Антисиметрична матрица: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание

Линейно

Версия от 11:48, 19 юли 2020

Антисиметрична матрица наричаме квадратна матрица $A(a_{ij})$ , за която е изпълнено $a_{ij}=-a_{ij}$ за всеки $i,j.$

Например ${\begin{pmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{pmatrix}}$ .

Рангът на всяка антисиметрична матрица е четен.
$A^{T}=-A$ (следва от $a_{ij}=-a_{ij}$ )
Всички числа по главния диагонал са нули. ( $a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow a_{ii}=0$ )^[1]
Нека A е n-мерна антисиметрична матрица. Ако n е нечетно, то $det(A)=0$ , а ако n е четно, $det(A)\geq 0$ ^[2]
За реални антисиметрични матрици ненулевите собствени стойности на матрицата са чисто имагинерни и следователно имат вида $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ където всички $\lambda _{k}$ са реални числа.

Константинов, М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици. С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000. с. 300.
Harville, D. A. Matrix Algebra from Statistician’s Perspective. Softcover, 1997.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.

@@ Ред 8: / Ред 8: @@
 # Всички числа по главния диагонал са нули. (<math>a_{ii}=-a_{ii} \Rightarrow a_{ii}=0</math>){{hrf|Harville|1997|240}}
 # Нека A е n-мерна антисиметрична матрица. Ако n е нечетно, то <math>det(A)=0</math>, а ако n е четно, <math>det(A)\geq 0</math>{{hrf|Harville|1997|248}}
-#От [[спектрална теорема|спектралната теорема]], за реални антисиметрични матрици ненулевите [[собствена стойност|собствени стойности]] на матрицата са чисто [[имагинерно число|имагинерни]] и следователно имат вида <math>\lambda_1 i, -\lambda_1 i, \lambda_2 i, -\lambda_2 i, \ldots</math> където всички  <math>\lambda_k</math> са реални числа.
+#За реални антисиметрични матрици ненулевите [[собствена стойност|собствени стойности]] на матрицата са чисто [[имагинерно число|имагинерни]] и следователно имат вида <math>\lambda_1 i, -\lambda_1 i, \lambda_2 i, -\lambda_2 i, \ldots</math> където всички  <math>\lambda_k</math> са реални числа.
 == Източници ==