在物理学领域里,算符(operator)亦称算子、运算子[1],有别于数学的算子,其作用于物理系统的状态空间,使得物理系统从某种状态变换为另外一种状态。这变换可能相当复杂,需要用很多方程式来表明,假若能够使用算符来代表,可以更为简单扼要地表达论述。
对于很多案例,假若作用的对象有所迥异,算符的物理行为也会不同;但是,对于有些案例,算符的物理行为具有一般性,这时,就可以将论题抽象化,专注于研究算符的物理行为,不必顾虑到状态的独特性。这方法比较适用于一些像对称性或守恒定律的论题。因此,在经典力学里,算符是很有用的工具。在量子力学里,算符为理论表述不可或缺的要素。
对于更深奥的理论研究,可能会遇到很艰难的数学问题,算符理论(operator theory)能够提供高功能的架构,使得数学推导更为简洁精致、易读易懂,更能展现出内中物理涵意。
一般而言,在经典力学里的算符大多作用于函数,这些函数的参数为各种各样的物理量,算符将某函数映射为另一种函数。这种算符称为“函数算符”。在量子力学里的算符称为“量子算符”,作用的对象是量子态。量子算符将某量子态映射为另一种量子态。
在经典力学里,粒子(或一群粒子)的动力行为是由拉格朗日量
或哈密顿量
决定;其中,
、
分别是广义坐标、广义速度,
是共轭动量,
是时间。
假设拉格朗日量
或哈密顿量
与某广义坐标
无关,则当
有所改变时,
或
仍旧会保持不变,这意味著粒子的动力行为也会保持不变,对应于
的共轭动量
守恒。对于广义坐标
的改变,动力行为所具有的不变性是一种对称性。在经典力学里,当研读有关对称性的课题时,算符是很有用的工具。
特别而言,假设对于某种群
的变换运算,物理系统的哈密顿量是个不变量;也就是说,假设
,
。
在这案例里,所有
的元素
都是物理算符,能够将物理系统从某种状态变换为另一种状态;尽管
作用于这物理系统,哈密顿量守恒不变。
举一个关于平移于空间的简单例子。“平移算符”
能够将粒子从坐标为
移动至坐标为
,以方程式表示:
;
其中,
是描述一群粒子的密度函数。
给定一个对于平移变换具有不变性的物理系统,则尽管
的作用,这物理系统的哈密顿量
是个不变量,对应于坐标
的动量
守恒。
算符
|
标记
|
位置
|
动量
|
平移算符
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|
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时间演化算符
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旋转算符
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伽利略变换算符
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宇称算符
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|
时间反演算符
|
|
|
|
是旋转矩阵,
是旋转轴向量,
是旋转角弧。
对于一个微小的平移变换,猜测平移算符的形式为
;
其中,
是“单位算符”──变换群的单位元,
是微小参数,
是专门用来设定平移变换群的生成元。
为了简化论述,只考虑一维案例,推导平移于一维空间的生成元。将平移算符
作用于函数
:
。
由于
很微小,可以泰勒近似
为
。
重写平移算符的方程式为
;
其中,导数算符
是平移群的生成元。
总结,平移群的生成元是导数算符。
在正常状况下,通过指数映射,可以从生成元得到整个群。对于平移于空间这案例,重复地做
次微小平移变换
,来代替一个有限值为
的平移变换
:
。
现在,让
变得无穷大,则因子
趋于无穷小:
。
这表达式的极限为指数函数:
。
核对这结果的正确性,将指数函数泰勒展开为幂级数:
。
这方程式的右手边可以重写为
。
这正是
的泰勒级数,也是
的原本表达式结果。
物理算符的数学性质是很重要的研读论题。更多相关内容,请参阅条目C*-代数与盖尔范德-奈马克定理(Gelfand-Naimark theorem)。
在量子力学里,算符的功能被发挥得淋漓尽致。量子力学的数学表述建立于算符的概念。量子系统的量子态可以用态向量设定,态向量是向量空间的单位范数向量。在向量空间内,量子算符作用于量子态,使它变换成另一个量子态。由于物体的态向量范数应该保持不变,量子算符必须是厄米算符[来源请求]。假若变换前的量子态与变换后的量子态,除了乘法数值以外,两个量子态相同,则称此量子态为本征态,称此乘法数值为本征值。[2]:11-12
物理实验中可以观测到的物理量称为可观察量。每一个可观察量,都有其对应的算符。可观察量的算符也许会有很多本征值与本征态。根据统计诠释,每一次测量的结果只能是其中的一个本征值,而且,测得这本征值的机会呈机率性,量子系统的量子态也会改变为对应于本征值的本征态。[3]:106-109
假设,物理量
是某量子系统的可观察量,其对应的量子算符
可能有很多不同的本征值
与对应的本征态
,这些本征态
,形成了具有正交归一性的基底:[3]:96-99
;
其中,
是克罗内克函数。
假设,某量子系统的量子态为
;
其中,
是复系数,是在
里找到
的机率幅。[2]:50
测量这动作将量子态
改变为本征态
的机率为
,测量结果是本征值
的机率也为
。
在量子力学里,重复地做同样实验,通常会得到不同的测量结果,期望值是理论平均值,可以用来预测测量结果的统计平均值。
