有理函數

有理函數（英語：Rational function）是可以表示為以下形式的函數：

$f(x)={\frac {a_{m}x^{m}+a_{m-1}x^{m-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}{b_{n}x^{n}+b_{n-1}x^{n-1}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}}={\frac {P_{m}(x)}{Q_{n}(x)}}\quad ;\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}$，$b_{i}$不全為0。

有理數式是多項式除法的商，有時稱為代數分數。

漸近線

主条目：渐近线

• 不失一般性可假設分子、分母互質。若存在$r>0$，使得$(px+q)^{r}$是分母$Q(x)$的因子，則有理函數存在垂直漸近線$x=-q/p$。
• 若$m<n$，有水平漸近線$y=0$。
• 若$m=n$，有水平漸近線$y={\frac {a_{m}}{b_{m}}}$。
• 若$m=n+1$，有斜漸近線$y={\frac {a_{m}}{b_{n}}}x+{\frac {b_{n}*a_{m-1}-b_{n-1}*a_{m}}{{b_{n}}^{2}}}$。

只有一条水平渐近线

泰勒級數

有理函數的泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係。反之，若一個泰勒級數的係數滿足一個線性遞歸關係，它對應的函數是有理函數。

部分分式

部分分式，又稱部分分數、分項分式，是將有理數式分拆成數個有理數式的技巧。

有理數式可分為真分式、假分式和帶分式，這和一般分數中的真分數、假分數和帶分數的概念相近。真分式分子的次數少於分母的。

若有理數式${\frac {P(x)}{Q(x)}}$的分母$Q(x)$可分解為數個多項式的積，其部分分數便是$\sum {\frac {A_{n}}{Q(x)/h_{n}(x)}}$，其中$h_{n}(x)$是$Q(x)$的因子，$A_{n}$是次數不大於Q(x)/h_n(x)的多項式。

例子

1. 分拆${\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}$

分子的次數是3，分母的是2，所以先將它轉成真分式和多項式的和（即帶分式）：

$x-3+{\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}$

因為$x^{2}+3x-28=(x+7)(x-4)$，所以

${\frac {32x+4}{x^{2}+3x-28}}={\frac {A}{x+7}}+{\frac {B}{x-4}}$

其中A和B是常数。两边乘以$x^{2}+3x-28$，得

$\ 32x+4=A(x-4)+B(x+7)$

即

$\ 32x+4=(A+B)x+(7B-4A)$

比較係數，得

$\ A+B=32$

$\ 7B-4A=4$

解得$A=20,B=12$。

故： ${\frac {x^{3}-5x+88}{x^{2}+3x-28}}=x+{\frac {20}{x+7}}+{\frac {12}{x-4}}-3$

也可以把x的特殊值代入等式来解出A和B。例如，当x=4时，我们有

$\ 128+4=11B$

$\ B=12$

当x=-7时，我们有

$\ -224+4=-11A$

$\ A=20$

應用

• 伸縮和
• 複分析
• 拉普拉斯變換

積分

部分分數

主条目：部分分式積分法

在計算有理數式的積分時，部分分數的方法很有用，因為分母的1和2次多項式的有理數式的積分都有固定的方法計算。

• 分母為1次多項式：求$\int {\frac {1}{ax+b}}dx$。

設$u=ax+b$：

${\frac {du}{dx}}=a$

${\frac {du}{a}}=dx$

原式變為

$\int {\frac {1}{u}}{\frac {du}{a}}={\frac {1}{a}}\int {\frac {1}{u}}{du}={\frac {\ln \left|u\right|}{a}}+C={\frac {\ln \left|ax+b\right|}{a}}+C$

• 分母次數為2：求$\int {\frac {dx+e}{ax^{2}+bx+c}}dx$。

若多項式$ax^{2}+bx+c$可分解為兩個一次多項式的積（即$b^{2}-4ac\geq 0$），則可用部分分數的方法解決。若多項式不可分解，則將它配方，再用各種替代法解決。

例如：

$\int {x+6 \over x^{2}-8x+25}\,dx.$

因為

$x^{2}-8x+25=(x^{2}-8x+16)+9=(x-4)^{2}+9\,$

考慮

$u=x^{2}-8x+25\,$

$du=(2x-8)\,dx$

$du/2=(x-4)\,dx$

將分子分解，以便應用上面的替換：

$\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx+\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx$

左邊：

$\int {x-4 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {du/2 \over u}={1 \over 2}\ln \left|u\right|+C={1 \over 2}\ln(x^{2}-8x+25)+C$

