Антисиметрична матрица: Разлика между версии

Изтрито е съдържание Добавено е съдържание

Линейно

Текуща версия към 18:29, 19 април 2021

Антисиметрична матрица наричаме квадратна матрица $A(a_{ij})$ , за която е изпълнено $a_{ij}=-a_{ji}$ за всеки $i,j.$

Например ${\begin{pmatrix}0&5&1\\-5&0&7\\-1&-7&0\end{pmatrix}}$ .

Свойства

Рангът на всяка антисиметрична матрица е четен.
$A^{T}=-A$ (следва от $a_{ij}=-a_{ji}$ )
Всички числа по главния диагонал са нули. ( $a_{ii}=-a_{ii}\Rightarrow a_{ii}=0$ )^[1]
Нека A е n-мерна антисиметрична матрица. Ако n е нечетно, то $det(A)=0$ , а ако n е четно, $det(A)\geq 0$ ^[2]
За реални антисиметрични матрици ненулевите собствени стойности на матрицата са чисто имагинерни и следователно имат вида $\lambda _{1}i,-\lambda _{1}i,\lambda _{2}i,-\lambda _{2}i,\ldots$ където всички $\lambda _{k}$ са реални числа.
Всяка квадратна матрица A може да бъде представена като сума от симетрична и антисиметрична матрица както следва: $A={\frac {1}{2}}\left(A+A^{\mathsf {T}}\right)+{\frac {1}{2}}\left(A-A^{\mathsf {T}}\right).$ ^[3]

Източници

↑ Harville 1997, с. 240.
↑ Harville 1997, с. 248.
↑ Roman 2005, с. 44.

Литература

Константинов, М. М. Елементи на линейната алгебра: Вектори и матрици. С. Университет по архитектура, строителство и геодезия, 2000. с. 300.
Harville, D. A. Matrix Algebra from Statistician’s Perspective. Softcover, 1997.
Roman, St. Advanced Linear Algebra, second ed. Springer-Verlag, New York, 2005.

Тази статия, свързана с математика, все още е мъниче. Помогнете на Уикипедия, като я редактирате и разширите.

[Harville1997240-1] Harville 1997, с. 240.

[Harville1997248-2] Harville 1997, с. 248.

[Roman200544-3] Roman 2005, с. 44.

[1]

[2]

[3]

@@ Ред 1: / Ред 1: @@
-'''Антисиметрична матрица''' наричаме квадратна [[Матрица (математика)|матрица]] <math>A(a_{ij})</math>, за която е изпълнено <math>a_{ij} = -a_{ij}</math> за всеки <math>i,j.</math>
+'''Антисиметрична матрица''' наричаме квадратна [[Матрица (математика)|матрица]] <math>A(a_{ij})</math>, за която е изпълнено <math>a_{ij} = -a_{ji}</math> за всеки <math>i,j.</math>
 Например <math>	\begin{pmatrix} 0 & 5 & 1 \\ -5 & 0 & 7 \\ -1 & -7 & 0 \end{pmatrix}</math>.
@@ Ред 5: / Ред 5: @@
 == Свойства ==
 # Рангът на всяка антисиметрична матрица е четен.
-# <math>A^T = -A</math> (следва от <math>a_{ij} = -a_{ij}</math>)
+# <math>A^T = -A</math> (следва от <math>a_{ij} = -a_{ji}</math>)
 # Всички числа по главния диагонал са нули. (<math>a_{ii}=-a_{ii} \Rightarrow a_{ii}=0</math>){{hrf|Harville|1997|240}}
 # Нека A е n-мерна антисиметрична матрица. Ако n е нечетно, то <math>det(A)=0</math>, а ако n е четно, <math>det(A)\geq 0</math>{{hrf|Harville|1997|248}}
-#За реални антисиметрични матрици ненулевите [[собствена стойност|собствени стойности]] на матрицата са чисто [[имагинерно число|имагинерни]] и следователно имат вида <math>\lambda_1 i, -\lambda_1 i, \lambda_2 i, -\lambda_2 i, \ldots</math> където всички  <math>\lambda_k</math> са реални числа.
+# За реални антисиметрични матрици ненулевите [[собствена стойност|собствени стойности]] на матрицата са чисто [[имагинерно число|имагинерни]] и следователно имат вида <math>\lambda_1 i, -\lambda_1 i, \lambda_2 i, -\lambda_2 i, \ldots</math> където всички <math>\lambda_k</math> са реални числа.
-#Всяка квадратна матрица може да бъде представена като сума от симетрична и антисиметрична матрица както следва: <math> A = \frac{1}{2}\left(A - A^\mathsf{T}\right) + \frac{1}{2}\left(A + A^\mathsf{T}\right). </math>{{hrf|Roman|2005|44}}
+# Всяка квадратна матрица A може да бъде представена като сума от симетрична и антисиметрична матрица както следва: <math> A = \frac{1}{2}\left(A + A^\mathsf{T}\right) + \frac{1}{2}\left(A - A^\mathsf{T}\right). </math>{{hrf|Roman|2005|44}}
 == Източници ==