最強の巨大基数「0=1」について解説します ■参考文献 Akihiro Kanamori『The Higher Infinite』 https://amzn.to/4e9qfO2 渕野 昌, 公理的集合論, 特別企画──これから学ぶ人のために── https://doi.org/10.11429/sugaku.0654411 Alwe, 独立命題とはなにか https://mathlog.info/articles/1332 ■Wikipedia 巨大基数的性質の一覧 https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B7%A8%E5%A4%A7%E5%9F%BA%E6%95%B0%E7%9A%84%E6%80%A7%E8%B3%AA%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7 ーーーーーーーーーーーーーーーー ■動画の途中で登場する動画 順序数の共終数
https://t.co/enzyGwW2lr とても面白かった。冒頭のこの部分で引き込まれた。 https://t.co/CBgyABQWf2
「定理の証明には、いったいどれくらいの公理が必要なのだろう？」――古くは紀元前から、数学にはたびたびこの疑問が投げかけられてきた。この疑問にある種の回答を与えるのが、逆数学とよばれる数学基礎論の一分野である。 逆数学では、“公理”から“定理”を導く通常の数学とは異なり、“定理”に必要な“公理”を探る。これによって、定理どうしを“深さ”で分類したりすることができる。たとえば、「最大値の定理は中間値の定理より“深い”」といった具合だ。 本書では、解析学の基礎を通して、逆数学の基本的な考え方を解説。要所要所で歴史的な話題にも触れながら、読者をナビゲートしていく。 本書を読み終えた後、読者は、これまで出会ってきた定理たちを少し違った角度から眺めている自分に気づくはずだ。 「数学者は、材料の公理を加工して、定理という製品をつくり出す機械みたいなものか、といえば決してそうではないだろう。むしろ、ある定
逆数学 (reverse mathematics) は数学の定理の強さ、すなわちその定理を証明するためにどのくらいの仮定、すなわち公理が必要なのか分析する分野である。逆数学の「逆」は定理と公理の同値性を示すために、「定理から公理を証明する」訳であるが、これが通常の数学での「公理から定理を証明する」の逆であることにちなむ。 二階算術 通常の数学の定理の強さを分析するためにはZermelo–Fraenkelの集合論、$\mathsf{ZF},\mathsf{ZFC}$などは強すぎる。もちろん、「 $\mathsf{ZF}$ 上でZornの補題と選択公理が同値」や 「$\mathsf{ZF}$ 上でBoole素イデアル定理と完全性定理の同値」、「$\mathsf{ZF}$ 上で $\mathbf{\Sigma}^1_1$ の決定性と任意の集合に対してそのシャープが存在することは同値」などの逆数学
現象
数学の対象は存在ではなく現象である。 というフレーズを思いついた。 1 という対象はどこにも存在しない。 整数という対象は存在しない。 整数の論理的条件に合致する現象について考えることしかできない。 最近、ホモトピー型理論 HoTT (Homotopy Type Theory) という理論を聞きかじった。 そこに univalence axiom (テキトーに訳すと「統価公理」)という要請がある。 ざっくりした理解で言えば、同じ振る舞いをする型は同じ型ということにする、という原理である。 実装の違いに依らず整数は整数、というような説明をされる。 この理論を計算機科学の文脈で捉えるだけなら実装と言っておけば良いのだが、 集合論に代わる基礎論の文脈からはこれをどう考えるのだろう、とどこか引っかかっていた。 整数のように振る舞う対象は整数である。 そう考えると、全ての自由巡回群は整数である。 集
古典命題/述語論理の証明論・モデル論や、健全性・完全性定理に多少触れたことがないと理解できない可能性が高いです。 また、哲学に関する前提知識は必要ありません(おそらく)。 分かっている人向けの説明 「金子先生や大西先生の文献を追いながら、ダメットの反実在論に関する議論をざっくり整理してスッキリしたい」という気持ちに突き動かされて書いた個人的なメモを、他人に見せられるように整形・拡張したものです。今年言語哲学について学んだことのメモにもなっています。 直観主義論理とはまず、今回のテーマである直観主義論理についての説明をしておきたいと思います(すでにご存じの方は次章に移ってくださって構いません)。いわゆる普通の論理学の体系、古典論理(classical logic)についての知識は前提としているので、知らない方は色々調べて見てください。 さて、直観主義論理を非常に簡単に説明するなら、古典論理の
