V lineární algebře je stopa čtvercové matice
definována jako součet prvků na hlavní diagonále.
Značí se
. [1]
Pro komplexní matice platí, že stopa je součtem jejích vlastních čísel včetně násobností. Stopa splňuje
pro libovolné dvě matice
a
odpovídajících velikostí, a proto podobné matice mají stejnou stopu.
Pro matici
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\end{pmatrix}}\in T^{n\times n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9e2f961376ab0228054eec3d4c5582dfcfd979e)
má stopa hodnotu
.
Prvky
mohou být reálná čísla, komplexní čísla nebo obecněji prvky tělesa
. Stopa je definována pouze pro čtvercové matice, t.j. typu
.
Stopa matice
![{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5bc065c72694f370ca30a4026adec6b24aef979a)
je
.
- Stopa je lineární zobrazení, neboli pro libovolné čtvercové matice
a
stejného řádu nad tělesem
a libovolné
platí:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}+\operatorname {tr} {\boldsymbol {B}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5720a4a16b284ec52cf46bc877700173f2ccf5bb)
![{\displaystyle \operatorname {tr} (r{\boldsymbol {A}})=r\cdot \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a111be2416d50d6d01f5fde003546b6d141edf4)
- Stopa se nemění transpozicí:
![{\displaystyle \operatorname {tr} {\boldsymbol {A}}=\operatorname {tr} {\bigl (}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}{\bigr )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13c7ec2a7bb1676baa4b2fe257ae775f6b932368)
- neboť transpozice matice nemění hodnoty prvků, které leží na hlavní diagonále.
Matice ve stopě součinu dvou matic lze zaměnit beze změny výsledku. Pro matice
a
typu
a
platí:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a138dd184fdbc0bdc94a17f4cc1fd390f4602b)
což bezprostředně plyne z definice maticového součinu:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})=\sum _{i=1}^{m}\left({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}\right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}\right)_{jj}=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbfd0541a59b8ebbe87705047f2087de13f63941)
Tato vlastnost je zajímavá, protože součin matic není komutativní a současně stopa součinu
se obvykle liší od součinu stop
.[pozn. 1]
Podobné matice mají stejnou stopu, neboli pro čtvercovou matici
a regulární matici
stejného řádu platí:
.
Jinými slovy, stopa je invariantní vůči změně báze.
Obecněji je stopa neměnná při kruhových posunech činitelů:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {D}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {A}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {D}}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {C}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac2a5e61ea85609844ca42171e173e705884c74)
Některé permutace nejsou povoleny, přičemž obecně platí:
.
U součinu tří symetrických matic, je však povolena jakákoli permutace:
.
Pro více než tři činitele však obecně neplatí libovolná záměna pořadí ani u symetrických matic.
Stopu čtvercové matice, která vznikne ze součinu dvou obdélníkových matic, lze přepsat jako součet dílčích součinů dvojic prvků na stejných pozicích, tj. jako součet všech prvků jejich Hadamardova součinu.
Formálně, jsou-li
a
jsou dvě matice typu
, pak
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {B}}\right)=\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {B}}^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {B}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {A}}\right)=\operatorname {tr} \left({\boldsymbol {B}}{\boldsymbol {A}}^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b221405d2b2918f82b5db758aba0cc657a58c46)
Když se na matici
pohlíží jako na vektor délky
(což je proces nazývaný vektorizace), pak uvedený výpočet na maticích
a
odpovídá standardnímu skalárnímu součinu.
Podle uvedené rovnice je
součtem druhých mocnin, a proto je vždy nezáporná. Nulu nabývá pouze v případě, je-li matice
nulová, což odpovídá pozitivní definitnosti. Společně se symetrií
vyplývá, že uvedený součin tvoří unitární prostor na množině reálných matic stejného typu. Stopa součinu
se nazývá Frobeniův skalární součin matic
a
. Norma odvozená z tohoto skalárního součinu se nazývá Frobeniova norma.
Pro reálné pozitivně semidefinitní matice
a
stejného řádu je tato norma submultiplikativní:
,
což lze dokázat pomocí Cauchyho-Schwarzovy nerovnosti.
Frobeniův vnitřní součin a norma se často užívají v maticovém počtu a ve statistice.
Jmenovitě platí, že pro reálné sloupcové vektory
je stopa jejich tenzorového součinu rovna jejich standardnímu skalárnímu součinu:
.
Stopa Kroneckerova součinu dvou matric je součinem jejich stop:
![{\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}}\otimes {\boldsymbol {B}})=\operatorname {tr} ({\boldsymbol {A}})\operatorname {tr} ({\boldsymbol {B}}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbf5a4493b5b77144b1de65d280f8c84878c4925)
Stopa reálné nebo komplexní matice je rovna součtu jejích vlastních čísel.
Každá komplexní čtvercová matice
řádu
má
vlastních číslel
(každé je zopakováno tolikrát, kolik činí jeho algebraická násobnost) a pro vlastní čísla pak platí:
.
Tuto vlastnost mají i reálné matice, jejichž vlastní čísla mohou být komplexní.
Vztah je důsledkem skutečnosti, že
je podobná své Jordanově normální formě, což je horní trojúhelníková matice s
na hlavní diagonále.
![{\displaystyle \operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcdbaee4d9080f4187e965287aca5461a23717a4)
- Z tohoto vztahu je odvozena obecná definice dimenze vektorového prostoru pomocí stopy.
- Stopa hermitovské matice je reálná, protože hermitovské matice mají na diagonále reálná čísla.
- Stopa permutační matice je počet pevných bodů odpovídající permutace. Člen
je roven 1, jen je-li
-tý prvek permutace jejím pevným bodem. Ostatní prvky na diagonále jsou rovny 0.
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {P}}_{\boldsymbol {X}}&={\boldsymbol {X}}\left({\boldsymbol {X}}^{\mathsf {T}}{\boldsymbol {X}}\right)^{-1}{\boldsymbol {X}}^{\mathsf {T}}\\\Longrightarrow \operatorname {tr} \left({\boldsymbol {P}}_{\boldsymbol {X}}\right)&=\operatorname {rank} ({\boldsymbol {X}}).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d642571bef2a0c7eacdcd9e5657cc0ee899e736)
- Matice
je idempotentní.
- Obecněji řečeno, stopa jakékoli idempotentní matice, tj. matice splňující
, je rovna její vlastní hodnosti .
- Pokud pro všechna
a čtvercovou matici
platí:
, pak je
nilpotentní.
- Uvedená vlastnost neplatí pro tělesa charakteristiky
, protože jednotková matice řádu
není nilpotentní, ale
.
Následující tři vlastnosti:
,
,
,
charakterizují stopu matice až na skalární násobek v následujícím smyslu:
- Pokud lineární funkcionál
na prostoru čtvercových matic splňuje
, potom jsou
a
navzájem přímo úměrné.
- ↑ Například, matice
mají součin
,
přičemž pro jejich stopy platí:
.
V tomto článku byly použity překlady textů z článků Spur (Mathematik) na německé Wikipedii a Trace (linear algebra) na anglické Wikipedii.
- ↑ ČSN EN ISO 80000-2 (011300). Veličiny a jednotky - Část 2: Matematika. Česká agentura pro standardizaci, 2020-11-01. detail.
- BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198.
- BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1.
- HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. S. 39.
- OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.
- MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online.