Prawf mathemategol

Mewn mathemateg, mae prawf yn ddadl gyfeiriol ar ddatganiad mathemategol. Yn y ddadl, gellir defnyddio datganiadau eraill a sefydlwyd o'r blaen, megis theoremau. Mewn egwyddor, gellir olrhain y prawf yn ôl i ddatganiadau hunan-amlwg neu dybiedig, a elwir yn 'wirebau' (axioms), ynghyd â rheolau gwrthsyniad (rules of inference) derbyniol.^[2]

Gellir trin gwirebau fel amodau y mae'n rhaid eu bodloni cyn bod y datganiad yn berthnasol. Mae profion yn enghreifftiau o resymu diddwythol cynhwysfawr neu resymu anwythol ac maent yn cael eu gwahaniaethu oddi wrth dadleuon empirig neu resymu anwythol anhrefnus (non-exhaustive) a elwir, weithiau'n "ddisgwyliad rhesymol". Rhaid i brawf ddangos bod datganiad bob amser yn wir (weithiau drwy restru pob achos posibl a dangos ei fod yn dal ym mhob un), yn hytrach na rhifo nifer o achosion cadarnhaol. Gelwir datganiad neu gynnig sydd heb ei brofi yn ond y credir ei bod yn wir yn 'ddyfaliad' (dyfaliad).

Mae profion yn defnyddio rhesymeg ond fel arfer maent yn cynnwys rhywfaint o iaith naturiol sydd, fel arfer, yn cynnwys rhywfaint o amwysedd. Mewn gwirionedd, gellir ystyried y mwyafrif helaeth o brofion mewn mathemateg ysgrifenedig yn gymwysiadau, neu'n ddatganiadau o resymeg anffurfiol trylwyr.

Mae'r ymadrodd "prawf mathemategol" yn cael ei ddefnyddio gan bobl lleyg, o ddydd-i-ddydd, i gyfeirio at ddefnyddio dulliau mathemategol neu ddadlau gyda gwrthrychau mathemategol, megis rhifau, i brofi rhywbeth am fywyd pob dydd, neu pan fo data a ddefnyddir mewn dadl yn ymwneud â rhifiau. Fe'i defnyddir weithiau hefyd i olygu "prawf ystadegol" (gweler isod), yn enwedig yng nghyd-destun data.

Y dulliau o brofio

Prawf uniongyrchol

Prif: Prawf uniongyrchol

Mewn prawf uniongyrchol, caiff deuir i gasgliad trwy gyfuno'r gwirebau, y diffiniadau a'r theoremau cynharach mewn dull rhesymegol. Er enghraifft, gellir defnyddio prawf uniongyrchol i bennu bod cyfanswm dau eilrif bob amser rhoi ateb sy'n eilrif:

Ystyriwch ddau gyfanrif sy'n eilrifau x ac y. Gan eu bod yn eilrifau, gellir eu hysgrifennu fel x = 2a a y = 2b, yn y drefn honno, ar gyfer cyfanrifau (integers) a a b. Yna mae'r swm x + y = 2a + 2b = 2 (a + b). Felly mae gan x + y y rhif 2 fel ffactor ac, yn ôl diffiniad, yn eilrif. Felly, mae cyfanswm dau eilrif yn rhoi ateb sy'n eilrif.

Mae'r prawf hwn yn defnyddio'r diffiniad o gyfanrifau sy'n eilrifau, mae nodweddion y cyfanrif caeedig o fewn adio a lluosi, ac o fewn dosbarthedd.

Anwythiad mathemategol

Prif: Anwythiad mathemategol

Dull o ymresymu, trwy dynnu casgliad o enghreifftiau mathemategol yw anwythiad mathemategol.

Er gwaethaf ei enw, mae anwythiad mathemategol yn ddull didynnu (deduction), nid ffurf o resymu anwythol. Mewn prawf trwy anwythiad mathemategol, profir un "achos sylfaenol", a phrofir "rheol anwytho" sy'n sefydlu bod unrhyw achos mympwyol yn awgrymu'r achos nesaf. Oherwydd y gall y rheol anwytho hwn gael ei gymhwyso dro ar ôl tro (gan ddechrau o'r achos sylfaenol profedig) gwelwn fod yr holl achosion yn medru cael eu profi.^[3] Mae hyn yn osgoi gorfod profi pob achos yn unigol. Amrywiad o anwythiad mathemategol yw profi drwy ddisgyniad anfeidraidd (proof by infinite descent), y gellir ei ddefnyddio, er enghraifft, i brofi anghysondeb ail isradd dau.

