) findes i oktaedre; og pyrit i dodekaedre (se brug nedenfor).

Dette begreb forbandt ild med tetraedret, jord med terningen, luft med oktaedret og vand med ikosaedret.

Den femte platoniske legeme, dodekaedret, bemærker Plato obskurt, "...guden brugt til at arrangere konstellationerne på hele himlen" (Timæus 55). Han vidste ellers ikke hvad han skulle med det. Aristotle tilføjede et femte element, aithêr (æther på latinsk, "æter" på dansk) og forslog at himlerne var lavet af dette element, men han havde ingen interesse i at parre den med Platos femte element.

Andet symbolisme

Historisk set, Johannes Kepler fulgte vanen af Renaissancen af at lave matematiske korrospondancer, (baseret på idéer i henhold til musikken af sfærer osv.) og identificerede de fem platoniske legemer med de fem planeter - Merkur, Venus, Mars, Jupiter, Saturn og genoplivede sammenligningen med de fem klassiske elementer. (Jorden, månen og solen var ikke betragtet som planeter.)

Indskrevet platoniske polyedre

Når de platoniske polyedre er indskrevet i en sfære, fylder de de følgende procentdel af denne sfæres volumen:

Tetraeder: 12.2518% Terning: 36.7553% Octaeder: 31.8310% Dodekaeder: 66.4909% Ikosaeder: 60.5461%

Bemærk at, mod den almindelige tro, fylder dodekaedret bemærkelsesværdigt mere af sfærens volumen end den tilsyneladende mere sfærisk ikosaeder.

Brug

Formene er tit brugt til at lave terninger, da terninger ved disse former kan laves retfærdige. 6-fladet terninger er meget almindelige (derfor navnet "terning" for ikke-terningformet terninger), men de andre tal bruges tit i rollespil. Sådanne terninger henvises tit som D, fulgt af antallet af sideflader (d4, d8, osv.)

Tetraedret, terningen og oktaedret findes naturligt i krystalstrukture. Dodekaedret er kombinatorisk identisk med pyritoedret (sådan at begge har tolv femkantede sideflader), some er en af de mulige krystalstrukture af pyrit. Dog, pyritoedret er ikke et regulært dodekaeder, men i stedet har samme symmetri som terningen.

Fremmede forbindelser

• Foldgørlige papirmodeller
• De uniforme polyedre
• Virtuelle virkelighedspolyedre Encyclopædiet af polyedre
• London Syd Bank Univeritet Vandstruktur og opførsel
• Bog XIII of Euclids Elementer.