超复数 是复数 在抽象代数中的引申,通常是实数 域 上某个有限维的单位 代数 的元素。19世纪后期对超复数的研究,成为现代群表示论 的根基。
此种代数举例如下:
19世纪,实数系 和复数系 之外的若干数系 ,如四元数系 、双复数系 、分裂四元数系 、复四元数系 、八元数系 ,成为数学文献中完善的概念。超复数是涵盖该些数系的概念,吸引学者研究和分类。
分类工作始于本杰明·皮尔士 的1872年文章〈线性结合代数〉[ 1] ,并由其子查尔斯·桑德斯·皮尔士 接续。重要的是,二人认定幂零元 和幂等元 皆对分类有用。凯莱-迪克森构造 利用对合 ,从实数系开始,生成复数系、四元数系、八元数系。赫维兹 和弗罗贝尼乌斯 证明超复数的若干限制:赫维兹定理 断言有限维的实复合代数 仅得实数系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、复数系
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、四元数系
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
、八元数系
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
,而弗罗贝尼乌斯定理 断言,实结合除代数 仅得
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
。1958年,弗兰克·亚当斯 考虑H -空间(有具单位元的连续 乘法的拓扑空间 )的霍普夫不变量 ,发表推广的结果,该结果仍将维数限制在1、2、4、8。[ 2]
矩阵代数 对研究超复数系帮助很大。首先,矩阵提供新的超复数系,例如
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
实矩阵组成的代数(同构于分裂四元数 )。很快,矩阵方法解明其他超复数系,因为该些超复数系也可以用矩阵及其运算表示 。1907年,约瑟夫·韦德伯恩 证明,满足结合律的超复数系可表示为方阵 代数或其直积 。[ 3] [ 注 1] 此后,结合代数 成为较常用来称呼超复数系的术语,例如韦德伯恩在爱丁堡大学 的学位论文标题便用了此术语。然而,也有不可结合的数系,例如八元数系和双曲四元数系 ,也算是另一类的超复数。
汤马士·霍金斯(Thomas Hawkins)[ 4] 解释,超复数是研究李群 和群表示论 的踏脚石。例如,1929年,埃米·诺特 发表〈超复量与表示论〉[ 5] 。1973年,以赛亚·坎托尔 和索洛多夫尼科夫(A. S. Solodovnikov)出版关于超复数的德文教科书[ 6] ,该书于1989年翻译成英文。[ 7]
凯伦·帕歇尔 详细介绍全盛期的超复数研究[ 8] ,包括数学家特奥多尔·莫林 [ 9] 和爱德华·斯图迪 [ 10] 的贡献。关于超复数至近世代数 的过渡,巴尔特·伦德特·范德瓦尔登 在《代数史》[ 11] 有三十页专论超复数。
Kantor & Solodovnikov (1989 )定义超复数 为实域上某个有限维代数的元素,而该代数要有单位 ,但无需可结合 或可交换 。[ 12] 该些元素可以写成一组基
{
1
,
i
1
,
…
,
i
n
}
{\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}
的线性组合,其中系数为实数
(
a
0
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}
,而基的大小
n
+
1
{\displaystyle n+1}
称为该代数的维数。若可行,一般将基正规化 ,即选取
i
k
{\displaystyle i_{k}}
使
i
k
2
∈
{
−
1
,
0
,
+
1
}
{\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}
。下节先考虑二维 超复数(即
n
=
1
{\displaystyle n=1}
)。
关于二维实代数有以下定理:[ 6] :14,15 [ 13] [ 14] 在同构意义下,实域上的二维单位代数恰有3个:复数系 、双曲复数系 、二元数系 。于是,实域上的所有二维单位代数皆可结合和可交换。
下段简述定理的证明。
因为给定的代数是二维,可选一组基
{
1
,
u
}
{\displaystyle \{1,u\}}
。因为代数对乘法封闭 ,
u
{\displaystyle u}
的平方仍是代数的元素,故可写成线性组合:
u
2
=
a
0
+
a
1
u
,
{\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,}
其中
a
0
,
a
1
{\displaystyle a_{0},a_{1}}
为实系数。
运用常见的配方法 ,两边减走
a
1
u
{\displaystyle a_{1}u}
并加上
a
1
2
/
4
{\displaystyle a_{1}^{2}/4}
,得:
u
2
−
a
1
u
+
a
1
2
4
=
a
0
+
a
1
2
4
.
