在形式逻辑中,逻辑运算符或逻辑联结词把语句连接成更复杂的复杂语句。例如,假设有两个逻辑命题,分别是“正在下雨”和“我在屋里”,我们可以将它们组成复杂命题“正在下雨,并且我在屋里”或“没有正在下雨”或“如果正在下雨,那么我在屋里”。一个将两个语句组成的新的语句或命题叫做复合语句或复合命题。又称逻辑操作符(Logical Operators)。
基本的操作符有:“非”(¬)、“与”(∧)、“或”(∨)、“条件”(→)以及“双条件”(↔)。“非”是一个一元操作符,它只操作一项(¬ P)。剩下的是二元操作符,操作两项来组成复杂语句(P ∧ Q, P ∨ Q, P → Q, P ↔ Q)。
注意,符号“与”(∧)和交集(∩),“或”(∨)和并集(∪)的相似性。这不是巧合:交集的定义使用“与”,并集的定义是用“或”。
这些连接符的真值表:
P |
Q |
¬P |
P ∧ Q |
P ∨ Q |
P → Q |
P ↔ Q
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T |
T |
F |
T |
T |
T |
T
|
T |
F |
F |
F |
T |
F |
F
|
F |
T |
T |
F |
T |
T |
F
|
F |
F |
T |
F |
F |
T |
T
|
为了减少需要的括号的数量,有以下的优先规则:¬高于∧,∧高于∨,∨高于→。例如,P ∨ Q ∧ ¬ R → S是 (P ∨ (Q ∧ (¬ R)) → S的简便写法。
下面是在输入P和Q上的16个二元布林函数。
永假
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P ¬P
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永真
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P ¬P
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合取
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P Q P & Q P · Q P AND Q
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P ¬Q ¬P Q ¬P ¬Q
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与非
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P ↑ Q P | Q P NAND Q
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P → ¬Q ¬P ← Q ¬P ∨ ¬Q
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非蕴涵
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P Q P Q
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P & ¬Q ¬P ↓ Q ¬P ¬Q
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蕴涵
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P → Q P Q
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P ↑ ¬Q ¬P ∨ Q ¬P ← ¬Q
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命题P
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P
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非P
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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¬P ~P
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反非蕴涵
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P Q P Q
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P ↓ ¬Q ¬P & Q ¬P ¬Q
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反蕴涵
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P Q P Q
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P ∨ ¬Q ¬P ↑ Q ¬P → ¬Q
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命题Q
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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Q
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非Q
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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¬Q ~Q
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异或
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P Q P Q P Q P XOR Q
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P ↔ ¬Q ¬P ↔ Q ¬P ¬Q
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双条件
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P ↔ Q P ≡ Q P XNOR Q P IFF Q
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P ¬Q ¬P Q ¬P ↔ ¬Q
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析取
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P ∨ Q P ∨ Q P OR Q
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P ¬Q ¬P → Q ¬P ↑ ¬Q
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或非
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符号
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等价公式
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真值表
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文氏图
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P ↓ Q P NOR Q
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P ¬Q ¬P Q ¬P ∧ ¬Q
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- 恒真(
)
| | |
- 与非(
)
- 反蕴涵(
)
- 蕴涵(
)
- 或(
)
| |
- 非(
)
- 异或(
)
- 双条件(
)
- 命题
| |
- 或非(
)
- 非蕴涵(
)
- 反非蕴涵(
)
- 与(
)
| |
- 恒假(
)
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