Deddfau Lanchester

Deddfau Lanchester yw fformiwlâu mathemategol ar gyfer cyfrifo cryfderau cymharol grymoedd milwrol. Mae hafaliadau Lanchester yn hafaliadau differol sy'n disgrifio cryfderau dwy fyddin A a B dros amser, gyda'r ffwythiannau yn dibynnu ar A a B yn unig. Yn 1916, yn ystod y Rhyfel Byd Cyntaf, gwnaeth Frederick Lanchester, ac yn annibynnol M. Osipov, dyfeisio cyfres o hafaliadau differol i ddangos y perthnasoedd pŵer rhwng grymoedd milwrol gwrthwynebol. Ymhlith y rhain mae'r hyn a elwir yn Ddeddf Linol Lanchester (ar gyfer brwydro hynafol) a Deddf Sgwâr Lanchester (ar gyfer brwydro modern ag arfau ystod hir megis gynnau).

Deddf linol Lanchester

Ar gyfer ymladd hynafol, rhwng phalancsau o filwyr â gwaywffyn, dyweder, mae union un milwr ar y tro gall unrhyw filwr arall ei ymladd. Disgrifir gan yr hafaliadau isod:

$${dA \over dt}=-K_{B}N$$$${dB \over dt}=-K_{A}N$$

lle $A$ a $B$ yw maint grymoedd A a B yn ôl eu trefn, $N$ yw cyfanswm nifer y milwyr wedi datguddio (er enghraifft maint rhes flaen y phalancs), a $K_{A}$ a $K_{B}$ yw nifer o filwyr gall un milwr o rymoedd A a B lladd pob uned amser, yn ôl eu trefn. Mae gan ddatrysiadau'r system o hafaliadau hyn ffurf llnol.

Os yw pob milwr yn lladd, ac yn cael ei ladd gan, yn union un milwr arall ($K_{A}=K_{B}=1$), yna nifer y milwyr sy'n weddill ar ddiwedd y frwydr yw'r gwahaniaeth rhwng y fyddin fwy a'r lleiaf, gan dybio arfau union yr un fath. Mae'r ddeddf linol hefyd yn berthnasol i ymosodiad ystod eang heb ei anelu (unaimed fire) i mewn i ardal lle mae gelyn yn byw. Mae cyfradd lladd yn dibynnu ar ddwysedd y targedau sydd ar gael yn yr ardal darged yn ogystal â nifer yr arfau sy'n saethu.

Deddf sgwâr Lanchester

Gelwir deddf sgwâr Lanchester hefyd yn gyfraith N-sgwâr.

Pan fod milwyr â drylliau yn ymladd â'i gilydd yn uniongyrchol ac yn saethu wedi'i anelu o bell, gallant ymosod ar sawl targed ar yr un pryd, a gallant gael ei saethu o sawl cyfeiriad. Mae cyfradd lladd bellach yn dibynnu ar nifer yr arfau sy'n saethu yn unig. Penderfynodd Lanchester fod pŵer grym o'r fath yn gyfrannol nid i nifer yr unedau sydd ganddo, ond i sgwâr nifer yr unedau. Gelwir hyn yn gyfraith sgwâr Lanchester.

Yn fwy manwl gywir, mae'r ddeddf yn nodi'r clwyfedigion y bydd llu saethu yn eu hachosi dros gyfnod o amser, mewn perthynas â'r rhai a achoswyd gan y llu gwrthwynebol. Nid yw'n berthnasol i fodelu byddinoedd cyfan, lle mae strategaethau tactegol yn golygu efallai na fydd pob milwr yn ymladd trwy'r amser. Hefyd, nid yw'r ddeddf yn berthnasol ar gyfer arfau sy'n lladd nifer o dargedau ar yr un pryd, megis canonau ac arfau niwclear.

Tybiwch fod dwy fyddin, A a B yn ymladd. Mae A yn saethu llif parhaus o fwledi tuag at B. Yn y cyfamser, mae B yn saethu llif parhaus o fwledi tuag at A. Disgrifir gan yr hafaliadau:

$${\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} t}}=-\beta B$$$${\frac {\mathrm {d} B}{\mathrm {d} t}}=-\alpha A$$

lle $A$ a $B$ yw maint grymoedd A a B yn ôl eu trefn, $\alpha$ yw pŵer ymosodol pob aelod o fyddin A, ac $\beta$ yw pŵer ymosodol pob aelod o fyddin B. Mae gan ddatrysiadau'r system o hafaliadau hyn ffurf gwadratig.

Cymwysiadau

Defnyddiwyd deddfau Lanchester i fodelu brwydrau hanesyddol am bwrpasau ymchwil. Ymhlith yr enghreifftiau mae Ymosodiad Pickett o droedfilwyr Cydffederal yn erbyn troedfilwyr yr Undeb yn ystod Brwydr Gettysburg yn 1863, a Brwydr Prydain ym 1940 rhwng lluoedd awyr Prydain a'r Almaen. Mewn rhyfela modern, i ystyried bod gwahanol fathau o ymladd yn digwydd ar y cyd, a all angen y ddeddf linol a'r ddeddf sgwâr, yn aml defnyddir esbonydd o 1.5 fel ffordd o gymysgu'r ddau fodel.

Cyfeiriadau

[[Categori:Hafaliadau differol]]