超複數 是複數 在抽象代數中的引申,通常是實數 域 上某個有限維的單位 代數 的元素。19世紀後期對超複數的研究,成為現代群表示論 的根基。
此種代數舉例如下:
19世紀,實數系 和複數系 之外的若干數系 ,如四元數系 、雙複數系 、分裂四元數系 、複四元數系 、八元數系 ,成為數學文獻中完善的概念。超複數是涵蓋該些數系的概念,吸引學者研究和分類。
分類工作始於本傑明·皮爾士 的1872年文章〈線性結合代數〉[ 1] ,並由其子查爾斯·桑德斯·皮爾士 接續。重要的是,二人認定冪零元素 和冪等元 皆對分類有用。凱萊-迪克森構造 利用對合 ,從實數系開始,生成複數系、四元數系、八元數系。赫維茲 和弗羅貝尼烏斯 證明超複數的若干限制:赫維茲定理 斷言有限維的實複合代數 僅得實數系
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、複數系
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、四元數系
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
、八元數系
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
,而弗羅貝尼烏斯定理 斷言,實結合除代數 僅得
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
、
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
、
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
。1958年,弗蘭克·亞當斯 考慮H -空間(有具單位元的連續 乘法的拓撲空間 )的霍普夫不變量 ,發表推廣的結果,該結果仍將維數限制在1、2、4、8。[ 2]
矩陣代數 對研究超複數系幫助很大。首先,矩陣提供新的超複數系,例如
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
實矩陣組成的代數(同構於分裂四元數 )。很快,矩陣方法解明其他超複數系,因為該些超複數系也可以用矩陣及其運算表示 。1907年,約瑟夫·韋德伯恩 證明,滿足結合律的超複數系可表示為方陣 代數或其直積 。[ 3] [ 註 1] 此後,結合代數 成為較常用來稱呼超複數系的術語,例如韋德伯恩在愛丁堡大學 的學位論文標題便用了此術語。然而,也有不可結合的數系,例如八元數系和雙曲四元數系 ,也算是另一類的超複數。
湯馬士·霍金斯(Thomas Hawkins)[ 4] 解釋,超複數是研究李群 和群表示論 的踏腳石。例如,1929年,埃米·諾特 發表〈超複量與表示論〉[ 5] 。1973年,以賽亞·坎托爾 和索洛多夫尼科夫(A. S. Solodovnikov)出版關於超複數的德文教科書[ 6] ,該書於1989年翻譯成英文。[ 7]
凱倫·帕歇爾 詳細介紹全盛期的超複數研究[ 8] ,包括數學家特奧多爾·莫林 [ 9] 和愛德華·斯圖迪 [ 10] 的貢獻。關於超複數至近世代數 的過渡,巴爾特·倫德特·范德瓦爾登 在《代數史》[ 11] 有三十頁專論超複數。
Kantor & Solodovnikov (1989 )定義超複數 為實域上某個有限維代數的元素,而該代數要有單位 ,但無需可結合 或可交換 。[ 12] 該些元素可以寫成一組基
{
1
,
i
1
,
…
,
i
n
}
{\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{n}\}}
的線性組合,其中系數為實數
(
a
0
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{0},\dots ,a_{n})}
,而基的大小
n
+
1
{\displaystyle n+1}
稱為該代數的維數。若可行,一般將基正規化 ,即選取
i
k
{\displaystyle i_{k}}
使
i
k
2
∈
{
−
1
,
0
,
+
1
}
{\displaystyle i_{k}^{2}\in \{-1,0,+1\}}
。下節先考慮二維 超複數(即
n
=
1
{\displaystyle n=1}
)。
關於二維實代數有以下定理:[ 6] :14,15 [ 13] [ 14] 在同構意義下,實域上的二維單位代數恰有3個:複數系 、雙曲複數系 、二元數系 。於是,實域上的所有二維單位代數皆可結合和可交換。
下段簡述定理的證明。
因為給定的代數是二維,可選一組基
{
1
,
u
}
{\displaystyle \{1,u\}}
。因為代數對乘法封閉 ,
u
{\displaystyle u}
的平方仍是代數的元素,故可寫成線性組合:
u
2
=
a
0
+
a
1
u
,
{\displaystyle u^{2}=a_{0}+a_{1}u,}
其中
a
0
,
a
1
{\displaystyle a_{0},a_{1}}
為實系數。
運用常見的配方法 ,兩邊減走
a
1
u
{\displaystyle a_{1}u}
並加上
a
1
2
/
4
{\displaystyle a_{1}^{2}/4}
,得:
u
2
−
a
1
u
+
a
1
2
4
=
a
0
+
a
1
2
4
.
