Матрычная механіка

Матрычная механіка — матэматычны фармалізм квантавай механікі, распрацаваны Вернерам Гейзенбергам, Максам Борнам і Паскуалем Ёрданам у 1925 годзе.

Квантавая механіка

$\Delta x\cdot \Delta p_{x}\geqslant {\frac {\hbar }{2}}$

Прынцып нявызначанасці Гейзенберга

Уводзіны Матэматычныя асновы Аснова Класічная механіка · Інтэрферэнцыя · Бра і кет · Гамільтаніян · Старая квантавая тэорыя Фундаментальныя паняцці Квантавы стан · Квантавая назіраемая · Хвалевая функцыя · Квантавая суперпазіцыя · Квантавая счэпленасць · Змяшаны стан · Вымярэнне · Нявызначанасць · Прынцып Паўлі · Дуалізм · Дэкагерэнцыя · Тэарэма Эрэнфеста · Тунэльны эфект Эксперыменты Вопыт Дэвісана — Джэрмера · Вопыт Попера · Вопыт Штэрна — Герлаха · Вопыт Юнга · Праверка няроўнасцей Бела · Фотаэфект · Эфект Комптана Фармулёўкі Прадстаўленне Шродзінгера · Прадстаўленне Гейзенберга · Прадстаўленне ўзаемадзеяння · Матрычная квантавая механіка · Інтэгралы па траекторыях · Дыяграмы Фейнмана Ураўненні Ураўненне Шродзінгера · Ураўненне Паўлі · Ураўненне Клейна — Гордана · Ураўненне Дзірака · Ураўненне фон Неймана · Ураўненне Блоха · Ураўненне Ліндблада · Ураўненне Гейзенберга Інтэрпрэтацыі Капенгагенская інтэрпрэтацыя · Тэорыя схаваных параметраў · Шматсусветная Развіццё тэорыі Квантавая тэорыя поля · Квантавая электрадынаміка · Квантавая хромадынаміка · Квантавая гравітацыя Складаныя тэмы Квантавая тэорыя поля · Квантавая гравітацыя · Тэорыя ўсяго Вядомыя вучоныя Планк · Эйнштэйн · Шродзінгер · Гейзенберг · Ёрдан · Бор · Паўлі · Дзірак · Фок · Борн · дэ Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверэт

Матрычная механіка была першай незалежнай і паслядоўнай квантавай тэорыяй. Яна развівае ідэі тэорыі Бора, у прыватнасці адказвае на пытанне, як адбываюцца квантавыя пераходы. Асноўная ідэя матрычнай механікі заключаецца ў тым, што фізічныя велічыні, якія характарызуюць часціцу, апісваюцца матрыцамі, зменлівымі ў часе. Такі падыход цалкам эквівалентны хвалевай механіцы Эрвіна Шродзінгера і з’яўляецца асновай для бра-кет натацыі Дзірака для хвалевай функцыі.

Матэматычны апарат

У матрычнай механіцы лічыцца, што фізічная сістэма можа знаходзіцца ў адным з дыскрэтнага набору станаў n або ў суперпазіцыі гэтых станаў, таму ў цэлым стан квантава-механічнай сістэмы задаецца вектарам стану: канечнай ці бесканечнай сукупнасцю камплексных лікаў, а кожнай фізічнай велічыні A, якую можна назіраць у эксперыменце, адпавядае пэўная матрыца.

Камплексныя велічыні задаюць амплітуду імавернасці таго, што квантавамеханічная сістэма знаходзіцца ў стане n. Дыяганальныя элементы матрыцы A адпавядаюць значэнням фізічнай велічыні, калі яна знаходзіцца ў пэўным стане, а недыяганальныя элементы апісваюць імавернасць пераходаў сістэмы з аднаго стану ў іншы. Асаблівае месца займае матрыца энергіі H.

Ураўненне руху

Асноўны артыкул: Карціна Гейзенберга

Матрыца, якая апісвае фізічную велічыню, задавальняе ўраўненне руху

${\frac {dA}{dt}}={\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {i}{\hbar }}[H,A],$

дзе частковая вытворная задае яўную залежнасць фізічнай велічыні ад часу, а квадратныя дужкі азначаюць камутатар матрыц A і H. У гэтай формуле i — уяўная адзінка, $\hbar$ — прыведзеная пастаянная Планка. Калі матрыца A вядома ў пачатковы момант часу, то, рашаючы гэта ўраўненне, можна вызначыць яе ў любы момант часу.

Эквівалентнасць матрычнай і хвалевай механікі

Як паказаў Джон фон Нейман, матрычная механіка цалкам эквівалентная хвалевай механіцы Шродзінгера. Эквівалентнасць выцякае з таго, што хвалевую функцыю ψ можна раскласці ў рад, выкарыстоўваючы пэўны ортанарміраваны базіс функцый $\varphi _{i}$:

$\psi =\sum _{n}c_{n}\varphi _{n}.$

Каэфіцыенты гэтага раскладання c_n задаюць вектар стану.

Матрыца, якая адпавядае пэўнай фізічнай велічыні A, задаецца матрычнымі элементамі аператара ${\hat {A}}$

$A_{nm}=\int \varphi _{n}^{*}{\hat {A}}\varphi _{m}d\tau .$

Улічваючы эквівалентнасць фармулёвак, у сучаснай квантавай механіцы матрычны падыход выкарыстоўваецца на роўных з апісаннем з дапамогай хвалевых функцый.