σ-àlgebra de Borel

La σ-àlgebra de Borel associada a un espai topològic T és la més petita de les σ-àlgebres a T que contenen tots els oberts de T; en altres paraules, és la σ-àlgebra generada pels conjunts oberts de T. Els elements de la σ-àlgebra de Borel s'anomenen conjunts de Borel o conjunts borelians o simplement borelians. L'existència i unicitat de la σ-àlgebra mínima es demostra construint-la com la intersecció de totes les σ-àlgebres que contenen T, ja que el resultat d'una intersecció d'un nombre arbitrari de σ-àlgebres és també una σ-àlgebra.

De manera equivalent, es pot definir la σ-àlgebra de Borel com la menor de les σ-àlgebres que contenen tots els subconjunts tancats de T.

σ-àlgebra de Borel sobre ℝ

Un exemple particularment important és la σ-àlgebra de Borel al conjunt dels nombres reals ${\mathbb {R} }$ definida com la més petita de les σ-àlgebres a ${\mathbb {R} }$ que conté tots els intervals, i que es designa per ${\mathcal {B}}$. Altres caracteritzacions alternatives d'aquesta σ-àlgebra són (entre altres) les següents: És la mínima σ-àlgebra a ${\mathbb {R} }$ que conté:

• Tots els intervals oberts.
• Tots els intervals tancats.
• Tots els intervals de la forma $[a,b)$ amb $a<b$.
• totes les semirectes de la forma $(-\infty ,a]$.
• totes les semirectes de la forma $[a,\infty )$.

Això és degut al fet que qualsevol classe d'intervals es pot obtenir a partir de les altres mitjançant operacions numerables. Per exemple, $(a,b)=\bigcup _{n=1}^{\infty }{\Big [}a+{\frac {1}{n}},b{\Big )}$. Encara més, utilitzant la densitat dels nombres racionals es pot veure que en les col·leccions d'intervals anterior n'hi ha prou amb considerar els intervals amb extrems racionals: per exemple, ${\mathcal {B}}$ és la σ-àlgebra generada per la família ${\big \{}(-\infty ,a],\ a\in \mathbb {Q} {\big \}}$. Es diu que és una σ-àlgebra separable o numerablement generada

σ-àlgebra de Borel sobre ℝⁿ

De manera anàloga és defineix la σ-àlgebra de Borel sobre $\mathbb {R} ^{n}$, que es designa per ${\mathcal {B}}^{n}$: és la menor σ-àlgebra que conté tots els oberts de $\mathbb {R} ^{n}$ (o tots els tancats), i també admet diverses famílies de generadors, per exemple, els productes d'intervals oberts $(a_{1},b_{1})\times \cdots \times (a_{n},b_{n})$ o semioberts $[a_{1},b_{1})\times \cdots \times [a_{n},b_{n})$, etc., que a més poden agafar-se amb d'extrems racionals

Vegeu també

• Sigma-àlgebra
• Mesura (matemàtiques)
• Espai de probabilitat
• Conjunt obert