{\displaystyle u^{2}-a_{1}u+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}.}
所以
(
u
−
a
1
2
)
2
=
u
~
2
{\displaystyle \left(u-{\frac {a_{1}}{2}}\right)^{2}={\tilde {u}}^{2}}
,其中
u
~
2
=
a
0
+
a
1
2
4
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}
是實數。
取決於此實數值,分別有三種情況:
若
4
a
0
=
−
a
1
2
{\displaystyle 4a_{0}=-a_{1}^{2}}
,則上式變成
u
~
2
=
0
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}=0}
。於是,
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
可視為二元數的基
{
1
,
ε
}
{\displaystyle \{1,\varepsilon \}}
中的冪零元素
ε
{\displaystyle \varepsilon }
。
若
4
a
0
>
−
a
1
2
{\displaystyle 4a_{0}>-a_{1}^{2}}
,則有
u
~
2
>
0
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}>0}
。雙曲複數 的標準基
{
1
,
j
}
{\displaystyle \{1,j\}}
滿足
j
2
=
+
1
{\displaystyle j^{2}=+1}
,故若除
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
以正實數
a
:=
a
0
+
a
1
2
4
{\displaystyle a:={\sqrt {a_{0}+{\frac {a_{1}^{2}}{4}}}}}
(其平方與
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
平方相等),得到的結果即可視為
j
{\displaystyle j}
。
若
4
a
0
<
−
a
1
2
{\displaystyle 4a_{0}<-a_{1}^{2}}
,則有
u
~
2
<
0
{\displaystyle {\tilde {u}}^{2}<0}
。平常複數的標準基
{
1
,
i
}
{\displaystyle \{1,i\}}
滿足
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
,故若除
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
以正實數
a
:=
a
1
2
4
−
a
0
{\displaystyle a:={\sqrt {{\frac {a_{1}^{2}}{4}}-a_{0}}}}
(其平方與
u
~
{\displaystyle {\tilde {u}}}
平方互為相反數),得到的結果即可視為
i
{\displaystyle i}
。
從而定理成立。
複數系是以上三個二維實代數中唯一一個域 。若代數具有1的非實平方根
j
{\displaystyle j}
(如雙曲複數),則也有冪等元
1
2
(
1
±
j
)
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(1\pm j)}
和零因子 (因為
(
1
+
j
)
(
1
−
j
)
=
0
{\displaystyle (1+j)(1-j)=0}
),故此種代數必不為除代數 。然而,此種性質有時很有用,例如雙曲複數適用於描述狹義相對論 的勞侖茲變換 。
《數學雜誌 》在2004年的某版中,稱二維實代數為「廣義複數」(generalized complex numbers)。[ 15] 四個複數交比 的概念也可以推廣到其他二維實代數。[ 16]
克里福代數 是由賦有二次型 的向量空間所生成的單位結合代數 。在實域上,其等價於可以定義對稱純量積
u
⋅
v
=
1
2
(
u
v
+
v
u
)
{\displaystyle u\cdot v={\tfrac {1}{2}}(uv+vu)}
,正交化 該二次型,以得到基
{
e
1
,
…
,
e
k
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}
,滿足:
1
2
(
e
i
e
j
+
e
j
e
i
)
=
{
−
1
,
0
,
+
1
,
i
=
j
,
0
,
i
≠
j
.