另一邊：

$\int {10 \over x^{2}-8x+25}\,dx=\int {10 \over (x-4)^{2}+9}\,dx=\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx$

代入

$w=(x-4)/3\,$

$dw=dx/3\,$

${10 \over 3}\int {dw \over w^{2}+1}={10 \over 3}\arctan(w)+C={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C.$

另一種可行的代入方法是：

$\tan \theta ={x-4 \over 3},\,$

$\left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1=\tan ^{2}\theta +1=\sec ^{2}\theta ,\,$

$d\tan \theta =\sec ^{2}\theta \,d\theta ={dx \over 3}.\,$

$\int {10/9 \over \left({x-4 \over 3}\right)^{2}+1}\,dx=10/9\int {\frac {1}{\sec ^{2}\theta }}3\sec ^{2}\theta \,d\theta ={10 \over 3}\arctan \left({x-4 \over 3}\right)+C$

奧斯特羅格拉茨基方法

奧斯特羅格拉茨基方法（Ostrogradsky Algorithm / Ostrogradsky's Method）是這樣的：

設求積的有理函數為 ${\frac {P}{Q}}$，其中$P,Q$是多項式，$\deg(P)<\deg(Q)$（$P$的次數少於$Q$）。設$Q_{1}$為Q的導數Q'和Q的最大公因數，$Q_{2}={\frac {Q}{Q_{1}}}$。則有：

$\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx$

其中$P_{1},P_{2}$為多項式，$\deg(P_{i})<\deg(Q_{i})$。

應用例子

• 求 $\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}$ 。

1. $Q=(x-1)^{2}(x+1)^{3}$
2. $Q'=2(x-1)(x+1)^{3}+3(x-1)^{2}(x+1)^{2}=(x-1)(x+1)^{2}(5x-1)$
3. $Q_{1}=gcd(Q,Q')=(x-1)(x+1)^{2}$
4. $Q_{2}=Q/Q_{1}=(x-1)(x+1)$

設 $P_{1}=Ax^{2}+Bx+C,\quad P_{2}=Dx+E$

$\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{2}+Bx+C}{(x-1)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}dx$

兩邊取導數：

${\frac {x}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {Ax^{3}+(2B-A)x^{2}+(3C-B+2A)x-C+B}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}+{\frac {Dx+E}{(x-1)(x+1)}}$

通分母，右邊的分子為：

$Dx^{4}+(E+D-A)x^{3}+(E-D-2B+A)x^{2}+(-E-D-3C+B-2A)x-E+C-B$

比較分子的多項式的係數，得$A=B=E=-0.125,C=-0.25,D=0$。於是有

$\int {\frac {xdx}{(x-1)^{2}(x+1)^{3}}}={\frac {x^{2}+x+2}{8(1-x)(x+1)^{2}}}+\int {\frac {dx}{8(x-1)(x+1)}}$

後者可用部分分數的方法求得。

證明

$\int {\frac {P}{Q}}dx={\frac {P_{1}}{Q_{1}}}+\int {\frac {P_{2}}{Q_{2}}}dx$

${\frac {P}{Q}}={\frac {P'_{1}-{\frac {Q'_{1}P_{1}}{Q_{1}}}}{Q_{1}}}+{\frac {P_{2}}{Q_{2}}}$

兩邊乘以$Q$

$P=P'_{1}Q_{2}-{\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}+P_{2}Q_{1}$

由於 $Q'_{1}Q_{2}=Q'-Q_{1}Q'_{2}$，而$Q'$和$Q_{1}Q'_{2}$都是$Q_{1}$的倍數，所以${\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}}$是多項式。

比較兩邊多項式的次數：

• $\deg(P)\leq \deg(Q)-1$
• $\deg(P'_{1}Q_{2}\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))=\deg(Q)-1$
• $\deg({\frac {Q'_{1}Q_{2}P_{1}}{Q_{1}}})\leq (\deg(Q_{1})-1)+(\deg(Q)-\deg(Q_{1}))+(\deg(Q_{1})-1)-\deg(Q_{1})=\deg(Q)-2$
• $\deg(P_{2}Q_{1})\leq (\deg(Q)-\deg(Q_{1})-1)+\deg(Q_{1})=\deg(Q)-1$

因此$P_{1},P_{2}$有解。

應用

• 帕德近似
• 插值

參考

• Ostrogradsky's method （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• http://www.math.uncc.edu/~droyster/courses/fall01/classnotes/Lecture08.pdf （页面存档备份，存于互联网档案馆）