{\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}
所以
(
u
−
a
1
2
)
2
=
u
~
2
{\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}
,其中
u
~
2
=
a
0
+
a
1
2
4
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}
是实数。
取决于此实数值,分别有三种情况:
若
4
a
0
=
−
a
1
2
{\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}}
,则上式变成
u
~
2
=
0
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}
。于是,
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
可视为二元数的基
{
1
,
ε
}
{\displaystyle \{1,\varepsilon \}}
中的幂零元
ε
{\displaystyle \varepsilon }
。
若
4
a
0
>
−
a
1
2
{\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}}
,则有
u
~
2
>
0
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0}
。双曲复数 的标准基
{
1
,
j
}
{\displaystyle \{1,j\}}
满足
j
2
=
+
1
{\displaystyle j^{2}=+1}
,故若除
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
以正实数
a
:=
a
0
+
a
1
2
4
{\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}
(其平方与
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
平方相等),得到的结果即可视为
j
{\displaystyle j}
。
若
4
a
0
<
−
a
1
2
{\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}}
,则有
u
~
2
<
0
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0}
。平常复数的标准基
{
1
,
i
}
{\displaystyle \{1,i\}}
满足
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
,故若除
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
以正实数
a
:=
a
1
2
4
−
a
0
{\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}
(其平方与
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
平方互为相反数),得到的结果即可视为
i
{\displaystyle i}
。
从而定理成立。
复数系是以上三个二维实代数中唯一一个域 。若代数具有1的非实平方根
j
{\displaystyle j}
(如双曲复数),则也有幂等元
1
2
(
1
±
j
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}
和零因子 (因为
(
1
+
j
)
(
1
−
j
)
=
0
{\displaystyle (1+j)(1-j)=0}
),故此种代数必不为除代数 。然而,此种性质有时很有用,例如双曲复数适用于描述狭义相对论 的劳仑兹变换 。
《数学杂志 》在2004年的某版中,称二维实代数为“广义复数”(generalized complex numbers)。[ 15] 四个复数交比 的概念也可以推广到其他二维实代数。[ 16]
克利福德代数 是由赋有二次型 的向量空间所生成的单位结合代数 。在实域上,其等价于可以定义对称标量积
u
⋅
v
=
1
2
(
u
v
+
v
u
)
{\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}
,正交化 该二次型,以得到基
{
e
1
,
…
,
e
k
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}
,满足:
1
2
(
e
i
e
j
+
e
j
e
i
)
=
{
−
1
,
0
,
+
1
,
i
=
j
,
0
,
i
≠
j
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}
由乘法封闭性,该向量空间的基相乘得到
2
k
{\displaystyle 2^{k}}
个克利福德数 ,即
1
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
…
,
e
1
e
2
,
…
,
e
1
e
2
e
3
,
…
,
e
1
e
2
⋯
e
k
{\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}}
,皆为克利福德代数的元素,且组成该代数的基(不同于原向量空间的基),可视为一个超复数系的基。与原向量空间的基
{
e
1
,
…
,
e
k
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}
不同,该代数的其他基元素不一定反交换 ,而是取决于将两个因子对调时,会交换的简单因子(即
e
i
{\displaystyle e_{i}}
)有奇数对抑或偶数对。所以,
e
1
e
2
=
−
e
2
e
1
{\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}
,但
e
1
(
e
2
e
3
)
=
+
(
e
2
e
3
)
e
1
{\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}
。
若不允许
e
i
2
=
0
{\displaystyle e_{i}^{2}=0}
(即二次型非退化 ),则余下的克利福德代数可记为
C
l
p
,
q
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
,表示其为
p
{\displaystyle p}
个满足
e
i
2
=
+
1
{\displaystyle e_{i}^{2}=+1}
的简单基元和
q
{\displaystyle q}
个满足
e
i
2
=
−
1
{\displaystyle e_{i}^{2}=-1}
的简单基元生成的代数,而括号内的
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
指明此为实域上的克利福德代数,即元素的系数为实数。
该些代数称为几何代数 ,组成有规律的一族。该族代数适用于描述转动 、相位 、自旋 ,因此在古典 和量子力学 、电磁学 、相对论 方面很有用。
此族代数包括:复数系
C
l
0
,
1
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}
、双曲复数系
C
l
1
,
0
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )}
,四元数系
C
l
0
,
2
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}
、分裂复四元数系
C
l
0
,
3
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}
、分裂四元数系
C
l
1
,
1
(
R
)
≅
C
l
2
,
0
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )}
(二维空间生成的自然代数)、
C
l
3
,
0
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )}
(三维空间生成的自然代数,也是包立矩阵 生成的代数)、时空代数
C
l
1
,
3
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}
。
代数
C
l
p
,
q
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