Cymhwysiad eitha cyffredin o brawf trwy anwythiad mathemategol yw profi bod nodwedd sy'n hysbys i ddal un rhif yn dal ar gyfer pob rhif naturiol:^[4] Dywedwch mai $N = {1,2,3,4,...$ } yw set o rifau naturiol, a $P (n)$ yw datganiad mathemategol sy'n ymwneud â'r rhif naturiol $n$ sy'n perthyn i $N$ fel bod

(i) $P (1)$ yn gywir, h.y., bod $P (n)$ yn gywir am $n = 1$ .
(ii) $P (n +1)$ yn gywir pan fo $P (n)$ yn gywir, h.y., pan fo $P (n)$ yn gywir, awgrymir fod $P (n +1)$ yn gywir.
Yna, mae $P (n)$ yn gywir am BOB rhif naturiol $n$ .

Prawf drwy wrthosodiad

Prif: Prawf drwy wrthosodiad

Mae prawf trwy wrthosodiad (neu 'wrthleoliad'; contraposition) yn awgrymu'r casgliad: "os p yna q" o'r rhagosodiad "os nad q yna nid p". Gelwir y datganiad "os nad q yna nid p" yn wrthosodiad o'r datganiad "os p yna q".

Prawf drwy wrthddywediad

Prif: Prawf drwy wrthddywediad

Mae'r gair 'gwrthddywediad' yn deillio o'r gair bob-dydd 'gwrth-ddweud', a gelwir 'Prawf drwy wrthddywediad' yn derm reductio ad absurdum, sef y Lladin am "trwy leihau i'r abswrd".

Mewn prawf trwy wrthddywediad^[5], yna, os yw rhan o ddatganiad yn wir, mae gwrthddywediad rhesymegol yn digwydd, felly mae'n rhaid i'r datganiad fod yn ffug. Mae enghraifft enwog o brawf trwy wrth-ddweud yn dangos bod ${\sqrt {2}}$ yn rhif anghyfrifol:

Tybwch fod ${\sqrt {2}}$ yn rhif rhesymegol, felly yn ôl diffiniad ${\sqrt {2}}={a \over b}$ lle mae a a b yn gyfanrifau di-sero heb ffactor cyffredin. (Os oes ffactor cyffredin, rhannwch y ddau rifydd a'r enwadur gan y ffactor hwnnw i'w ddileu, a'i ailadrodd nes nad oes ffactor cyffredin yn parhau. Drwy ddull ddisgyniad anfeidraidd (infinite descent), mae'n rhaid i'r broses hon ddod i ben.) Felly, $b{\sqrt {2}}=a$ . Mae ail-isradd y ddwy ochr yn cynhyrchu 2b² = a². Felly mae a² yn eilrif, sy'n awgrymu fod yn rhid i a hefyd fod yn eilrif. Felly mae a = 2c, ble mae c hefyd yn gyfanrif. Mae amnewid i'r hafaliad gwreiddiol yn rhoi 2b² = (2c)² = 4c² ac mae rhannu'r ddwy ochr gyda 2 yn rhoi b² = 2c². Ond, yna, drwy ddefnyddio'r un ddadl a chynt, gellir rhannu 2 gyda b², felly mae'n rhaid fod b yn eilrif. Fodd bynnag, os yw a a b yn eilrifau, yna mae ganddyn nhw ffactor cyffredin, sef 2. Mae hyn yn croes-ddweud ein tybiaeth gwreiddiol, felly mae'n rhaid i ni ddod i'r canlyniad fod ${\sqrt {2}}$ yn rhif anrhesymegol.

Prawf drwy luniad

Prif: Prawf lluniadol

Mae'r gair 'lluniad' yn her air Cymraeg a gofnodir yn gyntaf yn Llyfr Coch Hergest (15g), ac sy'n tarddu o air cynharach 'llun sef siâp, ffurf; gall olygu 'creu' 'adeiladwaith', 'diagram', cynllun'. Mae ganddo gysylltiad gyda'r maes adeiladu.

