Distribució de cosinus elevat

Distribució del cosinus elevat

Funció de densitat de probabilitat
Funció de distribució de probabilitat
Tipus	distribució de probabilitat contínua i distribució de probabilitat simètrica
Paràmetres	$\mu \,$(real) $s>0\,$(real)
Suport	$x\in [\mu -s,\mu +s]\,$
fdp	${\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$
FD	${\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]$
Esperança matemàtica	$\mu \,$
Mediana	$\mu \,$
Moda	$\mu \,$
Variància	$s^{2}\left({\frac {1}{3}}-{\frac {2}{\pi ^{2}}}\right)\,$
Coeficient de simetria	$0\,$
Curtosi	${\frac {6(90-\pi ^{4})}{5(\pi ^{2}-6)^{2}}}=-0.59376\ldots \,$
FGM	${\frac {\pi ^{2}\sinh(st)}{st(\pi ^{2}+s^{2}t^{2})}}\,e^{\mu t}$
FC	${\frac {\pi ^{2}\sin(st)}{st(\pi ^{2}-s^{2}t^{2})}}\,e^{i\mu t}$

En teoria i estadística de probabilitats, la distribució de cosinus elevat és una distribució de probabilitat contínua recolzada en l'interval $[\mu -s,\mu +s]$. La funció de densitat de probabilitat (PDF) és

$f(x;\mu ,s)={\frac {1}{2s}}\left[1+\cos \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]\,={\frac {1}{s}}\operatorname {hvc} \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\,$ per $\mu -s\leq x\leq \mu +s$ i zero en cas contrari. La funció de distribució acumulada (CDF) és

$F(x;\mu ,s)={\frac {1}{2}}\left[1+{\frac {x-\mu }{s}}+{\frac {1}{\pi }}\sin \left({\frac {x-\mu }{s}}\,\pi \right)\right]$ per $\mu -s\leq x\leq \mu +s$ i zero per $x<\mu -s$ i unitat per $x>\mu +s$.

Els moments de la distribució de coseus elevat són una mica complicats en el cas general, però es simplifiquen considerablement per a la distribució de coseus elevat estàndard. La distribució estàndard del cosinus elevat és només la distribució del cosinus elevat amb $\mu =0$ i $s=1$. Com que la distribució estàndard del cosinus elevat és una funció parell, els moments senars són zero. Els moments parells estan donats per:

${\begin{aligned}\operatorname {E} (x^{2n})&={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}[1+\cos(x\pi )]x^{2n}\,dx=\int _{-1}^{1}x^{2n}\operatorname {hvc} (x\pi )\,dx\\[5pt]&={\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{1+2n}}\,_{1}F_{2}\left(n+{\frac {1}{2}};{\frac {1}{2}},n+{\frac {3}{2}};{\frac {-\pi ^{2}}{4}}\right)\end{aligned}}$

on $\,_{1}F_{2}$ és una funció hipergeomètrica generalitzada.