可以视为代数
C
l
q
+
1
,
p
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}
的偶子代数
C
l
q
+
1
,
p
[
0
]
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}
,从而可用作描述
C
l
q
+
1
,
p
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}
中的旋转。因此,复数密切关系二维空间的旋转,四元数密切关系三维空间的旋转,双曲复数密切关系1+1维时空的双曲旋转(洛仑兹变换 ),余可类推。
虽然八维或以上时,凯莱-迪克森结构 和分裂复数构造的乘法不可结合,任意维数的克利福德代数皆可结合。
1995年,伊恩·波蒂厄斯 有关克利福德代数的书中,论及“子代数的辨认”。其命题11.4总结超复数的情况:[ 17]
设
A
{\displaystyle A}
为实结合代数,且具有单位元
1
{\displaystyle 1}
。则
1
{\displaystyle 1}
生成
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(实子代数 ),
若
e
0
∈
A
{\displaystyle e_{0}\in A}
是任何满足
e
0
2
=
−
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=-1}
的元素,则其生成的二维子代数与
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
同构(复子代数 ),
若
e
0
∈
A
{\displaystyle e_{0}\in A}
是任何满足
e
0
2
=
+
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=+1}
的元素,则其生成的二维子代数与
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
同构(此处
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
是实二元组的集合,其上的乘法是逐个分量相乘。该代数与双曲复代数 同构),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
−
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}
,且
e
0
,
e
1
{\displaystyle e_{0},e_{1}}
反交换,则
{
e
0
,
e
1
}
{\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}
生成的四维子代数同构于
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
(四元数代数 ),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}
,且
e
0
,
e
1
{\displaystyle e_{0},e_{1}}
反交换,则
{
e
0
,
e
1
}
{\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}
生成的四维子代数同构于
M
2
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}
(元素为
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
实矩阵 ,或分裂四元数 ),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
e
2
2
=
−
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}
,且
e
0
,
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}
两两反交换,则其生成的八维子代数同构于
2
H
{\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }
(分裂复四元数代数 ),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
e
2
2
=
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}
,且
e
0
,
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}
两两反交换,则其生成的八维子代数同构于
M
2
(
C
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}
(元素为
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
复矩阵 ,亦可视为复四元数 或包立代数 )。
超出该些古典代数的延伸,见克利福德代数的分类 。
撇除实数系、复数系、四元数系不计,其他克利福德代数
C
l
p
,
q
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
皆含有平方为
+
1
{\displaystyle +1}
的非实数,故不能为除代数。凯莱-迪克森构造 是另一个扩展复数系的方法,其给出维数为
2
n
(
n
=
2
,
3
,
4
,
…
)
{\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}
的数系,该些数系的基
{
1
,
i
1
,
…
,
i
2
n
−
1
}
{\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}
满足:所有非实的基元两两反交换,且
i
m
2
=
−
1
{\displaystyle i_{m}^{2}=-1}
。在8维或以上时(即
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
),该些代数不可结合,而在16维或以上时(即
n
≥
4
{\displaystyle n\geq 4}
),该些代数有零因子 。
此构造得到的前几个代数是4维的四元数系 、8维的八元数系 、16维的十六元数系 。随维数上升,其代数结构的对称性逐一失去:四元数乘法不可交换 ,八元数乘法不可结合 ,而十六元数的范数 不具积性。
凯莱-迪克森构造的某些步骤中,若插入额外的符号,则得到复合代数 中的“分裂代数”,而非除代数:
分裂复数系 :有基
{
1
,
i
1
}
{\displaystyle \{1,i_{1}\}}
,满足
i
1
2
=
+
1
{\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}
,
分裂四元数系 :有基
{
1
,
i
1
,
i
2
,
i
3
}
{\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}
,满足
i
1
2
=
−
1
,
i
2
2
=
i
3
2
=
+
1
{\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}
,
分裂八元数系 :有基
{
1
,
i
1
,
…
,
i
7
}
{\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}
,满足
i
1
2
=
i
2
2
=
i
3
2
=
−
1
{\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}
,
i
4
2
=
i
5
2
=
i
6
2
=
i
7
2
=
+
1
{\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}
。
与复数系不同,分裂复数系并非代数闭 ,甚至包含非平凡的零因子 和幂等元 。与四元数系类似,分裂四元数系亦不可交换,但同时还含有幂零元 。分裂四元数与二阶方阵 的代数同构。分裂八元数系不可结合,也含有幂零元。
两个代数的张量积 仍为代数,如此可构造更多超复数系。
作为例子,取2维实代数
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(复数系)、4维实代数
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
(四元数系)、8维实代数
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