Prawf trwy luniadau, neu weithiau 'brawf lluniadol' neu 'brawf trwy esiampl', yw adeiladu enghraifft goncrid gydag nodwedd sy'n dangos bod rhywbeth sydd â'r nodwedd hwnnw'n bodoli. Er enghraifft, profodd Joseph Liouville, fodolaeth rhifau trosgynnol (transcendental numbers) trwy lunio enghraifft eglur. Gellir ei ddefnyddio hefyd i adeiladu gwrthgyferbyniad i wrthbrofi cynnig bod gan bob elfen nodwedd benodol.

I roi hyn mewn geiriau eraill:
Mewn mathemateg, mae prawf lluniadadol yn ddull o brofi sy'n dangos bodolaeth gwrthrych mathemategol trwy greu neu ddarparu dull ar gyfer creu'r gwrthrych. Mae hyn yn groes i brawf an-lluniadol (non-constructive proof, a elwir hefyd yn 'brawf bodolaeth' neu 'theori bodolaeth pur') sy'n profi bod rhyw fath o wrthrych yn bodoli heb roi enghraifft.

Mae rhai profion an-lluniadol yn dangos os yw cynnig penodol yn ffug, yna mae gwrthddywediad yn codi; o ganlyniad mae'n rhaid i'r cynnig fod yn wir (prawf trwy wrthddywediad). Fodd bynnag, mae'r egwyddor o ffrwydrad (ex falso quodlibet) wedi'i dderbyn mewn rhai mathau o fathemateg lluniadol, gan gynnwys greddfiaeth (intuitionism).

Termau: adeileddiaeth^[6] (Constructivism); 'lluniadaeth'. O fewn y maes athroniaeth mathemateg, mae adeileddiaeth yn mynnu bod angen dod o hyd i (neu "adeiladu") gwrthrych mathemategol i brofi ei fod yn bodoli.

Hynny yw, mae athroniaeth adeileddiaeth yn athroniaeth fathemategol sy'n gwrthod pob prawf ond prawf lluniadol mewn mathemateg. Mae hyn yn arwain at gyfyngiad ar y dulliau prawf a ganiateir ac ystyr gwahanol i'r termau. Er enghraifft, mae gan y term "neu" ystyr cryfach mewn mathemateg lluniadol nag mewn clasurol).

Prawf trwy ollwng

Prif: Prawf trwy ollwng

Bathiad yw'r term hwn, gan nad oes, hyd y gwyddus, derm Cymraeg am Proof by exhaustion.

Mewn mathemateg, mae mae'r casgliad yn cael ei sefydlu trwy ei rannu nifer gyfyngedig ('meidraidd') o weithiau, gan brofi pob un ar wahân. Gall nifer yr achosion weithiau fod yn enfawr. Er enghraifft, roedd y prawf cyntaf o'r 'pedwar theori lliw' yn brawf trwy ollwng â 1,936 o achosion. Roedd y prawf hwn yn ddadleuol oherwydd bod y rhan fwyaf o'r achosion yn cael eu gwirio gan raglen gyfrifiadurol, nid â llaw. Mae'r prawf byrraf a adnabyddir o'r pedwar lliw theorem (a wnaed yn 2011) yn 600 o achosion.

Mae hwn yn fath o brawf uniongyrchol (gweler uchod).

Mae prawf trwy ollwng yn cynnwys dau gam:

Prawf bod y set o achosion yn golygu fod pob achos o'r datganiad sydd i'w brofi'n cyd-fynd ag amodau o leiaf un o'r achosion.
Prawf o bob un o'r achosion.

Mewn theori, gellir defnyddio'r prawf trwy ollwng pryd bynnag y bydd nifer yr achosion yn gyfyngedig (neu'n 'feidraidd'; finite). Fodd bynnag, gan fod y rhan fwyaf o setiau mathemategol yn anfeidraidd, anaml iawn y defnyddir y dull hwn i gael canlyniadau mathemategol.

Prawf tebygolrwydd

Prif: Prawf tebygolrwydd

Bathiad yw'r term hwn, gan nad oes, hyd y gwyddus, derm Cymraeg am Probabilistic proof.

