求和符号(英語:summation;符號:
,讀作:sigma),是欧拉于1755年首先使用的一个数学符号。这个符号是源自于希腊文σογμαρω(增加)的字头,Σ正是σ的大写。
求和指的是將給定的數值相加的過程,又稱為加總。求和符號常用來簡化有多個數值相加的數學表達式。
假設有
個數值
,則這
個數值的總和
可表示為
。
用等式來呈現的話就是
。
舉例來說,若有4個數值:
,則這4個數值的總和為:
在數學中,求和是任何類型數字的序列相加,稱為加數或加數;結果是它們的總和或總數。除了數字之外,也可以對其他類型的值求和:函數、向量、矩陣、多項式,以及通常在其上定義了表示為“+”的運算的任何類型的數學物件的元素。
無窮序列的總和稱為級數,它們涉及極限的概念,本條目不予考慮。
顯式序列的總和表示為一連串的加法。例如,[1, 2, 4, 2] 的和記為 1 + 2 + 4 + 2,得到 9,即 1 + 2 + 4 + 2 = 9。因為加法是結合可交換的,所以有不需要括號,無論加法的順序如何,結果都是一樣的。只有一個元素的序列的總和會產生這個元素本身。按照慣例,空序列(沒有元素的序列)的總和結果為 0。
- 裂項法:利用
求出
。
- 錯位相減法:透過兩個求和式的相減化簡求和數列的求和方法。
- 倒序求和:對於有對稱中心的函數
首尾求和[1][2]
- 逐項求導:可從
推導出
[3]
- 阿貝爾變換:
![{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}(b_{1}-b_{2})+(a_{1}+a_{2})(b_{2}-b_{3})+\dots +(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n-1})(b_{n-1}-b_{n})+(a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n})b_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83ca12177f4780168f0811e22d205a103cdc1409)
以下設p為多項式,
![{\displaystyle \sum p(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca992e07de533d0390be23d9485aa3e648fec5a3)
[编辑]
是對一個多項式求和,自然數方冪和、等幂求和、等差數列求和都屬于對多項式求和。
- 帕斯卡矩陣形式
[4]
- 差分變換形式
![{\displaystyle p(k)=\sum _{j=1}^{m+1}C_{k-1}^{j-1}\Delta ^{j-1}p(1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8f06b7aa4d442963f7dabdf1df370859e7da43e)
[5]
![{\displaystyle \sum u_{k}v_{k}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23ae77f7e799ff26b6e8f1a63f622bf99ce7ffbe)
[编辑]
當
為多項式,
易求高階導數時,
有封閉型和式
[6]
![{\displaystyle \sum p(k)q^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3eb2fdca04df0548be38f72bc2e66eec08b8cb9)
[编辑]
- 有限和
有封閉型和式
- 當p為常數時,是對等比數列求和,當p為一次多項式時,是對差比數列求和。
![{\displaystyle \displaystyle \sum _{k=1}^{n}p(k)q^{k-1}=f(n)q^{n}-f(0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c893862e449241760fdc01f0cdbb1adf4ee686bf)
[4]
![{\displaystyle \sum {\frac {p(k)}{k!}}x^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc06e9810899ec92a08f4888a074734e577134ce)
[编辑]
[7]
![{\displaystyle \sum H_{k}p(k)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75b97b2bcdae99df59e5b67fc538e67e4d6a8222)
[编辑]
,其中
為調和數或調和級數
![{\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}=2^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d638af53fc53d82f2ab7db262b0fcd34135e908)
![{\displaystyle \sum _{r=0}^{n-k}{\frac {(-1)^{r}(n+1)}{k+r+1}}{\binom {n-k}{r}}={\binom {n}{k}}^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ce09355d42a91adc6bfed7bc2c20d358fbf31ae)
[参 1]
[参 2]
![{\displaystyle F_{n-1}+F_{n}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-1-i}{i}}+\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i-1}}+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n-i}{i}}=1+\sum _{i=1}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {n+1-i}{i}}=F_{n+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff17a31db9ff2c91ab4e60157d3d765a95f66a96)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {i}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}-{\binom {m}{a+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad1bebd88e19081be2a587663c3f8b1af82c499e)
![{\displaystyle {\binom {m}{a+1}}+{\binom {m}{a}}+{\binom {m+1}{a}}...+{\binom {n}{a}}={\binom {n+1}{a+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98a56eafe4229e80320952ad962396373dbd9eb2)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {k_{1}+i}{k_{2}}}={\binom {k_{1}+n+1}{k_{2}+1}}-{\binom {k_{1}+m}{k_{2}+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f917e0f40c6444a42b8d40421ecf9629416ebc70)
![{\displaystyle \sum _{i=m}^{n}{\binom {k_{1}+i}{k_{2}+i}}={\binom {k_{1}+n+1}{k_{2}+n}}-{\binom {k_{1}+m}{k_{2}+m-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/41613940db7dadc7f2cc011ed0a97ba8e5afda94)
![{\displaystyle \sum _{r=0}^{n}{\binom {n}{r}}^{2}={\binom {2n}{n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5b9efa78d22bb4424773e476a490780b6e07dc7)
[参 3]
![{\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(1-x)^{-r_{1}-r_{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bee50b51952e867ebeacc513eedc4bad4146953c)
![{\displaystyle (1-x)^{-r_{1}}(1-x)^{-r_{2}}=(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+n-1}{r_{1}-1}}x^{n})(\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{2}+n-1}{r_{2}-1}}x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }(\sum _{i=0}^{n}{\binom {r_{1}+n-1-i}{r_{1}-1}}{\binom {r_{2}+i-1}{r_{2}-1}})x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fa834a5bcbdf407354f929446ae1302039cad6b)
![{\displaystyle (1-x)^{-r_{1}-r_{2}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {r_{1}+r_{2}+n-1}{r_{1}+r_{2}-1}}x^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b78a71f763309bff721657da456226e67384913d)
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\binom {n+m}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb476f5146ac286d985b355c747795514f1976b7)
范德蒙恒等式與超幾何函數有關係:
![{\displaystyle \sum _{i=0}^{k}{\binom {n}{i}}{\binom {m}{k-i}}={\frac {m!}{k!(m-k)!}}{}_{2}F_{1}(-n,-k;m-k+1;1)={\binom {n+m}{k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74bff1aa9dee068be255f183a16fb7b8559008f4)
![{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}^{2}=\sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2e3cfabcca16cad9c9ccb723716dc8264bda4386)
范德蒙恒等式與廣義超幾何函數有關係:
![{\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {k}{j}}^{2}{\binom {n+2k-j}{2k}}={\frac {(n+2k)!}{(2k)!n!}}{}_{3}F_{2}(-k,-k,-n;1,-n-2k;1)={\binom {n+k}{k}}^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b230c813e4c9c6940419c1cd57af5afcc1e905a)
當
在[a,b]單調遞增時:
![{\displaystyle f(a)+\int _{a}^{b}f(x)dx\leq \sum _{x=a}^{b}f(x)\leq f(b)+\int _{a}^{b}f(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b425d33b8612299895e176501da0d0395c1d9aa)
當
在[a,b]單調遞減時:
[8]
以
为例:
syms k n;symsum(k^9,k,1,n)
In[1]:= Sum[i^9, {i, 1, n}]
Out[1]:=
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