من ويكيبيديا، الموسوعة الحرة
بيان هندسي يمكن من البرهان على قاعدة الضرب
في التحليل الرياضي، قاعدة الضرب (وتدعى أيضًا قانون لايبنتز) قاعدة تستخدم لحساب اشتقاق حاصل ضرب دالتين قابلتين للاشتقاق :
لهذا يمكن القول تبعا لترميز لاغرانج :
![{\displaystyle (fg)'=f'g+fg'\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f9f2ca6050d6691d537f9fafeea1a5f79e9d7cee)
أو بترميز لايبنز :
.[1][2][3]
لنحسب تفاضل
. حسب قاعدة الضرب لدينا:
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x)\cos(x){\big ]}&=\sin(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\cos(x){\big ]}+\cos(x){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}{\big [}\sin(x){\big ]}\\&=-\sin ^{2}(x)+\cos ^{2}(x)\\&=1-2\sin ^{2}(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03604b1989876e018038ad3df7625dc26f8226e0)
لتكن
، ونعتبر أن
و
موجودين. لدينا:
![{\displaystyle {\begin{aligned}h'(x)&=\lim _{a\to 0}{\frac {h(x+a)-h(x)}{a}}=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)g(x+a)-f(x)g(x+a)+f(x)g(x+a)-f(x)g(x)}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {[f(x+a)-f(x)]\cdot g(x+a)+f(x)\cdot [g(x+a)-g(x)]}{a}}\\&=\lim _{a\to 0}{\frac {f(x+a)-f(x)}{a}}\cdot \lim _{a\to 0}g(x+a)+\lim _{a\to 0}f(x)\cdot \lim _{a\to 0}{\frac {g(x+a)-g(x)}{a}}\\&=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9089fd5b08cd32d7fc8b323785ef101df5912053)
قاعدة الضرب يمكن أن تعمم عند حساب اشتقاق أكثر من حدين. على سبيل المثال، اشتقاق جداء ثلاثة حدود يُحسب كما يلي:
![{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49de578ad1c3c6264d86b5e43c330c5708b00b3c)
من أجل حساب اشتقاق جداء عدد معين من الدوال
، يتوفر ما يلي:
![{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right]=\sum _{i=1}^{k}\left(\left({\frac {d}{dx}}f_{i}(x)\right)\prod _{j=1,j\neq i}^{k}f_{j}(x)\right)=\left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}(x)\right)\left(\sum _{i=1}^{k}{\frac {f'_{i}(x)}{f_{i}(x)}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33a940fffdeb3b6d08c599ce4f164b33899794eb)
اشتقاق من درجات عليا
[عدل]
انظر إلى مبرهنة ذي الحدين.
![{\displaystyle d^{n}(uv)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot d^{(n-k)}(u)\cdot d^{(k)}(v).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aadb17d308e9e132247305bdb12fbf1d0c7a2bc3)
![{\displaystyle (uv)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot u^{(n-k)}(x)\cdot v^{(k)}(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/df1954e370f762ec48b1ad5baa2381ccd85c04da)
![{\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{k}f_{i}\right)^{(n)}=\sum _{j_{1}+j_{2}+\cdots +j_{k}=n}{n \choose j_{1},j_{2},\ldots ,j_{k}}\prod _{i=1}^{k}f_{i}^{(j_{i})}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4adcf7aeb7d6b0b4335f211da6039db794921e)