Vés al contingut

Model de Kuramoto

De la Viquipèdia, l'enciclopèdia lliure

El model de Kuramoto (o model de Kuramoto-Daido), proposat per primera vegada per Yoshiki Kuramoto (蔵本 由紀, Kuramoto Yoshiki),[1][2] és un model matemàtic utilitzat per descriure la sincronització. Més concretament, és un model per al comportament d'un gran conjunt d'oscil·ladors acoblats.[3][4] La seva formulació va estar motivada pel comportament de sistemes d’oscil·ladors químics i biològics, i ha trobat aplicacions generalitzades com en neurociències[5][6][7][8] i dinàmiques de flames oscil·lants.[9][10] Kuramoto es va sorprendre molt quan el comportament d'alguns sistemes físics, és a dir, matrius acoblades d'unions de Josephson, va seguir el seu model.[11]

El model fa diverses suposicions, incloent que hi ha un acoblament feble, que els oscil·ladors són idèntics o gairebé idèntics i que les interaccions depenen sinusoidalment de la diferència de fase entre cada parell d'objectes.

Definició

[modifica]

En la versió més popular del model de Kuramoto, es considera que cadascun dels oscil·ladors té la seva pròpia freqüència natural intrínseca , i cadascun està acoblat per igual a tots els altres oscil·ladors. Sorprenentment, aquest model completament no lineal es pot resoldre exactament en el límit dels oscil·ladors infinits, N→ ∞;[5] alternativament, utilitzant arguments d’autoconsistència es poden obtenir solucions en estat estacionari del paràmetre d’ordre.[12]

La forma més popular del model té les següents equacions governants:

,

on el sistema es compon de N oscil·ladors de cicle-límit, amb fases i constant d'acoblament K.


Es pot afegir soroll al sistema. En aquest cas, l'equació original queda modificada a:

,

on és la fluctuació i una funció del temps. Si considerem que el soroll és un soroll blanc, llavors:

,

amb que denota la força del soroll.

Transformació

[modifica]

La transformació que permet resoldre aquest model amb exactitud (almenys en el límit N → ∞) és la següent:

Es defineixen els paràmetres «ordre» r i ψ com a

.

Aquí r representa la coherència de fase de la població d’oscil·ladors i ψ indica la fase mitjana. Multiplicant aquesta equació per  i només tenint en compte la part imaginària dona:

.

Per tant, les equacions dels oscil·ladors ja no s’acoblen explícitament; en canvi, els paràmetres d’ordre regeixen el comportament. Normalment es fa una transformació addicional a un quadre rotatiu en què la mitjana estadística de fases de tots els oscil·ladors és nul·la (és a dir, ). Finalment, l'equació governant es converteix en:

.

Límit N→ ∞

[modifica]

Ara considerem el cas que N tendeix a l'infinit (N→ ∞). Prenem la distribució de les freqüències naturals intrínseques com g(ω) (suposada normalitzada). Aleshores suposem que la densitat dels oscil·ladors en una fase determinada θ, amb freqüència natural ω donada, en el moment t és . La normalització ho requereix

L’equació de continuïtat per a la densitat de l’oscil·lador serà

on v és la velocitat de deriva dels oscil·ladors donada prenent el límit N→ ∞ en l'equació governant transformada, tal que

Finalment, hem de reescriure la definició dels paràmetres d’ordre per al límit continuum del límit (N→ ∞). s'ha de substituir per la seva mitjana de conjunt (sobretot ) i la suma s'ha de substituir per una integral, per donar

Solucions

[modifica]

L'estat incoherent amb tots els oscil·ladors a la deriva correspon a la solució . En aquest cas , i no hi ha coherència entre els oscil·ladors. Es distribueixen uniformement en totes les fases possibles i la població es troba en estat estacionari (tot i que els oscil·ladors individuals continuen canviant de fase d’acord amb la seva ω intrínseca).

Quan l'acoblament K és prou fort, és possible una solució totalment sincronitzada. En estat totalment sincronitzat, tots els oscil·ladors comparteixen una freqüència comuna, tot i que les seves fases poden ser diferents.

Una solució per al cas de la sincronització parcial produeix un estat en què només alguns oscil·ladors (els propers a la freqüència natural mitjana del conjunt) se sincronitzen; altres oscil·ladors deriven de manera incoherent. Matemàticament, l'estat és

per a oscil·ladors bloquejats, i

per a oscil·ladors a la deriva. El tall es produeix quan .

