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三十二元數

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三十二元數
符號[1]
種類非結合代數
單位、......、
乘法單位元
主要性質冪結合性
零因子
數字系統

在數學中,三十二元數(英語:Trigintaduonion)是指32個維度的代數系統[2]。較常見的定義是透過將十六元數套用凱萊-迪克森構造生成的32維代數系統[3]。這種代數系統不是可除代數,且不具備交換律和結合律。[1]

性質

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凱萊-迪克森構造生成的三十二元數本身包含了十六元數、八元數、四元數、複數和實數,也就是說實數包含於複數、複數包含於四元數、四元數包含於八元數、八元數包含於十六元數、十六元數包含於三十二元數。

其中為三十二元數。後面仍能持續推廣為六十四元數、一百二十八元數等。[1]

乘法表

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高維超複數的乘法表可以透過低維超複數的乘法表推廣以產生,因此三十二元數的乘法表有一部份與十六元數、八元數的乘法表相同,其餘部分能透過推廣的方式計算得出,甚至六十四元數、一百二十八元數的乘法表也皆是已知的。[4]這些乘法表中的元素通常是單位,可稱為基元,基元的數量則決定了超複數的維度[5]:89

三十二元數的乘法表十分龐大,可以參見文獻中的附表[4][1]。具體執行三十二元數乘法的過程需要1024次實數乘法和992次實數加法。[6]

高維代數結構

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三十二元數之上還有六十四元數、一百二十八元數等,其維數皆是二的次方。[4]

六十四元數

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六十四元數共有1個實元素和63個虛元素單位。其乘法表的結構可以以這63個虛元素單位作為點,形成651個三元組。[7]如同八元數法諾平面英語Fano plane7個虛元素單位構成7條線,六十四元數的651個三元組都可以看做一條線,每條線通過3個頂點,每個點連接31條線,並同構於PG(5,2)。[8]:20

參見

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參考文獻

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  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Raoul E. Cawagas, et al. (2009)., "THE BASIC SUBALGEBRA STRUCTURE OF THE CAYLEY-DICKSON ALGEBRA OF DIMENSION 32 (TRIGINTADUONIONS)", [2022-04-25], (原始內容存檔於2022-04-24) 
  2. ^ Weng, Zihua. Compounding Fields and Their Quantum Equations in the Trigintaduonion Space. arXiv. 2007 [2022-05-28]. doi:10.48550/ARXIV.0704.0136. (原始內容存檔於2022-01-31). 
  3. ^ Kübra Gül. On k-Fibonacci and k-Lucas Trigintaduonions (PDF). International Journal of Contemporary Mathematical Sciences. 2018, 13 (1) [2022-05-28]. doi:10.12988/ijcms.2018.71134. (原始內容存檔 (PDF)於2022-06-16). 
  4. ^ 4.0 4.1 4.2 穆大祿. 三十二元數乘法表. 信陽師范學院學報(自然科學版). 2017年4月, 第30卷 (第2期) [2022-04-26]. doi:10.3969/j.issn.1003-0972.2017.02.001. (原始內容存檔於2022-04-27) (中文(簡體)).  論文全文 (PDF). [2022-04-27]. (原始內容 (PDF)存檔於2022-04-27). 
  5. ^ Liu Shaoxue. Modern algebra foundation. Beijing: Higher Education Press. 2000. 
  6. ^ Aleksandr Cariow & Galina Cariowa. An algorithm for multipication of trigintaduonions. Journal of Theoretical and Applied Computer Science. 2014, 8 (1) [2022-05-28]. (原始內容存檔於2022-05-28). 
  7. ^ Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. From Cayley-Dickson algebras to combinatorial Grassmannians (PDF). Mathematics (Multidisciplinary Digital Publishing Institute). 2015, 3 (4): 1192–1221 [2022-05-28]. doi:10.3390/math3041192. (原始內容存檔 (PDF)於2022-06-16). 
  8. ^ Saniga, Metod and Holweck, Frédéric and Pracna, Petr. Cayley-Dickson algebras and finite geometry (PDF). arXiv preprint arXiv:1405.6888. 2014 [2022-04-28]. doi:10.48550/arXiv.1405.6888. (原始內容 (PDF)存檔於2022-04-28).