Mae prawf tebygolrwydd yn un lle dangosir bod enghraifft yn bodoli, gyda sicrwydd, trwy ddefnyddio dulliau theori tebygolrwydd. Mae prawf tebygolrwydd, fel y 'prawf lluniadol', yn un o sawl ffordd i ddangos theoremau bodolaeth.

Ni ddylid drysu hyn â'r dadl bod theori 'yn ôl pob tebyg' yn wir, a 'dadl eglurder' ('plausibility argument').

Er nad yw'r rhan fwyaf o fathemategwyr yn credu bod y dystiolaeth tebygolrwydd hwn yn cyfrif fel prawf mathemategol dilys, mae rhai mathemategwyr ac athronwyr yn dadlau bod o leiaf rai mathau o dystiolaeth tebygolrwydd (megis algorithm prawf tebygolrwydd Rabin ar gyfer profi cynraddiaeth) cystal â phrofion mathemategol dilys.

Prawf ystadegol mewn mathemateg bur

Gellir defnyddio'r ymadrodd 'prawf ystadegol' yn dechnegol neu o fewn iaith bob-dydd mewn mathemateg bur, e.e. o fewn cryptograffeg, y 'gyfres anhrefnus', theori tebygolrwydd a'r theori rhifau dadansoddol.^[7]^[8]^[9] Fe'i defnyddir yn llai cyffredin i gyfeirio at brawf mathemategol yn y gangen o fathemateg a elwir yn 'ystadegau mathemategol'.

Mewn llys barn, gellir defnyddio prawf ystadegol

Gellir datrys prawf ystadegol mewn achos cyfreithiol drwy eu rhannu'n dri chategori o dystiolaeth:

Y digwyddiad, y weithred, neu fath o ymddygiad,
Dod i adnabod yr unigolyn (neu unigolion) sy'n gyfrifol
Bwriad y person a sy'n cael ei erlyn, neu gyfrifoldebau seicolegol

Prawf ystadegol gan ddefnyddio data

Mae "prawf ystadegol" o ddata yn cyfeirio at gymhwyso ystadegau, dadansoddi data, neu ddadansoddiad Bayesaidd i gynnig gosodiad ynghylch tebygolrwydd data. Wrth ddefnyddio prawf mathemategol i sefydlu theoremau mewn ystadegau, nid yw fel arfer yn brawf mathemategol gan fod y tybiaethau y mae datganiadau tebygolrwydd yn deillio ohonynt yn gofyn am dystiolaeth empirig o'r fathemateg y tu allan i'w gwirio.

Cyfeiriadau

↑ Bill Casselman. "Un o'r Diagramau Ehang Hynaf gan Euclid". Prifysgol British Columbia. Cyrchwyd 2008-09-26.
↑ Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.
↑ Cupillari, tud. 46.
↑ Enghreifftiau o brofion syml trwy anwythiad mathemategol ar gyfer pob rhif naturiol
↑ geiriadur.bangor.ac.uk; adalwyd 19 Awst 2018.
↑ geiriadur.bangor.ac.uk; adalwyd 19 Awst 2018.
↑ "in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma." [1]
↑ "Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except for some statistical proof"" (Derogatory use.)[2]^{[dolen farw]}
↑ "these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability of failure for large E" [3]

[1] Bill Casselman. "Un o'r Diagramau Ehang Hynaf gan Euclid". Prifysgol British Columbia. Cyrchwyd 2008-09-26.

[2] Clapham, C. & Nicholson, JN. The Concise Oxford Dictionary of Mathematics, Fourth edition. A statement whose truth is either to be taken as self-evident or to be assumed. Certain areas of mathematics involve choosing a set of axioms and discovering what results can be derived from them, providing proofs for the theorems that are obtained.

[3] Cupillari, tud. 46.

[4] Enghreifftiau o brofion syml trwy anwythiad mathemategol ar gyfer pob rhif naturiol

[5] riadur.bangor.ac.uk; adalwyd 19 Awst 2018.

[6] riadur.bangor.ac.uk; adalwyd 19 Awst 2018.

[7] "in number theory and commutative algebra... in particular the statistical proof of the lemma." [1]

[8] "Whether constant π (i.e., pi) is normal is a confusing problem without any strict theoretical demonstration except for some statistical proof"" (Derogatory use.)[2]^{[dolen farw]}

[9] "these observations suggest a statistical proof of Goldbach's conjecture with very quickly vanishing probability of failure for large E" [3]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]