Přeskočit na obsah

Definitnost

Z Wikipedie, otevřené encyklopedie

Definitnost je pojem z lineární algebry. Popisuje, jaké znaménko mohou nabývat reálné kvadratické formy určené symetrickými maticemi, a obecněji i komplexní seskvilineární formy určené hermitovskými maticemi.

Definitnost matice se v geometrii používá k charakterizaci kuželoseček a kvadrik. Pozitivně definitní matice souvisejí se skalárním součinem a mají řadu aplikací mimo lineární algebru, například v matematické analýze k určování extrémů funkcí více proměnných, v semidefinitním programování a ve fyzice.

Pozitivně definitní matice Indefinitní matice
Příslušná kvadratická forma na :

Příslušná kvadratická forma na :

Body splňující (Elipsa).

Body splňující (Hyperbola).

Pro komplexní matice

[editovat | editovat zdroj]

Pokud pro hermitovskou komplexní matici a každý nenulový komplexní vektor platí:

, potom se nazývá pozitivně definitní,
, potom se nazývá pozitivně semidefinitní,
, potom se nazývá negativně definitní,
, potom se nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech se nazývá indefinitní.

Pro reálné matice

[editovat | editovat zdroj]

Reálné hermitovské matice jsou symetrické a hermitovská transpozice splývá s obvyklou transpozicí. Předchozí definice se pro reálné matice zužuje následovně.

Pokud pro symetrickou reálnou matici a každý nenulový reálný vektor platí:

, potom se nazývá pozitivně definitní,
, potom se nazývá pozitivně semidefinitní,
, potom se nazývá negativně definitní,
, potom se nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech se nazývá indefinitní.

Pro bilineární a kvadratické formy

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je vektorový prostor nad komplexními (nebo reálnými) čísly.

Pokud pro Hermitovskou seskvilineární formu (resp. symetrickou bilineární formu ) a libovolný nenulový vektor platí:

, potom se forma nazývá pozitivně definitní,
, potom se forma nazývá pozitivně semi definitní,
, potom se forma nazývá negativně definitní,
, potom se forma nazývá negativně semidefinitní,
v ostatních případech se forma nazývá indefinitní.

V případě, že prostor má konečnou dimenzi, lze formu reprezentovat vůči libovolné bázi maticí. Bez ohledu na volbu báze se definitnost formy se shoduje s definitností matice.

Definitnost kvadratické formy se odvozuje od definitnosti příslušné symetrické matice.

Vlastní čísla

[editovat | editovat zdroj]

Každá hermitovská matice má všechna vlastní čísla reálná, neboť díky spektrální větě je podobná reálné diagonální matici s vlastními čísly na diagonále. Definitnost matice je určena znaménky vlastních čísel. Hermitovská matice je:

  • pozitivně definitní, právě když má všechna vlastní čísla kladná.
  • pozitivně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nezáporná.
  • negativně definitní, právě když má všechna vlastní čísla záporná.
  • negativně semidefinitní, právě když má všechna vlastní čísla nekladná.
  • indefinitní, právě když má kladná i záporná vlastní čísla.

Vlastnosti

[editovat | editovat zdroj]

Řada vlastností platí pro více typů definitnosti, proto je formulujeme jen jednou a odpovídající části jsou odlišeny lomítky.

Pokud je matice pozitivně/negativně definitní a je kladné reálné číslo, potom matice je pozitivně/negativně definitní.

Pro semidefinitní matice obou typů stačí, aby bylo nezáporné.

Pokud jsou matice a pozitivně/negativně definitní/semidefinitní, potom jejich součet je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní.

Pokud jsou matice a pozitivně/negativně definitní/semidefinitní a je reálné číslo z intervalu , potom jejich konvexní kombinace je pozitivně/negativně definitní/semidefinitní. Platí i pro konvexní kombinace více matic.

Pokud je matice pozitivně/negativně definitní, potom matice k ní inverzní je pozitivně/negativně definitní.

  • Maticový součin pozitivně definitních matic a stejného řádu nemusí být pozitivně definitní.
  • Pokud ale součin komutuje, čili a i jsou pozitivně definitní, pak je pozitivně definitní.
  • Hadamardův součin pozitivně definitních matic a je pozitivně definitní.
  • Kroneckerův součin pozitivně definitních matic a je pozitivně definitní.
  • Frobeniův skalární součin pozitivně definitních matic a je kladné číslo.