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(e_{i}e_{j}+e_{j}e_{i})=\left\{{\begin{matrix}-1,0,+1,&i=j,\\0,&i\not =j.\end{matrix}}\right.}
由乘法封閉性,該向量空間的基相乘得到
2
k
{\displaystyle 2^{k}}
個克里福數 ,即
1
,
e
1
,
e
2
,
e
3
,
…
,
e
1
e
2
,
…
,
e
1
e
2
e
3
,
…
,
e
1
e
2
⋯
e
k
{\displaystyle 1,\ e_{1},\ e_{2},\ e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}e_{3},\ \ldots ,\ e_{1}e_{2}\cdots e_{k}}
,皆為克里福代數的元素,且組成該代數的基(不同於原向量空間的基),可視為一個超複數系的基。與原向量空間的基
{
e
1
,
…
,
e
k
}
{\displaystyle \{e_{1},\ldots ,e_{k}\}}
不同,該代數的其他基元素不一定反交換 ,而是取決於將兩個因子對調時,會交換的簡單因子(即
e
i
{\displaystyle e_{i}}
)有奇數對抑或偶數對。所以,
e
1
e
2
=
−
e
2
e
1
{\displaystyle e_{1}e_{2}=-e_{2}e_{1}}
,但
e
1
(
e
2
e
3
)
=
+
(
e
2
e
3
)
e
1
{\displaystyle e_{1}(e_{2}e_{3})=+(e_{2}e_{3})e_{1}}
。
若不允許
e
i
2
=
0
{\displaystyle e_{i}^{2}=0}
(即二次型非退化 ),則餘下的克里福代數可記為
C
l
p
,
q
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
,表示其為
p
{\displaystyle p}
個滿足
e
i
2
=
+
1
{\displaystyle e_{i}^{2}=+1}
的簡單基元和
q
{\displaystyle q}
個滿足
e
i
2
=
−
1
{\displaystyle e_{i}^{2}=-1}
的簡單基元生成的代數,而括號內的
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
指明此為實域上的克里福代數,即元素的系數為實數。
該些代數稱為幾何代數 ,組成有規律的一族。該族代數適用於描述轉動 、相位 、自旋 ,因此在古典 和量子力學 、電磁學 、相對論 方面很有用。
此族代數包括:複數系
C
l
0
,
1
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,1}(\mathbb {R} )}
、雙曲複數系
C
l
1
,
0
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,0}(\mathbb {R} )}
,四元數系
C
l
0
,
2
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,2}(\mathbb {R} )}
、分裂複四元數系
C
l
0
,
3
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{0,3}(\mathbb {R} )}
、分裂四元數系
C
l
1
,
1
(
R
)
≅
C
l
2
,
0
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,1}(\mathbb {R} )\cong \mathrm {Cl} _{2,0}(\mathbb {R} )}
(二維空間生成的自然代數)、
C
l
3
,
0
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{3,0}(\mathbb {R} )}
(三維空間生成的自然代數,也是包立矩陣 生成的代數)、時空代數
C
l
1
,
3
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{1,3}(\mathbb {R} )}
。
代數
C
l
p
,
q
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
可以視為代數
C
l
q
+
1
,
p
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}
的偶子代數
C
l
q
+
1
,
p
[
0
]
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}^{[0]}(\mathbb {R} )}
,從而可用作描述
C
l
q
+
1
,
p
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{q+1,p}(\mathbb {R} )}
中的旋轉。因此,複數密切關係二維空間的旋轉,四元數密切關係三維空間的旋轉,雙曲複數密切關係1+1維時空的雙曲旋轉(洛侖茲變換 ),餘可類推。
雖然八維或以上時,凱萊-迪克森結構 和分裂複數構造的乘法不可結合,任意維數的克里福代數皆可結合。
1995年,伊恩·波蒂厄斯 有關克里福代數的書中,論及「子代數的辨認」。其命題11.4總結超複數的情況:[ 17]
設
A
{\displaystyle A}
為實結合代數,且具有單位元
1
{\displaystyle 1}
。則
1
{\displaystyle 1}
生成
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
(實子代數 ),
若
e
0
∈
A
{\displaystyle e_{0}\in A}
是任何滿足
e
0
2
=
−
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=-1}
的元素,則其生成的二維子代數與
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
同構(複子代數 ),
若
e
0
∈
A
{\displaystyle e_{0}\in A}
是任何滿足
e
0
2
=
+
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=+1}
的元素,則其生成的二維子代數與
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
同構(此處
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
是實二元組的集合,其上的乘法是逐個分量相乘。該代數與雙曲複代數 同構),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
−
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=-1}
,且
e
0
,
e
1
{\displaystyle e_{0},e_{1}}
反交換,則
{
e
0
,
e
1
}
{\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}
生成的四維子代數同構於
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
(四元數代數 ),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=1}
,且
e
0
,
e
1
