Anàlisi asimptòtica

En els camps de les matemàtiques pures i aplicades, en particular en l'anàlisi d'algorismes, l'anàlisi asimptòtica és un mètode de descripció del comportament en el límit quan una o més variables tendeixen cap a infinit.

Per exemple, suposem que estem interessats en les propietats d'una funció $f (n)$ quan $n$ es fa molt gran. Si $f (n) = n ² + 3 n$ , aleshores quan $n$ es fa molt gran, el terme $3 n$ esdevé insignificant comparat amb $n ²$ . La funció $f (n)$ es diu que és "asimptòticament equivalent a $n ²$ , quan $n \to \infty$ ". Això s'escriu habitualment amb la notació $f (n) ~ n ²$ , i es llegeix com que " $f (n)$ és asimptòtica a $n ²$ ".

Definició

Formalment, donades dues funcions $f (x)$ i $g (x)$ , definim una relació binària

f(x)\sim g(x)\quad ({\text{quan }}x\to \infty )

si i només si (de Bruijn 1981, §1.4)

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1.

Això defineix una relació d'equivalència (en el conjunt de funcions diferents de zero per a tots els valors de x prou grossos). La majoria de matemàtics prefereix la definició

f\sim g\iff f-g=o(g)

seguint la notació de Landau, que evita aquesta limitació. La classe d'equivalència de f consta de totes les funcions g que "es comporten com" f en el límit.

Vegeu també

Referències externes

Weisstein, Eric W., «Asymptotic Analysis» a MathWorld (en anglès).
Weisstein, Eric W., «Asymptotic Notation» a MathWorld (en anglès).