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極值點

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舉例來說,上述未歸一化和歸一化的sinc函數的都是{0},因為兩者都在時取得全局最大值1.

未歸一化sinc函數(紅)的arg min 約為{-4.49, 4.49},因為在處有兩個全局最小值,約為-0.217。歸一化sinc函數(藍)的arg min約為{−1.43, 1.43},因為它們的全局最小值在處,儘管最小值相同。[1]

數學中,極值點arguments of the maxima/minima,分別縮寫為arg max/arg minargmax/argmin)是使函數輸出值取得極值的輸入點。[note 1]函數的自變量定義域上,因變量則在到達域上。

定義

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給定任意集合X全序集Y與函數,則某子集上的定義為

S在語境中明確,則通常省略S,如也就是說,是點x集合,使到達函數最大值(若存在)。可以是空集單元集,或包含多個元素。

凸分析變分分析中,(是廣義實數)的情形時的定義略有不同。[2]這時,若f等同於S上的,則(即),否則定義如上,這時也可以寫成

這裏要強調的是,這個涉及的等式只有當fS上不等同於時才成立。[2]

Arg min

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(或)表示極小值點,定義與之類似。例如

是使函數值取得極小值的點x。它是的補算子。

(是廣義實數)的情形時,若fS上等同於,則(即),否則定義如上,這時它也滿足

[2]

例子與性質

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例如,若,則f只有在這一點上取最大值1。因此

算子與不同,給定相同的函數時,後者返回函數極大值,而不是使函數取得極大值的點。也就是說

is the element in

max可以是空集(這時極大值未定義),這與相同;不同的是可能不含多個元素。[note 2]例如,取因為函數在的每個元素上都取相同的值。

等價地,若Mf的極大值,則是極大值的水平集

可以將其重排,得到簡單的等式[note 3]

若極大值點只有一個,那麼應被視為一個點,而非點集。例如

(而非單元集),因為的極大值25僅在時取到。[note 4]而若在多個點上都取得極大值,就應被視為點集。例如

因為maximum value of 的極大值1在時取到。在整條實數線上

因此是無限集。

函數不必達到極大值,因此有時是空集。例如,因為在實數線上無界。再舉個例子,,雖然有界(),但由極值定理閉區間上的連續實值函數必有極大值,因此有非空的

另見

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註釋

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  1. ^ 我們將輸入(x)稱作點(point),將輸出(y)稱作值(value),如臨界點與臨界值。
  2. ^ 由於反對稱性,函數至多有一個極大值。
  3. ^ 這是集合間的等式,更確切地說是Y的子集間的等式。
  4. ^ 注意,若且唯若時取等。

參考文獻

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  1. ^ "The Unnormalized Sinc Function 互聯網檔案館存檔,存檔日期2017-02-15.", University of Sydney
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Rockafellar & Wets 2009,第1-37頁.

外部連結

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