![哲学的視点からの直観主義論理入門 [前編]](https://cdn-ak-scissors.b.st-hatena.com/image/square/e63fd1b69dcc0534e86c3d8e565ac66aa9c45634/height=288;version=1;width=512/https%3A%2F%2Ffanyv88.com%3A443%2Fhttps%2Fmathlog.info%2Fapi%2Fogp_image%3Ftitle%3D%25E5%2593%25B2%25E5%25AD%25A6%25E7%259A%2584%25E8%25A6%2596%25E7%2582%25B9%25E3%2581%258B%25E3%2582%2589%25E3%2581%25AE%25E7%259B%25B4%25E8%25A6%25B3%25E4%25B8%25BB%25E7%25BE%25A9%25E8%25AB%2596%25E7%2590%2586%25E5%2585%25A5%25E9%2596%2580%2B%255B%25E5%2589%258D%25E7%25B7%25A8%255D%26tags%3D%25E8%25AB%2596%25E7%2590%2586%25E5%25AD%25A6%252C%25E7%259B%25B4%25E8%25A6%25B3%25E4%25B8%25BB%25E7%25BE%25A9%25E8%25AB%2596%25E7%2590%2586%252C%25E8%25A8%2580%25E8%25AA%259E%25E5%2593%25B2%25E5%25AD%25A6%26profile_name%3D%25E2%258A%25A5%26profile_image%3Dhttps%253A%252F%252Ffirebasestorage.googleapis.com%252Fv0%252Fb%252Fmathlog-361213.appspot.com%252Fo%252Fuploads%25252Fprofile%25252F1464%25252F20210904221157.jpg%253Falt%253Dmedia)
予約したもののインフォバーを手に入れられない海野です． 人間の高度な知的処理の一つが、推論処理です．今日はその推論を、述語論理と機械学習の組み合わせで模倣したMarkov Logic Networkという手法と、そのOSS実装であるAlchemyの紹介です． 鳥とはなんですか？という質問に対してどう答えるでしょうか．大雑把には、以下のように考えるでしょう． 鳥とは、空を飛ぶ動物です． この回答に対して、「ペンギンは飛ばないよ」と反論する人がいるかも知れません． 鳥とは、くちばしを持った動物です． すると、「カモノハシは鳥じゃないよ」と言われるでしょう．人間は初めて見た生き物が鳥かそうじゃないか判断するとき、どうしているのでしょうか．思うに、少数の規則（飛ぶかどうか．くちばしをもつか）から総合的に判断しているように思われます．人間の推論というのは概ね以下のような特徴を持っているのではないかと
ver.2022.05.26：文章を色々と変更・修正。数学や歴史についての内容は変っていない。数式を MathJax で表示するように変更。インライン要素の前後に意図せぬ空白が入っていたのを修正。 1. 不完全性定理理解の第一歩に向けて…このテキストの内容の説明 このテキストでは、1931年にクルト・ゲーデルが発表した数学の定理である不完全性定理の理解への第一歩として、なるべく数式を使わない説明を行う。不完全性定理には第一不完全性定理と第二不完全性定理のふたつがあるが、最初、物理学の万物の理論とのアナロジーを使って、第一不完全性定理がどんな定理なのかを説明し（第2-8節）、その後で第二不完全性定理の説明、および、第一不完全性定理と第二不完全性定理が生まれた歴史的背景について説明する（第9-15節）。そして、最後にこの定理の人類の知の歴史における位置付けを行う（第16節）。 このテキストでは
