Homotopie
Homotopie je pojem z matematiky, přesněji z algebraické topologie.
Motivace
[editovat | editovat zdroj]Homotopie umožňuje postihnout některé topologické vlastnosti topologických prostorů a zachycuje v rámci matematiky představu spojité deformace prostorů a zobrazení.
Definice
[editovat | editovat zdroj]Nechť jsou topologické prostory a spojitá zobrazení mezi nimi. Homotopie mezi a je spojité zobrazení takové, že a a pro každé , kde uvažujeme s topologií danou inkluzí do s metrickou topologií a na uvažujeme součinovou topologii.
Pokud existuje homotopie mezi a řekneme, že a jsou homotopická a píšeme
Topologické prostory nazveme homotopické, pokud existují spojitá zobrazení a , že je homotopické a je homotopické .
Topologicky prostor nazveme kontraktibilní (stažitelný), pokud je homotopický jednoprvkovému topologickému prostoru (bodu).
Příklady
[editovat | editovat zdroj]1. Snadno se ověří, že každé dvě uzavřené křivky v jsou homotopické. Homotopií je např. dané formuli
2. Těžší je ověřit, že kružnice a kružnice v prostoru nejsou homotopické. Neformálně lze říci, že první kružnici nelze zdeformovat na druhou, aniž bychom s první přešli počátek, jenž do uvažovaného topologického prostou nepatří.
3. Topologický prostor , je kontraktibilní.
4. Ani malá, ani velká kružnice na toru nejsou kontraktibilní.
Tvrzení
[editovat | editovat zdroj]Relace být homotopická resp. být homotopické jsou relacemi ekvivalence na množině všech spojitých zobrazení mezi dvěma topologickými prostory, resp. na množině všech topologických prostorů.
Poznámka
[editovat | editovat zdroj]Pojem homotopické grupy vznikl z potřeb analýzy funkcí komplexní proměnné, zejména teorie integrálů na Riemannových plochách a díky snaze klasifikovat jisté třídy topologických prostorů, především tzv. hladkých variet. Pojem homotopie má rozsáhlá zobecnění v (homologické) algebře, teorii deformací, matematické fyzice a částech strunové teorie, obzvláště v teorii tzv. homologické zrcadlité symetrie.
Hladké verze homotopie v kategorii hladkých variet se někdy nazývají izotopie.
Literatura
[editovat | editovat zdroj]- HATCHER, Allen. Algebraic topology. [s.l.]: Cambridge University Press, 2002. Dostupné online. ISBN 978-0-521-79540-1.
Související články
[editovat | editovat zdroj]Externí odkazy
[editovat | editovat zdroj]Obrázky, zvuky či videa k tématu homotopie na Wikimedia Commons