在一个旋转系统里，力
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
τ
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
在物理学 中，角动量 是与物体的位置矢量 和动量 相关的物理量 。对于某惯性参考系 的原点
O
{\displaystyle \mathbf {O} }
位置矢量 和动量 的叉积 ，通常写做
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
矢量 ，且是一赝矢量 。
L
=
r
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
其中，
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
p
{\displaystyle \mathbf {p} }
L
{\displaystyle \mathbf {L} }
L
=
r
×
p
=
r
×
(
m
v
)
=
r
×
(
ω
×
(
m
r
)
)
=
m
r
2
ω
=
I
ω
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times (m\mathbf {v} )=\mathbf {r} \times ({\boldsymbol {\omega }}\times (m\mathbf {r} ))=mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}=I{\boldsymbol {\omega }}}
其中，
I
{\displaystyle I}
转动惯量 ，
ω
{\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
假设作用于物体的外力矩和为零，则物体的角动量是守恒的。需要注意的是，由于成立的条件不同，角动量是否守恒与动量 是否守恒没有直接的联系。
当物体的运动状态（动量）发生变化，则表示物体受力作用，而作用力大小就等于动量
P
{\displaystyle \mathbf {P} }
F
=
d
P
d
t
{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {P} }{dt}}}
当物体的转动状态发生改变时，表示物体受到力矩作用，而力矩就等于角动量的时变率：
τ
=
d
L
d
t
{\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {d\mathbf {L} }{dt}}}
若物体（或系统）所受外力矩和为零，则物体（系统）的角动量守恒。例如静电力或万有引力均是径向力，因此不会产生力矩。行星运动的相互作用力源自于万有引力，故行星运动满足角动量守恒，所对应的就是开普勒定律 中的第二定律 。
P
≡
m
v
{\displaystyle \mathbf {P} \equiv m\mathbf {v} }
伽利略·伽利莱 首先引入角动量守恒的概念。[ 1] :80
在量子力学里角动量是量子化的：系统的角动量不能任意地取某实数值而只能取以约化普朗克常数
ℏ
{\displaystyle \hbar }
ℏ
{\displaystyle \hbar }
自旋 。自旋以
ℏ
2
{\displaystyle {\frac {\hbar }{2}}}
角动量是位移与动量的矢量积。而量子力学里位移与同方向动量是非对易 的因此各独立方向的角动量分别非对易：
[
L
i
,
L
j
]
=
i
ℏ
ϵ
i
j
k
L
k
{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}
ϵ
i
j
k
{\displaystyle \epsilon _{ijk}}
列维-奇维塔符号 。
[
A
,
B
]
=
A
B
−
B
A
{\displaystyle [A,B]=AB-BA}
交换子 。根据海森堡不确定原理 非对易的物理量不能同时测准。因此角动量矢量的各方向部可以各自但不能同时确定。虽然如此但是角动量矢量的长度是可和任意一部同时确定：
[
L
i
,
L
2
]
=
0
{\displaystyle \left[L_{i},L^{2}\right]=0}
因此算符
L
2
{\displaystyle L^{2}}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
L
2
{\displaystyle L^{2}}
球坐标系 表现为：[ 2] :169
L
2
=
−
ℏ
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
∂
θ
)
−
ℏ
2
sin
2
θ
∂
2
∂
ϕ
2
{\displaystyle L^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)-{\frac {\hbar ^{2}}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}}
其中
θ
{\displaystyle \theta }
z
{\displaystyle z}
ϕ
{\displaystyle \phi }
z
{\displaystyle z}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
L
2
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
2
l
(
l
+
1
)
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle L^{2}|l,m\rangle ={\hbar }^{2}l(l+1)|l,m\rangle }
L
z
|
l
,
m
⟩
=
ℏ
m
|
l
,
m
⟩
{\displaystyle L_{z}|l,m\rangle =\hbar m|l,m\rangle }
是球谐函数 ：
⟨
θ
,
ϕ
|
l
,
m
⟩
=
Y
l
,
m
(
θ
,
ϕ
)
{\displaystyle \langle \theta ,\phi |l,m\rangle =Y_{l,m}(\theta ,\phi )}
l
{\displaystyle l}
−
l
≤
m
≤
l
{\displaystyle -l\leq m\leq l}
l
{\displaystyle l}
经典力学内角动量是可以取任意连续值会导致热力学 上一些吊诡 。角动量量子化给这些问题完美的答案，这也是角动量量子化有其必要性的证据之一。
在热力学里平均能量和系统自由度有关。例如忽略内部结构的单原子分子组成的理想气体 平均能量是
E
N
=
3
2
k
B
T