采用狄拉克标记,对于量子系统的量子态
,可观察量
的期望值
定义为[2]:24-25
;
其中,
是对应于可观察量
的算符。
将算符
作用于量子态
,会形成新量子态
:
。
从左边乘以量子态
,经过一番运算,可以得到
。
所以,每一个本征值与其机率的乘积,所有乘积的代数和,就是可观察量
的期望值:
。
将上述定义式加以推广,就可以用来计算任意函数
的期望值:
。
例如,
可以是
,即重复施加算符
两次:
。
假设两种可观察量
、
的算符分别为
、
,它们的对易算符定义为
。
对易算符是由两种算符组合而成的复合算符,当作用于量子态
时,会给出
。
假设
,则称这两种可观察量为“相容可观察量”,否则,
,称这两种可观察量为“不相容可观察量”。
假设两种可观察量为不相容可观察量,则由于不确定原理,绝无法制备出这两种可观察量在任意精确度内的量子系统。注意到这是一个关于制备方面的问题,不是一个关于测量方面的问题。假若精心设计测量实验,装备足够优良的测量仪器,则对于某些量子系统,测量这两种可观察量至任意精确度是很容易达成的任务。[4]
每一种经过测量而得到的物理量都是实值,因此,可观察量
的期望值是实值:
。
对于任意量子态
,这关系都成立:
。
根据伴随算符的定义,假设
是
的伴随算符,则
。因此,
。
这正是厄米算符的定义。所以,表现可观察量的算符,都是厄米算符。[3]:96-99
应用基底的完备性,添加单位算符
于算符
的两旁,可以得到[2]:20-23
;
其中,
是求和式内每一个项目的系数。
所以,量子算符可以用矩阵形式来代表:
。
算符
与它的伴随算符
彼此之间的关系为
。
所以,分别代表这两个算符的两个矩阵,彼此是对方的转置共轭。对于厄米算符,代表的矩阵是个实值的对称矩阵。
用矩阵代数来计算算符
怎样作用于量子态
,假设系统因此变换为量子态
:
。
从左边乘以本征态
,应用基底的完备性,添加单位算符
于算符的右边,可以得到
。
右矢
、
分别用竖矩阵来代表
、
。
两个竖矩阵彼此之间的关系为
。
假设算符
是厄米算符,则其所有本征态都相互正交。[5]以矩阵来代表算符,可以计算出一组本征值与对应的本征态,每一次做测量会得到的结果只能是这一组本征值中之一。由于本征态的正交性质,可以找到一组基底来表示每一种量子态。解析方块矩阵的特征多项式,就可以找到本征值
:
。
在这表格里,算符的表现空间是位置空间。假若表现空间是其它种空间,则表示出的方程式会不一样。在英文字母上方的尖角号表示整个符号代表的是个量子算符,不是单位向量。
只思考一维问题,将位置算符
施加于位置本征态
,可以得到本征值
,即粒子的位置:[6]:220-221
。
由于位置基底具有完整性,
,任意量子态
可以按著位置本征态形成的基底展开:
。
将位置算符
施加于量子态
,由于算符
只作用于右矢
,与其它数学个体无关,可以移入积分式内:
。
左矢
与这方程式的内积为
。
设定量子态
。由于位置基底具有完整性,
,量子态
与
的内积,可以按著位置本征态形成的基底展开为
。
将这两个积分式加以比较,立刻可以辨识出全等式
。
设定量子态
。量子态
、
的位置空间表现,即波函数,分别定义为
、
。
两个波函数
、
之间的关系为
。
总结,位置算符
作用于量子态
的结果
,表现于位置空间,等价于波函数
与
的乘积
。
表现于位置空间,一维动量算符为
。
将动量算符
施加于量子态
,可以得到类似前一节得到的结果:
。
应用位置基底所具有的完整性,对于任意量子态
,可以得到更广义的结果:
;
其中,
、
分别是量子态
、
表现于位置空间的波函数。
假设
是
的本征态,本征值为
,则可得到
。
将
改写为本征值为
的本征态
,方程式改写为
。
这微分方程式的解析解为
。
所以,动量本征态的波函数是一个平面波。不需要应用薛丁格方程式,就可以推导求得这出结果。[2]:50-54
- ^ Kittel charles著,洪连辉等译,固态物理学导论,第681页。
- ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Sakurai, J. J.; Napolitano, Jim, Modern Quantum Mechanics 2nd, Addison-Wesley, 2010, ISBN 978-0805382914
- ^ 3.0 3.1 3.2 Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7
- ^ Ballentine, L. E., The Statistical Interpretation of Quantum Mechanics, Reviews of Modern Physics, 1970, 42: 358–381, doi:10.1103/RevModPhys.42.358
- ^ Molecular Quantum Mechanics Parts I and II: An Introduction to QUANTUM CHEMISRTY (Volume 1), P.W. Atkins, Oxford University Press, 1977, ISBN 0-19-855129-0
- ^ 费曼, 理查; 雷顿, 罗伯; 山德士, 马修, 費曼物理學講義III量子力學(3)薛丁格方程式, 台湾: 天下文化书: pp. 205–237, 2006, ISBN 986-417-672-2