【外山恒一の「note」コンテンツ一覧】 ──名探偵・外山恒一の冒険４ 「名探偵・外山恒一の冒険」シリーズ １．オフィスＶＡＤの秘密（98年） ２．「アナーキー・イン・ザ・UK」の秘密（04年） ３．『ファイト・クラブ』──“映像の乱れ”の謎（16年） １． さて皆さん。 北尾修一氏による勇気ある告発によって、〝コーネリアス〟こと小山田圭吾氏への今回の壮絶なバッシングの火元となったブログ記事が、文章能力の不足といった不可抗力の類ではなく、明白なる悪意に基づいて巧妙に構成されたデマ、要するにいわゆる〝フェイク・ニュース〟の類であることはすでに明らかとなりました。 「勇気ある」というのは、北尾氏はそもそも、小山田氏が自身のイジメ加害体験を赤裸々に告白したインタビュー記事が掲載された『クイック・ジャパン』誌の編集者であり、しかも問題のインタビューの場にも居合わせたというのですから、「身内をかばっ
子供の頃、大人と話していて一番イヤだったのは、自分がおかしいと感じたことを、どんなに論理的に説明しても、「屁理屈」だと笑われ、真面に相手にされなかった時。で、理屈の通らない話が正しいとされたままになる、とか。もう少し年齢が上がると、「小難しい」といってまた嘲笑されるのだが。
Concept 法令文はそれだけでは単なる文字列にすぎない。人が法をもとに思考することで初めてそれは意味を持つ。法律に関する議論は法律文そのものではなくその読み方について行われる。それは法的思考と呼ばれ、そこから生まれた解釈は一つの条文に対して複数存在し、文章化されず、いつの間にか更新される。 法の管理と編集を開かれたものにするGitLawという思想がある。しかし、現状の法令文はあまりにも複雑で高度に専門化されているため、その実現は難しいのではないだろうか。 bitlawは、法律文自体をコンピュータで処理できる形に書き換えることで、法的思考を用いずに結論を導き出すシステムの制作を目的とする。意味を持たないはずの法律文から取り出された結論は専門家から見れば間違っていることもある。それはアマチュアのシステムであるといえる。しかしそれによって、人々が法律文そのものについて議論することが可能になる
このブログ記事は、Advent Calender 2020, Rust 3、23日目の記事となります。自分は現在大学で教員をしていまして、セキュリティ系の研究室に所属しています。現在はセキュリティの講義を担当しており、そこでRust言語を教えているため、その内容を紹介しようと思います。 はじめに 皆さんご存知のようにソフトウェアの脆弱性は今でも大きな問題となっていますが、それを完全ではないにしろ根本から解決するための技術的手法として型システムが注目されています。型システムの考え自体は古くからありますが、最近ではRust言語が登場し、OSなどいわゆる低レイヤーなソフトウェアも型システムの恩恵を預かることができるようになってきました。SMTソルバや定理証明などと言った難しい（かつ面白い）手法でC言語やC++言語で書かれたソフトウェアを解析する方法もありますが、セキュアソフトウェアを語る上では、
理系の学問は自己相対化とか客観性とかの担保が実験や統計などの「研究法」に外部化されているから、「研究」の外側に出ると途端に思い込みや偏見丸出しになる人が時々いるラジよね。
類似性と「みにくいアヒルの子の定理」 小野山 敬一 １．はじめに 類似性 similarity は対象間の関係を見るひとつの方法であり，しばしば分類における基準となるもので，それによって事物のグルーピングが行なわれたりするものである．一方，「みにくいアヒルの子の定理」（the theorem of the ugly duckling）は，形質を同等に評価した場合には類似性にもとづく分類がありえないこと，したがって客観的な分類がありえないことを示すものと解釈されている． 「みにくいアヒルの子の定理」はWatanabeが1961年にAAAS annual meetingで言及し，1962年ブラッセルでの講演で厳密な証明を与えた．後者はWatanabe (1965) に収録されている．その後，渡辺自身は，Watanabe (1969) や渡辺（1978，1986）で取り上げているが，他の著者が言
#ハロウィン でわかる論理演算 #Halloween https://t.co/jDpGG001xC
この番組は、思わず頭の中で手順を組み立て、先を予想したくなるような興味深い実験、手順の組み合わせを改善していく楽しさを伝えるアニメーション、さまざまな仕事や物の中にプログラミング的思考が活かされていることを伝えるコーナーなどで構成されています。番組の中では、実際にコンピューターを使ったプログラミングを体験するシーンは出てきません。コンピューターへの苦手意識やICT 環境を問わず、誰でも楽しくプログラミング的思考を育めます。コンピューターを使ったプログラミングへの導入としてはもちろん、実際のプログラミング体験をした後でも、活用できる番組です。
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