5. 和集合の公理とは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 15:26 UTC 版)

「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事における「5. 和集合の公理」の解説

詳細は「和集合の公理」を参照 集合の元に対する和集合が存在する。たとえば、集合 { { 1 , 2 } , { 2 , 3 } } {\displaystyle \{\{1,2\},\{2,3\}\}} の元に対する和集合は { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} である。 和集合の公理は、任意の集合の集合 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} について、 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} の元の元であるすべての元を含む集合 A {\displaystyle A} が存在することを主張する： ∀ F ∃ A ∀ Y ∀ x [ ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) ⇒ x ∈ A ] . {\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x[(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\Rightarrow x\in A].} この式は、 ∪ F {\displaystyle \cup {\mathcal {F}}} の存在を直接主張するものではないが 、上記の分出公理を用いて集合 ∪ F {\displaystyle \cup {\mathcal {F}}} を A {\displaystyle A} から構築することができる： ∪ F = { x ∈ A : ∃ Y ( x ∈ Y ∧ Y ∈ F ) } . {\displaystyle \cup {\mathcal {F}}=\{x\in A:\exists Y(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}})\}.}

※この「5. 和集合の公理」の解説は、「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の解説の一部です。
「5. 和集合の公理」を含む「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の記事については、「ツェルメロ＝フレンケル集合論」の概要を参照ください。