Pol (anàlisi complexa)

En l'àmbit matemàtic de l'anàlisi complexa, un pol d'una funció meromorfa és un cert tipus de singularitat que es comporta com la singularitat de $\scriptstyle {\frac {1}{z^{n}}}$ al punt z = 0. Per un pol de la funció f(z) al punt a, la funció tendeix a infinit quan z tendeix cap a a.

Definició

Formalment, suposem que U és un conjunt obert del pla complex ℂ, a és un element de U i f: U \ {a} → ℂ és una funció holomorfa al seu domini. Si existeixen una funció holomorfa g: U → ℂ i un enter positiu n tals que es verifica

f(z)={\frac {g(z)}{(z-a)^{n}}}

per qualsevol z de U \ {a}, llavors hom diu que a és un pol de f. El valor n més petit pel qual es verifica aquesta relació s'anomena l'ordre del pol. Un pol d'ordre 1 s'anomena pol simple.

Alguns autors permeten que l'ordre d'un pol sigui zero, la qual cosa vol dir que el pol és o bé un punt regular, o bé una singularitat evitable. Tot i això, és més habitual exigir que l'ordre d'un pol sigui >0.

A partir del que hem vist, es poden deduir les següents caracteritzacions equivalents:

Si n és l'ordre del pol a, llavors g(a) ≠ 0 per la funció g de l'expressió anterior. Així, podem escriure

f(z)={\frac {1}{h(z)}}

per alguna funció h que sigui holomorfa en un entorn obert de a i que tingui un zero d'ordre n en a. Així, de manera informal, podem pensar que els pols són els recíprocs dels zeros de funcions holomorfes.

També, com que g és holomorfa, podem expressar f com

f(z)={\frac {a_{-n}}{(z-a)^{n}}}+\cdots +{\frac {a_{-1}}{(z-a)}}+\sum _{k\,\geq \,0}a_{k}(z-a)^{k}.

L'expressió anterior és una sèrie de Laurent amb part principal finita. La funció holomorfa $\scriptstyle \sum _{k\,\geq \,0}a_{k}(z\,-\,a)^{k}$ (a U) s'anomena la part regular de f. Així, el punt a és un pol d'ordre n de f si i només si tots els termes de l'expansió en sèrie de Laurent de f al voltant de a de grau menor que -n són nuls i el terme de grau -n és no nul.

Pol a l'infinit

Hom pot definir una funció complexa de tal manera que tingui un pol al punt de l'infinit. En aquest cas, U ha de ser un entorn de l'infinit, com per exemple l'exterior d'una bola tancada. Si volem usar la definició inicial de pol, hem de fer que tingui sentit dir que g sigui holomorfa a ∞. Una alternativa és transformar el punt de l'infinit en un punt finit, i aplicar la definició que ja coneixem. L'aplicació $\scriptstyle z\mapsto {\frac {1}{z}}$ fa aquesta transformació. Així, per definició, una funció f holomorfa en un entorn de l'infinit té un pol a l'infinit si la funció $\scriptstyle f({\frac {1}{z}})$ (que és holomorfa en un entorn de $\scriptstyle z=0$ ) té un pol a $\scriptstyle z=0$ , l'ordre del qual es considera que és l'ordre del pol de f a l'infinit.

Pol d'una funció sobre una varietat complexa

En general, si M és una varietat complexa, i f: M → ℂ és una funció holomorfa en un entorn U de a, hom diu que f té un pol en a d'ordre n si, donada una carta φ:U → ℂ, la funció f∘φ^-1:ℂ → ℂ té un pol d'ordre n en φ(a) (que hom pot escollir com l'origen de coordenades si fem una elecció convenient de la carta).

El concepte de pol a l'infinit és l'exemple més senzill (no trivial) d'aquesta definició, on prenem M l'esfera de Riemann, i prenem la carta $\scriptstyle \phi (z)\,=\,{\frac {1}{z}}$ .