Connexió amb els sistemes hamiltonians

[modifica]

El model dissipatiu de Kuramoto es troba en certs sistemes hamiltonians conservadors[13] amb hamiltonians de la forma:

Després d’una transformació canònica a variables d’angle d’acció amb accions i angles (fases) , la dinàmica exacta de Kuramoto sorgeix en múltiples varietats invariants de constant . Amb el hamiltonià transformat:

L'equació de moviment de Hamilton es converteix en:

i

Així que la varietat amb és invariant perquè i la dinàmica de fases es converteix en la dinàmica del model de Kuramoto (amb les mateixes constants d'acoblament per a ). La classe dels sistemes hamiltonians caracteritza certs sistemes quàntics-clàssics, inclosos els condensats de Bose-Einstein.

Variants del model

[modifica]

Hi ha una sèrie de tipus de variacions que es poden aplicar al model original presentat anteriorment. Alguns models canvien d’estructura topològica, d’altres permeten pesos heterogenis i altres canvis estan més relacionats amb models inspirats en el model de Kuramoto però que no tenen la mateixa forma funcional.

Variants de topologia de xarxa

[modifica]

A més del model original, que té una topologia global, una topologia prou densa i semblant a la xarxa complexa és susceptible del tractament de camp mitjà utilitzat en la solució del model original[15] (vegeu els apartats Transformació i Límit N→ ∞ anteriors per obtenir més informació). Topologies de xarxes com ara anells i poblacions acoblades donen suport als estats quimera.[16] També es pot demanar el comportament de models en què hi ha intrínsecament locals, com ara topologies unidimensionals que la cadena i l'anell són exemples prototípics. En aquestes topologies, en què l'acoblament no és escalable segons amb 1/N, no és possible aplicar l'enfocament canònic del camp mitjà, de manera que cal confiar en l'anàlisi cas per cas, fent ús de simetries sempre que sigui possible, que pot donar base a l'abstracció dels principis generals de les solucions.

Es poden observar sincronies uniformes, ones i espirals fàcilment en xarxes de Kuramoto bidimensionals amb acoblament local difusiu. L'estabilitat de les ones en aquests models es pot determinar analíticament mitjançant els mètodes d’anàlisi d’estabilitat de Turing.[17] La sincronia uniforme tendeix a ser estable quan l'acoblament local és positiu a tot arreu, mentre que les ones sorgeixen quan les connexions de llarg abast són negatives (acoblament envoltant inhibitori). Les ones i la sincronia estan connectades per una branca de solucions topològicament diferent coneguda com a ondulació.[18] Es tracta de desviacions espacialment periòdiques de baixa amplitud que emergeixen de l'estat uniforme (o l'estat d'ona) mitjançant una bifurcació de Hopf.[19] Wiley, Strogatz i Girvan[20] van predir (però no van observar) l'existència de solucions d'ondulació, que els van anomenar estats q multi-retorçats.

La topologia sobre la qual s’estudia el model de Kuramoto es pot fer adaptativa mitjançant l’ús d’un model de fitness que mostra la millora de la sincronització i la percolació d’una manera autoorganitzada.[21]

Variants de topologia de xarxa i pesos de xarxa: des de la coordinació del vehicle fins a la sincronització cerebral

[modifica]

Alguns treballs a la comunitat de control s’han centrat en el model de Kuramoto en xarxes i amb pesos heterogenis (és a dir, la força d’interconnexió entre dos oscil·ladors qualsevol pot ser arbitrària). La dinàmica d’aquest model és la següent:

on és un nombre real positiu diferent de zero si l'oscil·lador està connectat a l'oscil·lador . Aquest model permet un estudi més realista de, per exemple, el flocatge, l'escolarització i el vehicle de coordinació.[22] En el treball de Dörfler i col·legues, diversos teoremes proporcionen condicions rigoroses per a la sincronització de fase i freqüència d’aquest model. Altres estudis, motivats per observacions experimentals en neurociències, se centren a derivar condicions analítiques per a la sincronització de clústers d’oscil·ladors de Kuramoto heterogenis en topologies arbitràries de xarxa.[23] Atès que el model de Kuramoto sembla tenir un paper clau en l'avaluació dels fenòmens de sincronització al cervell,[24] les condicions teòriques que donen suport a les troballes empíriques poden obrir el camí per a una comprensió més profunda dels fenòmens de sincronització neuronal.

