Númberu compuestu

Númberu compuestu
type of integer (en)
enteru positivu

Los númberos compuestos apaecen nesta tabla en verde.

Un númberu compuestu ye un enteru natural diferente del cero que tien al menos un divisor positivo diferente de 1 o sí mesmu. Otra definición válida ye qu'un númberu compuestu pue espresase cómo'l productu ente al menos dos númberos primos. Tolos númberos enteros positivos son primos, compuestos o la unidá (1), asina, los númberos que nun son nin primos nin 1, son los númberos compuestos.

Les númberos compuestos hasta 150 son:

4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27, 28, 30, 32, 33, 34, 35, 36, 38, 39, 40, 42, 44, 45, 46, 48, 49, 50, 51, 52, 54, 55, 56, 57, 58, 60, 62, 63, 64, 65, 66, 68, 69, 70, 72, 74, 75, 76, 77, 78, 80, 81, 82, 84, 85, 86, 87, 88, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 98, 99, 100, 102, 104, 105, 106, 108, 110, 111, 112, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 128, 129, 130, 132, 133, 134, 135, 136, 138, 140, 141, 142, 143, 144, 145, 146, 147, 148, 150.

Tipos

Una forma de clasificar númberos compuestos ye cuntando'l númberu de factores primos. Un númberu compuestu con dos factores primos ye semiprimu (los factores nun precisen ser distintos, poro, inclúyense los cuadraos de los primos). Un númberu compuestu con trés factores primos distintos ye un númberu esfénicu. En delles aplicaciones, ye necesariu estremar ente númberos compuestos con un númberu impar de factores primos distintos y aquellos con un númberu par de factores primos distintos. Pal últimu:

$\mu (n)=(-1)^{2x}=1$

(onde μ ye la función de Möbius y x ye la metá del total de factores primos), ente que pal primeru

$\mu (n)=(-1)^{2x+1}=-1.$

Sicasí, pa los númberos primos, la función devuelve -1 y $\mu (1)=1$. Pa un númberu n con unu o más factores primos repitíos,

$\mu (n)=0$.

Si se repiten tolos factores primos d'un númberu, denomínase númberu poderosu (Toles potencies perfectes son númberos poderosos). Si nun se repite nengunu de los sos factores primos, denomínase númberu llibre de cuadraos. (Tolos númberos primos y 1 son llibres de cuadraos).

Otra forma de clasificar les númberos compuestos ye cuntando'l númberu de divisores. Tolos númberos compuestos tienen siquier trés divisores. Nel casu de cuadraos de primos, esos divisores son $\{1,p,p^{2}\}$. Un númberu n que tien más divisores que cualesquier x <n ye un númberu altamente compuestu (anque los dos primeros númberos son 1 y 2).

Otra forma más de clasificar númberos compuestos ye determinar si tolos factores primos tán toos per debaxo o percima d'un númberu (primu) fixu. Estos númberos denomínense númberos nidios y númberos averaos, respectivamente.

Característiques

Artículu principal: Teorema fundamental de l'aritmética

Una característica ye que cada unu puede escribise como productu de dos númberos naturales menores qu'él y distintos d'un. Asina, el númberu 20 ye compuestu porque puede espresase como 4×5; y tamién el 87 yá que s'espresa como 3×29. Sicasí, nun ye posible faer lo mesmo col 17 ó el 23 porque son númberos primos. Cada númberu compuestu puede espresase como multiplicación de dos (o más) númberos primos específicos, que'l so procesu conocese como factorización. El númberu compuestu más pequeñu ye'l 4.

La forma más senciella para probar qu'un númberu n ye compuestu, ye atopar un divisor d entendíu ente 1 y n (1 < d < n). Por casu, 219 ye compuestu porque tien a 3 por divisor. Y tamién 371 porque tien a 7 por divisor. Una bona alternativa ye utilizar entós el pequeñu teorema de Fermat, o meyor la xeneralización d'este teorema debida al matemáticu suizu Leonhard Euler.

Como los númberos primu y compuestu tán entemecíos unos con otros ye lóxicu preguntar si van esistir secuencies de númberos compuestos consecutivos de llargor arbitrariu. La secuencia 32, 33, 34, 35 y 36 ye un exemplu de llargor 5, y 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 122, 123, 124, 125 y 126 un exemplu de llargor 13. La respuesta ye que podemos consiguir una secuencia de númberos compuestos tan llarga como se deseye. Si deseyamos una secuencia de llargor 20, basta tomar los númberos 21!+2, 21!+3, 21!+4, ... , 21!+21, una y bones el primeru ye divisible por 2, el segundu por 3, etcétera.

Un teorema de Fermat afirma que si p ye primu de la forma 4n+1, entós dase un casu d'esclusión simple, que puede espresase de forma única como suma de dos cuadraos. Si un númberu de la forma 4n+1 puede espresase como suma de dos cuadraos de dos formes distintes siquier, entós el númberu ye compuestu. Euler topó un métodu de factorización a partir d'esti fechu. Por casu, si 221 = 112 + 102 = 142 + 52, entós, 142 - 112 = 102 - 52. Tomando mcd(14+11, 10+5) = mcd(25,15) = 5, y dempués 25/5 = 5 y 15/5 = 3, y d'últimes 52 + 32 = 25 + 9 = 34, entós mcd(221, 34) = 17 danos el factor que buscamos. El 1 y el 0 son casos especiales y nun se consideren nin primos nin compuestos.

Ver tamién

• Teorema fundamental de l'aritmética
• Númberu primu

Bibliografía

• Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
• Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
• Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
• McCoy, Neal H. (1968), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68-15225
• Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766

Enllaces esternos

• Llista de númberos compuestos con factorización de primos (primeros 100, 1,000, 10,000, 100,000, y 1,000,000)
• Divisor Plot (patrones encontraos en grandes númberos compuestos)

• Datos: Q50707