Stejnoměrně spojitá funkce

Stejnoměrná spojitost funkce je pojem matematické analýzy, který dále zesiluje spojitost funkce. O funkci ƒ lze říci, že je stejnoměrně spojitá, pokud obrazy ƒ(x) a ƒ(y) sobě dostatečně blízkých bodů x a y jsou si také blízko a tato vlastnost nezávisí na volbě x a y, ale pouze na jejich (dostatečně malé) vzdálenosti.

Definice

Nechť $({\mathcal {X}},\rho )$ a $({\mathcal {Y}},\sigma )$ jsou metrické prostory. Funkci ƒ : X → Y nazveme stejnoměrně spojitou, pokud $\forall \varepsilon \ \exists \delta$ tak, že $\forall x,y\in X:\rho (x,y)<\delta$ platí $\sigma (f(x),f(y))<\epsilon$

Pokud X a Y jsou podmnožiny reálných čísel se standardní euklidovskou metrikou, můžeme říci, že funkce ƒ : X → Y je stejnoměrně spojitá, pokud $\forall \varepsilon \ \exists \delta$ tak, že $\forall x,y\in X:|x-y|<\delta$ platí $|f(x)-f(y)|<\varepsilon$

Povšimněme si rozdílů oproti definici jen spojité funkce, konkrétně pořadí kvantifikátorů, u stejnoměrně spojité funkce hodnota $\delta$ závisí pouze na velikosti $\epsilon$ , a nikoli na bodu x.

Definice využívající posloupnosti

Stejnoměrnou spojitost reálné funkce můžeme definovat i pomocí posloupností. Nechť A je podmnožinou Rⁿ, $n\in \mathbb {N}$ . Funkce ƒ : A → R^m, $m\in \mathbb {N}$ je stejnoměrně spojitá, pokud pro každou dvojici reálných posloupností x_n a y_n splňujících:

\lim _{n\to \infty }|x_{n}-y_{n}|=0\,

platí:

\lim _{n\to \infty }|f(x_{n})-f(y_{n})|=0.\,

Příklady

Funkce x $\scriptstyle \mapsto kx,\ k\in \mathbb {R}$ je stejnoměrně spojitá na celé reálné ose.
Exponenciální funkce x $\scriptstyle \mapsto \,$ e^x je spojitá na celé reálné ose, ale není na ní stejnoměrně spojitá.
Nechť $({\mathcal {X}},\rho )$ je metrický prostor. Pak $\rho :X\times X\to \mathbb {R}$ je stejnoměrně spojitá funkce.

Vlastnosti

Spojitost funkce je lokální vlastnost funkce; zkoumáme, zda funkce je, či není spojitá v každém jednotlivém bodě. Pokud řekneme, že funkce je spojitá na intervalu, pak tím myslíme, že je spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Oproti tomu stejnoměrná spojitost je vlastnost globální.
Každá stejnoměrně spojitá funkce je spojitá.
Spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Speciálně každá spojitá funkce na omezeném uzavřeném intervalu je stejnoměrně spojitá.
Lipschitzovská funkce je stejnoměrně spojitá.
Pokud je reálná funkce $f$ spojitá na intervalu $[0,\infty )$ a existuje vlastní $\lim _{x\to \infty }f(x)$ , pak je funkce stejnoměrně spojitá na $[0,\infty )$ .
Složení dvou stejnoměrně spojitých funkcí je stejnoměrně spojité.

Externí odkazy

Obrázky, zvuky či videa k tématu Stejnoměrně spojitá funkce na Wikimedia Commons