Variants de la funció d'interacció de fase

[modifica]

Kuramoto va aproximar la interacció de fase entre dos oscil·ladors qualsevol pel seu primer component de Fourier, és a dir ,on . Es poden obtenir millors aproximacions incloent components de Fourier d’ordre superior,

,

on els paràmetres i s’han d’estimar. Per exemple, la sincronització entre una xarxa de neurones de Hodgkin-Huxley dèbilment acoblades es pot replicar mitjançant oscil·ladors acoblats que conserven els primers quatre components de Fourier de la funció d'interacció.[25] La introducció de termes d’interacció de fase d’ordre superior també pot induir fenòmens dinàmics interessants com estats parcialment sincronitzats,[26] cicles heteroclínics,[27] i dinàmiques caòtiques.[28]

Disponibilitat

[modifica]
  • La biblioteca pyclustering inclou una implementació de Python i C++ del model de Kuramoto i les seves modificacions. La biblioteca també consta de xarxes oscil·latòries (per a l'anàlisi de clústers, reconeixement de patrons, coloració de gràfics, segmentació d'imatges) que es basen en el model de Kuramoto i l'oscil·lador de fase.[29]

Referències

[modifica]
  1. Kuramoto, Yoshiki. Lecture Notes in Physics, International Symposium on Mathematical Problems in Theoretical Physics (en anglès). 39. Nova York: Springer-Verlag, 1975, p. 420. 
  2. Kuramoto, Yoshiki. Chemical Oscillations, Waves, and Turbulence (en anglès). New York, NY: Springer-Verlag, 1984. 
  3. Strogatz, S «From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators» ( PDF) (en anglès). Physica D, 143(1)–143(4), 2000, pàg. 1–20. Arxivat de l'original el 2021-10-11. Bibcode: 2000PhyD..143....1S. DOI: 10.1016/S0167-2789(00)00094-4 [Consulta: 30 maig 2021].
  4. Acebrón, Juan A; Bonilla, L. L; Vicente, Pérez; Conrad, J; et al. «The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena» ( PDF) (en anglès). Reviews of Modern Physics, 77(1), 2005, pàg. 137–185. Bibcode: 2005RvMP...77..137A. DOI: 10.1103/RevModPhys.77.137.
  5. 5,0 5,1 Bick, Christian; Goodfellow, Marc; Laing, Carlo R; Martens, Erik A «Understanding the dynamics of biological and neural oscillator networks through exact mean-field reductions: a review» (en anglès). Journal of Mathematical Neuroscience, 10(1), 2020, pàg. 9. DOI: 10.1186/s13408-020-00086-9. PMC: 7253574. PMID: 32462281.
  6. Cumin, D; Unsworth, C.P «Generalising the Kuromoto model for the study of neuronal synchronisation in the brain» (en anglès). Physica D, 226, 2007, pàg. 181–196. Bibcode: 2007PhyD..226..181C. DOI: 10.1016/j.physd.2006.12.004.
  7. Breakspear, M; Heitmann, S; Daffertshofer, A «Generative models of cortical oscillations: Neurobiological implications of the Kuramoto model» (en anglès). Front Hum Neurosci, 4(190), 2010, pàg. 190. DOI: 10.3389/fnhum.2010.00190. PMC: 2995481. PMID: 21151358.
  8. Cabral, J; Luckhoo, H; Woolrich, M; Joensson, M; et al. «Exploring mechanisms of spontaneous functional connectivity in MEG: How delayed network interactions lead to structured amplitude envelopes of band-pass filtered oscillations» (en anglès). NeuroImage, 90, 2014, pàg. 423–435. DOI: 10.1016/j.neuroimage.2013.11.047. PMID: 24321555.
  9. Sivashinsky, G.I «Diffusional-thermal theory of cellular flames» (en anglès). Combust. Sci. And Tech., 15(3)-15(4), 1977, pàg. 137–146. DOI: 10.1080/00102207708946779.
  10. Forrester, D.M «Arrays of coupled chemical oscillators» (en anglès). Scientific Reports, 5, 2015, pàg. 16994. arXiv: 1606.01556. Bibcode: 2015NatSR...516994F. DOI: 10.1038/srep16994. PMC: 4652215. PMID: 26582365.
  11. Strogatz, Steven. Sync: The Emerging Science of Spontaneous Order (en anglès). Hyperion, 2003. 
  12. Strogatz, S «From Kuramoto to Crawford: Exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators» ( PDF) (en anglès). Physica D, 143(1)-143(4), 2000, pàg. 1–20. Arxivat de l'original el 2021-10-11. Bibcode: 2000PhyD..143....1S. DOI: 10.1016/S0167-2789(00)00094-4 [Consulta: 30 maig 2021].