{\displaystyle e_{0},e_{1}}
反交換,則
{
e
0
,
e
1
}
{\displaystyle \{e_{0},e_{1}\}}
生成的四維子代數同構於
M
2
(
R
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {R} )}
(元素為
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
實矩陣 ,或分裂四元數 ),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
e
2
2
=
−
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=-1}
,且
e
0
,
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}
兩兩反交換,則其生成的八維子代數同構於
2
H
{\displaystyle \ {}^{2}\mathbb {H} }
(分裂複四元數代數 ),
若
e
0
2
=
e
1
2
=
e
2
2
=
1
{\displaystyle e_{0}^{2}=e_{1}^{2}=e_{2}^{2}=1}
,且
e
0
,
e
1
,
e
2
{\displaystyle e_{0},e_{1},e_{2}}
兩兩反交換,則其生成的八維子代數同構於
M
2
(
C
)
{\displaystyle {\mathcal {M}}_{2}(\mathbb {C} )}
(元素為
2
×
2
{\displaystyle 2\times 2}
複矩陣 ,亦可視為複四元數 或包立代數 )。
超出該些古典代數的延伸,見克里福代數的分類 。
撇除實數系、複數系、四元數系不計,其他克里福代數
C
l
p
,
q
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {Cl} _{p,q}(\mathbb {R} )}
皆含有平方為
+
1
{\displaystyle +1}
的非實數,故不能為除代數。凱萊-迪克森構造 是另一個擴展複數系的方法,其給出維數為
2
n
(
n
=
2
,
3
,
4
,
…
)
{\displaystyle 2^{n}\ (n=2,\ 3,\ 4,\ldots )}
的數系,該些數系的基
{
1
,
i
1
,
…
,
i
2
n
−
1
}
{\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{2^{n}-1}\}}
滿足:所有非實的基元兩兩反交換,且
i
m
2
=
−
1
{\displaystyle i_{m}^{2}=-1}
。在8維或以上時(即
n
≥
3
{\displaystyle n\geq 3}
),該些代數不可結合,而在16維或以上時(即
n
≥
4
{\displaystyle n\geq 4}
),該些代數有零因子 。
此構造得到的前幾個代數是4維的四元數系 、8維的八元數系 、16維的十六元數系 。隨維數上升,其代數結構的對稱性逐一失去:四元數乘法不可交換 ,八元數乘法不可結合 ,而十六元數的範數 不具積性。
凱萊-迪克森構造的某些步驟中,若插入額外的符號,則得到複合代數 中的「分裂代數」,而非除代數:
分裂複數系 :有基
{
1
,
i
1
}
{\displaystyle \{1,i_{1}\}}
,滿足
i
1
2
=
+
1
{\displaystyle \ i_{1}^{2}=+1}
,
分裂四元數系 :有基
{
1
,
i
1
,
i
2
,
i
3
}
{\displaystyle \{1,i_{1},i_{2},i_{3}\}}
,滿足
i
1
2
=
−
1
,
i
2
2
=
i
3
2
=
+
1
{\displaystyle \ i_{1}^{2}=-1,i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=+1}
,
分裂八元數系 :有基
{
1
,
i
1
,
…
,
i
7
}
{\displaystyle \{1,i_{1},\dots ,i_{7}\}}
,滿足
i
1
2
=
i
2
2
=
i
3
2
=
−
1
{\displaystyle \ i_{1}^{2}=i_{2}^{2}=i_{3}^{2}=-1}
,
i
4
2
=
i
5
2
=
i
6
2
=
i
7
2
=
+
1
{\displaystyle \ i_{4}^{2}=i_{5}^{2}=i_{6}^{2}=i_{7}^{2}=+1}
。
與複數系不同,分裂複數系並非代數閉 ,甚至包含非平凡的零因子 和冪等元 。與四元數系類似,分裂四元數系亦不可交換,但同時還含有冪零元素 。分裂四元數與二階方陣 的代數同構。分裂八元數系不可結合,也含有冪零元素。
兩個代數的張量積 仍為代數,如此可構造更多超複數系。
作為例子,取2維實代數
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(複數系)、4維實代數
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
(四元數系)、8維實代數
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
(八元數系),分別與
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
作張量積,依次得4維的雙複數系
C
⊗
R
C
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }
、8維的複四元數系
C
⊗
R
H
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {H} }
、16維的複八元數系
C
⊗
R
O
{\displaystyle \mathbb {C} \otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {O} }
。
多重複數 :其組成複域上的
2
n
−
1
{\displaystyle 2^{n-1}}
維向量空間。
複合代數 :賦有二次型 的代數,其中二次型與乘法可互換次序。
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可數集
自然數 (
N
{\displaystyle \mathbb {N} }
)
整數 (
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
)
有理數 (
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
)
規矩數
代數數 (
A
{\displaystyle \mathbb {A} }
)
週期
可計算數
可定義數
高斯整數 (
Z
[
i
]
{\displaystyle \mathbb {Z} [i]}
)
艾森斯坦整數
合成代數
可除代數 :實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
凱萊-迪克森結構
實數 (
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
)
複數 (
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
)
四元數 (
H
{\displaystyle \mathbb {H} }
)
八元數 (
O
{\displaystyle \mathbb {O} }
)
十六元數 (
S
{\displaystyle \mathbb {S} }
)
三十二元數
六十四元數
一百二十八元數
二百五十六元數……
分裂 形式 其他超複數 其他系統