齊夫定律

齊夫定律
	機率質量函數; 橫縱坐標均為對數比例下，齊夫定律的機率質量函數的圖像，其中N = 10。橫坐標是指數k 。（注意，函數僅在k為整數時有定義，圖上的連線不代表函數連續。）
	累積分佈函數; 橫縱坐標均為對數比例下，齊夫定律的累計分佈函數的圖像，其中N = 10。橫坐標是指數k 。（注意，函數僅在k為整數時有定義，圖上的連線不代表函數連續。）
參數	（實數）; （正整數）
值域
機率質量函數
累積分佈函數
期望值
眾數
熵
動差母函數
特徵函數

齊夫定律（英語：Zipf's law，IPA：/ˈzɪf/）是由哈佛大學的語言學家喬治·金斯利·齊夫（英語：George Kingsley Zipf）於1949年發表的實驗定律。它可以表述為：在自然語言的語料庫裏，一個單詞出現的頻率與它在頻率表裏的排名成反比。所以，頻率最高的單詞出現的頻率大約是出現頻率第二位的單詞的2倍，而出現頻率第二位的單詞則是出現頻率第四位的單詞的2倍。這個定律被作為任何與冪定律機率分佈有關的事物的參考。

例子

最簡單的齊夫定律的例子是「1/f function」。給出一組齊夫分佈的頻率，按照從最常見到非常見排列，第二常見的頻率是最常見頻率的出現次數的½，第三常見的頻率是最常見的頻率的1/3，第n常見的頻率是最常見頻率出現次數的1/n。然而，這並不精確，因為所有的項必須出現一個整數次數，一個單詞不可能出現2.5次。

在布朗語料庫（英語：Brown Corpus）中，「the」、「of」、「and」是出現頻率最前的三個單詞，其出現的頻數分別為69971次、36411次、28852次，大約佔整個語料庫100萬個單詞中的7%、3.6%、2.9%，其比例約為6：3：2。大約佔整個語料庫的7%（100萬單詞中出現69971次）。滿足齊夫定律中的描述。僅僅前135個字彙就佔了Brown語料庫的一半。

齊夫定律是一個實驗定律，而非理論定律，可以在很多非語言學排名中被觀察到，例如不同國家中城市的數量、公司的規模、收入排名等。但它的起因是一個爭論的焦點。齊夫定律很容易用點陣圖觀察，坐標分別為排名和頻率的對數（log）。比如，「the」用上述表述可以描述為x = log(1), y = log（69971）的點。如果所有的點接近一條直線，那麼它就遵循齊夫定律。

遵循該定律的現象

英文單詞或中文漢字的出現頻率：不僅適用於語料全體，也適用於單獨的一篇文章
網頁訪問頻率
城鎮人口與城鎮等級的關係
收入前3%的人的收入
地震震級
固體破碎時的碎片大小

參見

延伸閱讀

主要:

George K. Zipf（1949）Human Behavior and the Principle of Least Effort. Addison-Wesley.
George K. Zipf (1935) The Psychobiology of Language. Houghton-Mifflin.（see citations at http://citeseer.ist.psu.edu/context/64879/0）

次要:

Lada Adamic. Zipf, Power-laws, and Pareto - a ranking tutorial. http://www.hpl.hp.com/research/idl/papers/ranking/ranking.html（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Alexander Gelbukh and Grigori Sidorov (2001) "Zipf and Heaps Laws』 Coefficients Depend on Language" （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. Proc. CICLing-2001, Conference on Intelligent Text Processing and Computational Linguistics, February 18–24, 2001, Mexico City. Lecture Notes in Computer Science N 2004, ISSN 0302-9743, ISBN 3-540-41687-0, Springer-Verlag: 332–335.
Damián H. Zanette (2006) "Zipf's law and the creation of musical context," Musicae Scientiae 10: 3-18.
Kali R. (2003) "The city as a giant component: a random graph approach to Zipf's law," Applied Economics Letters 10: 717-720（4）
Gabaix, Xavier. Zipf's Law for Cities: An Explanation (PDF). Quarterly Journal of Economics. August 1999, 114 (3): 739–67 [2014-02-05]. ISSN 0033-5533. doi:10.1162/003355399556133. （原始內容存檔 (PDF)於2021-02-24）.
Axtell, Robert L; Zipf distribution of US firm sizes （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Science, 293, 5536, 1818, 2001, American Association for the Advancement of Science

外部連結

Steven, Strogatz. Guest Column: Math and the City. The New York Times. 2009-05-29 [2009-05-29]. （原始內容存檔於2015-09-27）. —An article on Zipf's law applied to city populations
Seeing Around Corners (Artificial societies turn up Zipf's law) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
PlanetMath article on Zipf's law（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Distributions de type "fractal parabolique" dans la Nature (French, with English summary)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
An analysis of income distribution （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Zipf List of French words
Zipf list for English, French, Spanish, Italian, Swedish, Icelandic, Latin, Portuguese and Finnish from Gutenberg Project and online calculator to rank words in texts
Citations and the Zipf–Mandelbrot's law （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Zipf's Law for U.S. Cities （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Fiona Maclachlan, Wolfram Demonstrations Project.
埃里克·韋斯坦因. Zipf's Law. MathWorld.
Zipf's Law examples and modelling (1985)
Complex systems: Unzipping Zipf's law (2011) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
Benford’s law, Zipf’s law, and the Pareto distribution （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） by Terence Tao.

機率質量函數橫縱坐標均為對數比例下，齊夫定律的機率質量函數的圖像，其中N = 10。橫坐標是指數k 。（注意，函數僅在k為整數時有定義，圖上的連線不代表函數連續。）
累積分佈函數橫縱坐標均為對數比例下，齊夫定律的累計分佈函數的圖像，其中N = 10。橫坐標是指數k 。（注意，函數僅在k為整數時有定義，圖上的連線不代表函數連續。）
參數	$s>0\,$ （實數） $N\in \{1,2,3\ldots \}$ （正整數）
值域	$k\in \{1,2,\ldots ,N\}$
機率質量函數	${\frac {1/k^{s}}{H_{N,s}}}$
累積分佈函數	${\frac {H_{k,s}}{H_{N,s}}}$
期望值	${\frac {H_{N,s-1}}{H_{N,s}}}$
眾數	$1\,$
熵	${\frac {s}{H_{N,s}}}\sum _{k=1}^{N}{\frac {\ln(k)}{k^{s}}}+\ln(H_{N,s})$
動差母函數	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{nt}}{n^{s}}}$
特徵函數	${\frac {1}{H_{N,s}}}\sum _{n=1}^{N}{\frac {e^{int}}{n^{s}}}$