  13. Witthaut, Dirk; Timme, Marc «Kuramoto Dynamics in Hamiltonian Systems» (en anglès). Phys. Rev. E, 90(3), 2014, pàg. 032917. arXiv: 1305.1742. Bibcode: 2014PhRvE..90c2917W. DOI: 10.1103/PhysRevE.90.032917. PMID: 25314514.
  14. Pantaleone, James «Synchronization of metronomes» ( PDF) (en anglès). American Journal of Physics, 70(10), octubre 2002, pàg. 992–1000. Arxivat de l'original el 2021-02-11. Bibcode: 2002AmJPh..70..992P. DOI: 10.1119/1.1501118 [Consulta: 30 maig 2021].
  15. Rodrigues, F. A; Peron, T.K; Jie, P; Kurths, J «The Kuramoto model in complex networks» (en anglès). Physics Reports, 610(1), 2016, pàg. 1–98. arXiv: 1511.07139. Bibcode: 2016PhR...610....1R. DOI: 10.1016/j.physrep.2015.10.008.
  16. Abrams, D.M; Strogatz, S.H «Chimera states for coupled oscillators» (en anglès). Physical Review Letters, 93(17), 2004, pàg. 174102. arXiv: nlin/0407045. Bibcode: 2004PhRvL..93q4102A. DOI: 10.1103/physrevlett.93.174102. PMID: 15525081.
  17. Kazanci, F; Ermentrout, B «Pattern formation in an array of oscillators with electrical and chemical coupling» (en anglès). SIAM J Appl Math, 67(2), 2006, pàg. 512–529. DOI: 10.1137/060661041.
  18. Heitmann, S; Gong, P; Breakspear, M «A computational role for bistability and traveling waves in motor cortex» (en anglès). Front Comput Neurosci, 6(67), 2012, pàg. 67. DOI: 10.3389/fncom.2012.00067. PMC: 3438483. PMID: 22973223.
  19. Heitmann, S; Ermentrout, B «Synchrony, waves and ripple in spatially coupled Kuramoto oscillators with Mexican hat connectivity» (en anglès). Biological Cybernetics, 109(3), 2015, pàg. 1–15. DOI: 10.1007/s00422-015-0646-6. PMID: 25677527.
  20. Wiley, D; Strogatz, S; Girvan, M «The size of the sync basin» (en anglès). Chaos, 16(1), 2006, pàg. 015103. Bibcode: 2006Chaos..16a5103W. DOI: 10.1063/1.2165594. PMID: 16599769.
  21. Eom, Y.H; Boccaletti, S; Caldarelli, G «Concurrent enhancement of percolation and synchronization in adaptive networks». Scientific Reports, 7, 2016, pàg. 015103. arXiv: 1511.05468. Bibcode: 2016NatSR...627111E. DOI: 10.1038/srep27111. PMC: 4890019. PMID: 27251577.
  22. Dorfler, F; Bullo, F «Synchronization in complex networks of phase oscillators: A survey» (en anglès). Automatica, 50(6), 2014, pàg. 1539–1564. DOI: 10.1016/j.automatica.2014.04.012.
  23. Menara, T; Baggio, G; Bassett, D; Pasqualetti, F «Stability Conditions for Cluster Synchronizations in Networks of Heterogeneous Kuramoto Oscillators» (en anglès). IEEE Transactions on Control of Network Systems, 7(1), 2020, pàg. 302–314. arXiv: 1806.06083. DOI: 10.1109/TCNS.2019.2903914.
  24. Cabral, J; Hugues, E; Sporns, O; Deco, G «Role of local network oscillations in resting-state functional connectivity» (en anglès). NeuroImage, 57(1), 2011, pàg. 130–139. DOI: 10.1016/j.neuroimage.2011.04.010. PMID: 21511044.
  25. Hansel, D; Mato, G; Meunier, C «Phase Dynamics for Weakly Coupled Hodgkin-Huxley Neurons» (en anglès). Europhysics Letters, 23(5), 1993, pàg. 367–372. Bibcode: 1993EL.....23..367H. DOI: 10.1209/0295-5075/23/5/011.
  26. Clusella, Pau; Politi, Antonio; Rosenblum, Michael «A minimal model of self-consistent partial synchrony» (en anglès). New Journal of Physics, 18(9), 2016, pàg. 093037. arXiv: 1607.07178. Bibcode: 2016NJPh...18i3037C. DOI: 10.1088/1367-2630/18/9/093037. ISSN: 1367-2630.
  27. Hansel, D; Mato, G; Meunier, C «Clustering and slow switching in globally coupled phase oscillators» (en anglès). Physical Review E, 48(5), 1993, pàg. 3470–3477. Bibcode: 1993PhRvE..48.3470H. DOI: 10.1103/physreve.48.3470. PMID: 9961005.
  28. Bick, C; Timme, M; Paulikat, D; Rathlev, D; Ashwin, P «Chaos in Symmetric Phase Oscillator Networks» (en anglès). Physical Review Letters, 107(24), 2011, pàg. 244101. arXiv: 1105.2230. Bibcode: 2011PhRvL.107x4101B. DOI: 10.1103/PhysRevLett.107.244101. PMID: 22243002.
  29. «annoviko/pyclustering», 15-08-2023. [Consulta: 23 agost 2023].

Vegeu també

[modifica]