Majoranta

Majoranta, jinak také horní mez, horní závora nebo horní odhad, je matematický pojem z teorie uspořádání.

Definice

Majoranta se definuje následujícím způsobem:

Pokud je množina $A$ uspořádána relací $R$ a $B$ je podmnožina $A$ , pak prvek $a\in A$ je majorantou $B$ , právě když $(\forall b\in B)(b\leq a)$ .

Množina $B\subseteq A$ je shora omezená, pokud pro ni existuje alespoň jedna majoranta.

Vlastnosti majoranty

Pokud má množina $B\subseteq A$ z předchozí definice největší prvek, pak je tento prvek majorantou.
Pomocí pojmu majoranty se dále definuje pojem supremum množiny jako nejmenší prvek množiny (nebo třídy) všech majorant (pokud tato množina má nejmenší prvek).

Příklady

Nechť A je množina všech reálných čísel (A = R), B je množina všech reálných čísel x takových, že x² < 3 a nechť R je relace obvyklého ostrého uspořádání reálných čísel (tj. R = <). Pak majorantou B při uspořádání R je například číslo 10. Nejmenší majorantou je číslo $s={\sqrt {3}}$ .

Nechť A je třída všech ordinálních čísel (A = On), B je množina všech konečných ordinálních čísel (tj. množina přirozených čísel) a R = $\in$ je uspořádání na třídě On. Pak majorantou B při uspořádání R je každé nekonečné ordinální číslo, nejmenší majorantou je číslo $s=\omega \,(=\aleph _{0})$ .

Související články