Pozitivně definitní matice

[editovat | editovat zdroj]

Charakterizace

[editovat | editovat zdroj]

Nechť je reálná symetrická (resp. komplexní hermitovská) matice. Pak následujících deset tvrzení je ekvivalentních:

  • Matice je pozitivně definitní.
  • Všechna vlastní čísla matice jsou kladná.
  • Hlavní minory určené prvními řádky pro jsou kladné, neboli , kde
tzv. Jacobiho podmínka, či Sylvestrovo kritérium.
  • Všechny hlavní minory matice jsou kladné.
  • Součty všech hlavních minorů -tého stupně jsou kladné pro .
  • Existuje dolní trojúhelníková matice tak, že (resp. pro komplexní případ); viz Choleského rozklad.
  • Existuje regulární matice tak, že (resp. pro komplexní případ).
  • Existují ortogonální (resp. unitární) matice a diagonální matice s kladnými prvky na diagonále takové, že (resp. pro komplexní případ); viz Jordanův normální tvar a Schurův rozklad.
  • Existuje symetrická (resp. hermitovská) regulární matice taková, že . Obvykle se značí ; viz maticové funkce. Matici lze získat například z výše uvedeného rozkladu jako (resp. s hermitovskou transpozicí pro komplexní matice), přičemž prvky diagonální matice jsou dány výrazem .

Důkaz ekvivalence viz např. [1]

Věta dává k dispozici mnoho způsobů jak testovat pozitivní definitnost. V základním kurzu lineární algebry, při práci s malými maticemi () se lze setkat s klasickou Jacobiho podmínkou (Sylvestrovým kritériem). Postupy založené na výpočtu determinantů (minorů) nebo vlastních čísel matice (podmatic) nejsou použitelné v praxi (). Jediný prakticky upotřebitelný postup je Choleského rozklad.

Praktické určení pozitivní definitnosti

[editovat | editovat zdroj]

Ve výpočetní praxi je často potřeba určit, zda je reálná symetrická matice pozitivně definitní, efektivním, zejména numericky stabilním a časově nenáročným způsobem. Jako nejvhodnější nástroj se pro tento účel jeví Choleského rozklad (výpočet má asymptotickou složitost a algoritmus je numericky stabilní). Pokud matice není pozitivně definitní, pak dojde v průběhu výpočtu k dělení nulou nebo odmocnění záporného čísla. Pokud matice je pozitivně definitní, tyto situace ve výpočtu Choleského rozkladu nenastanou.

Choleského rozklad lze určit i pro komplexní hermitovskou pozitivně definitní matic. Při výpočtu je třeba použít aritmetiku komplexních čísel, a proto je nezbytné hlídat, zdali při výpočtu nedochází k odmocnění záporného čísla. Pokus o výpočet takové odmocniny v komplexní aritmetice obecně neskončí chybovým hlášením programu, ale pokud taková situace nastane, znamená to, že daná matice není pozitivně definitní.

V tomto článku byly použity překlady textů z článků Definite matrix na anglické Wikipedii a Definitheit na německé Wikipedii.

  1. Miroslav Fiedler, Speciální matice a jejich použití v numerické matematice, TKI SNTL 1981.

Literatura

[editovat | editovat zdroj]
  • FIEDLER, Miroslav. Speciální matice a jejich použití v numerické matematice. [s.l.]: TKI, SNTL, 1981. 
  • BÄRTSCH, Hans-Jochen. Matematické vzorce. Praha: Academia, 2006. 832 s. ISBN 80-200-1448-9. Kapitola Matice, s. 180–198. 
  • BEČVÁŘ, Jindřich. Lineární algebra. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 436 s. ISBN 978-80-7378-392-1. 
  • HLADÍK, Milan. Lineární algebra (nejen) pro informatiky. 1.. vyd. Praha: Matfyzpress, 2019. 328 s. ISBN 978-80-7378-378-5. 
  • OLŠÁK, Petr. Lineární algebra [online]. Praha: 2007 [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 
  • MOTL, Luboš; ZAHRADNÍK, Miloš. Pěstujeme lineární algebru [online]. [cit. 2023-02-20]. Dostupné online. 

Související články

[editovat | editovat zdroj]