(八元数系),分别与
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
作张量积,依次得4维的双复数系
C
⊗
R
C
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
、8维的复四元数系
C
⊗
R
H
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }
、16维的复八元数系
C
⊗
R
O
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }
。
多重复数 :其组成复域上的
2
n
−
1
{\displaystyle 2^{n-1}}
维向量空间。
复合代数 :赋有二次型 的代数,其中二次型与乘法可互换次序。
^ Peirce, Benjamin, Linear Associative Algebra, American Journal of Mathematics, 1881, 4 (1): 221–6, JSTOR 2369153 (英语)
^ Adams, J. F., On the Non-Existence of Elements of Hopf Invariant One (PDF) , Annals of Mathematics, July 1960, 72 (1): 20–104 [2021-07-28 ] , JSTOR 1970147 , doi:10.2307/1970147 , (原始内容 (PDF) 存档于2016-01-25) (英语)
^ J.H.M. Wedderburn , On Hypercomplex Numbers , Proceedings of the London Mathematical Society, 1908, 6 : 77–118 [2021-07-28 ] , doi:10.1112/plms/s2-6.1.77 , (原始内容 存档于2021-08-03) (英语)
^ Hawkins, Thomas, Hypercomplex numbers, Lie groups, and the creation of group representation theory, Archive for History of Exact Sciences, 1972, 8 (4): 243–287, S2CID 120562272 , doi:10.1007/BF00328434 (英语)
^ Noether, Emmy, Hyperkomplexe Größen und Darstellungstheorie [Hypercomplex Quantities and the Theory of Representations] , Mathematische Annalen, 1929, 30 : 641–92 [2016-01-14 ] , S2CID 120464373 , doi:10.1007/BF01187794 , (原始内容 存档于2016-03-29) (德语)
^ 6.0 6.1 Kantor, I. L.; Solodownikow, A. S., Hyperkomplexe Zahlen, Leipzig: BSB B.G. Teubner Verlagsgesellschaft, 1978 (德语)
^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers , Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989, ISBN 978-0-387-96980-0 , MR 0996029 (英语)
^ Parshall, Karen, Wedderburn and the Structure of Algebras, Archive for History of Exact Sciences, 1985, 32 : 223–349, S2CID 119888377 , doi:10.1007/BF00348450 (英语)
^ Molien, Theodor, Ueber Systeme höherer complexer Zahlen , Mathematische Annalen, 1893, 41 (1): 83–156 [2021-07-28 ] , S2CID 122333076 , doi:10.1007/BF01443450 , (原始内容 存档于2021-08-03) (德语)
^ Study, Eduard, Theorie der gemeinen und höhern komplexen Grössen, Encyclopädie der mathematischen Wissenschaften I A (4): 147–183, 1898 (德语)
^ van der Waerden, B.L., 10. The discovery of algebras, 11. Structure of algebras, A History of Algebra, Springer, 1985, ISBN 3-540-13610X (英语)
^ Kantor, I. L.; Solodovnikov, A. S., Hypercomplex numbers , Berlin, New York: Springer-Verlag , 1989, ISBN 978-0-387-96980-0 , MR 0996029 (英语)
^ Yaglom, Isaak, Complex Numbers in Geometry: 10–14, 1968 (英语)
^ Ewing, John H. (编), Numbers, Springer: 237, 1991, ISBN 3-540-97497-0 (英语)
^ Harkin, Anthony A.; Harkin, Joseph B., Geometry of Generalized Complex Numbers (PDF) , Mathematics Magazine , 2004, 77 (2): 118–129 [2021-07-27 ] , S2CID 7837108 , doi:10.1080/0025570X.2004.11953236 , (原始内容 (PDF) 存档于2017-08-29) (英语)
^ Brewer, Sky, Projective Cross-ratio on Hypercomplex Numbers, Advances in Applied Clifford Algebras, 2013, 23 (1): 1–14, S2CID 119623082 , arXiv:1203.2554 , doi:10.1007/s00006-012-0335-7 (英语)
^ Porteous, Ian R., Clifford Algebras and the Classical Groups, Cambridge University Press : 88–89, 1995, ISBN 0-521-55177-3 (英语)
可数集
自然数 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)
整数 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)
有理数 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)
规矩数
代数数 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
)
周期
可计算数
可定义数
高斯整数 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
)
艾森斯坦整数
合成代数
可除代数 :实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
凯莱-迪克森结构
实数 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
复数 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元数 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元数 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
十六元数 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
)
三十二元数
六十四元数
一百二十八元数
二百五十六元数……
分裂 形式 其他超复数 其他系统