مثلث متساوي الأضلاع
النوع | ![]() |
---|---|
رمز شليفلي |
{3} |
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/Triangolo-Equilatero.png)
في الهندسة الرياضية، المثلث المتساوي الأضلاع (بالإنجليزية: Equilateral triangle) هو مثلث جميع أضلاعه متساوية الطول.[1][2][3] وفي الهندسة الإقليدية تكون جميع زوايا المثلث المتساوي الأضلاع متساوية القياس وقياس كل منهما °60.
المثلث المتساوي الأضلاع هو مضلع منتظم له ثلاثة أضلاع وبالتالي من الممكن تسميته مثلث منتظم.
خصائص أساسية
[عدل]- كل المثلثات المتساوية الأضلاع متشابهة.
- الارتفاع في المثلث المتساوي الأضلاع ينصف الضلع المتعلق به.
- المتوسط في المثلث المتساوي الأضلاع عمودي على الضلع الذي ينصفه.
- يحقق المثلث المتساوي الأضلاع مبرهنة فيفياني.
- AD قطعة مستقيمة في المثلث المتساوي الأضلاع AD :ABC ارتفاع AD متوسط AD منصف للزاوية A.
- P نقطة في المثلث المتساوي الأضلاع P :ABC مركز قائم P نقطة وسطى P مركز الدائرة الداخلية المماسة للمثلث ABC.
طول الارتفاع
[عدل]إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن طول الارتفاع فيه يعطى بالقانون:
إذا كان ABC مثلثاً متساوي الأضلاع طول ضلعه a و AH ارتفاع فيه قدمه H فإن:
H منتصف BC ( من خواص المثلث المتساوي الأضلاع ABC ).
بتطبيق مبرهنة فيثاغورس على AHC
المساحة
[عدل]إذا كان a طول ضلع المثلث المتساوي الأضلاع، فإن مساحته تعطى بالقانون:
البرهان:
مساحة المثلث = ½ الارتفاع × القاعدة
مساحة المثلث = ½ ×
مساحة المثلث المتساوي الأضلاع =
مبرهنات مهمة
[عدل]- تنص مبرهنة مورلي على أنه في أي مثلث، النقط الثلاث حيث يلتقي مثلِّثات الزوايا المتحادية تُكون مثلثا متساوي الأضلاع.
- مبرهنة نابليون
- مبرهنة فيفياني
- مبرهنة بومبي
- تنص صيغة لمتباينة المحيط الثابت تخص المثلثات، أن المثلث ذا المساحة القصوى عندما يكون المحيط ثابتا هو المثلث المتساوي الأضلاع.
خصائص أخرى
[عدل]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/11/Equilateral-triangle-heights.svg/300px-Equilateral-triangle-heights.svg.png)
بفرض طول الضلع a، والارتفاع h، فإن:
- طول نصف قطر الدائرة المحيطة هو:
- طول نصف قطر الدائرة الداخلية هو:
- حسب مبرهنة أويلر، فإن الدائرة المحيطة والدائرة المحاطة بمثلث متساوي الساقين لهما مركز واحد.
- المثلث ذو المساحة القصوى المحاط بدائرة محددة هو مثلث متساوي الأضلاع، والمثلث ذو المساحة الصغرى المحيط بدائرة معلومة هو مثلث متساوي الأضلاع.
- نسبة مساحة الدائرة المحاطة بمثلث متساوي الأضلاع إلى مساحته هي: ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
- نسبة مساحة مثلث متساوي الأضلاع إلى مربع محيطه هي ، وهذه النسبة أكبر ما تكون لمثلث متساوي الأضلاع من غيره.
الإنشاء الهندسي
[عدل]مثلث متساوي الأضلاع ينشئ بسهولة بواسطة الفرجار والمسطرة.
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8b/Equilateral_Triangle_Inscribed_in_a_Circle.gif)
انظر أيضاً
[عدل]مراجع
[عدل]- ^ De، Prithwijit (2008). "Curious properties of the circumcircle and incircle of an equilateral triangle". Mathematical Spectrum. ج. 41 ع. 1: 32–35.
- ^ Community - Art of Problem Solving نسخة محفوظة 13 أكتوبر 2016 على موقع واي باك مشين.
- ^ Minda، D.؛ Phelps، S. (2008). "Triangles, ellipses, and cubic polynomials". American Mathematical Monthly. ج. 115 ع. October: 679–689. JSTOR:27642581.
وصلات خارجية
[عدل]إيريك ويستاين، إنشاء المثلث المتساوي الأضلاع، ماثوورلد Mathworld (باللغة الإنكليزية).
![]() |
في كومنز صور وملفات عن: مثلث متساوي الأضلاع |