{\displaystyle {\frac {E}{N}}={\frac {3}{2}}k_{\mathrm {B} }T}
k
B
T
2
{\displaystyle {\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}}
能量均分定理 。
假设除了三维的平移运动，气体的分子是由两种原子组成。而原子可以相互环绕运动。为了简化问题假设所有分子的原子对只能环绕z轴运动。它们旋转的动能量是：
E
=
L
z
2
2
I
{\displaystyle E={\frac {L_{z}^{2}}{2I}}}
L
z
{\displaystyle L_{z}}
I
{\displaystyle I}
转动惯量 和原子的距离平方成正比。从运用统计力学的配分函数
Z
=
∫
−
∞
∞
d
L
z
e
−
β
L
z
2
2
I
=
2
π
I
β
{\displaystyle Z=\int _{-\infty }^{\infty }dL_{z}e^{-\beta {\frac {L_{z}^{2}}{2I}}}={\sqrt {\frac {2\pi I}{\beta }}}}
（
β
=
1
k
B
T
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}}
T
{\displaystyle T}
⟨
E
⟩
N
=
−
∂
log
Z
∂
β
=
1
2
β
=
k
B
T
2
{\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{N}}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}={\frac {1}{2\beta }}={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{2}}}
也就是新的旋转自由度和每平移运动方向给与一样的能量。
但是，旋转的贡献并不决定于分子的转动惯量
I
{\displaystyle I}
Z
=
∑
n
=
−
∞
∞
e
−
β
n
2
ℏ
2
2
I
{\displaystyle Z=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-\beta {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}}
在温度很高（
β
→
0
{\displaystyle \beta \to 0}
Z
{\displaystyle Z}
|
n
|
{\displaystyle |n|}
Z
≃
1
+
e
−
β
n
2
ℏ
2
2
I
+
⋯
{\displaystyle Z\simeq 1+e^{-\beta {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}+\cdots }
因此对平均温度的贡献是：
⟨
E
⟩
N
=
−
∂
log
Z
∂
β
≃
n
2
ℏ
2
2
I
{\displaystyle {\frac {\langle E\rangle }{N}}=-{\frac {\partial \log Z}{\partial \beta }}\simeq {\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2I}}}
而一个系统的量子旋转特征和经典旋转特征的交叉点出现在温度可以给与几个
ℏ
{\displaystyle \hbar }
T
∗
≈
ℏ
2
2
I
{\displaystyle T^{*}\approx {\frac {\hbar ^{2}}{2I}}}
^ Roger G Newton. From Clockwork to Crapshoot: A History of Physics. Harvard University Press. 30 June 2009. ISBN 978-0-674-04149-3 ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
线性（平动）的量
角度（转动）的量
量纲
—
L
L2
量纲
—
—
—
T
时间 : t s 位移积分 : A m s T
时间 : t s
—
距离 : d 位矢 : r s x 位移 m 面积 : A m2 —
角度 : θ 角移 : θ rad 立体角 : Ω rad2 , sr
T−1
频率 : f s−1 Hz 速率 : v 速度 : v m s−1 面积速率 : ν m2 s−1 T−1
频率 : f s−1 Hz 角速率 : ω 角速度 : ω rad s−1
T−2
加速度 : a m s−2 T−2
角加速度 : α s−2
T−3
加加速度 : j −3 T−3
角加加速度 : ζ s−3
M
质量 : m kg ML2
转动惯量 : I m2
MT−1
动量 : p 冲量 : J m s−1 , N s 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s ML2 T−1
角动量 : L 角冲量 : ι m2 s−1 作用量 : 𝒮 actergy : ℵ m2 s−1 , J s
MT−2
力 : F 重量 : F g kg m s−2 , N 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J ML2 T−2
力矩 : τ moment M kg m2 s−2 , N m 能量 : E 功 : W kg m2 s−2 , J
MT−3
加力 : Y kg m s−3 , N s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W ML2 T−3
rotatum P kg m2 s−3 , N m s−1 功率 : P kg m2 s−3 , W
![{\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \epsilon _{ijk}L_{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696c9a2e9911e38c992309efad5f828e68c23fc8)
![{\displaystyle [A,B]=AB-BA}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3b93b316dd0b6b0ab2c71e486c901ddfe6e79a)
![{\displaystyle \left[L_{i},L^{2}\right]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/262cb2e827985d324709db4e68d603507ec00a16)
