群論とは？ わかりやすく解説

ウィキブックスに群論関連の解説書・教科書があります。

代数的構造 → 群論 群論
基本概念 部分群 正規部分群 商群 （半）直積 群準同型 核 像 直和 リース積 単純 有限 無限（英語版） 連続 乗法 加法 巡回 アーベル 二面体 冪零 可解 群論の用語 群論のトピックス一覧
有限群 有限単純群の分類 巡回 交代 リー型（英語版） 散在（英語版） コーシーの定理 ラグランジュの定理 シローの定理 ホールの定理 p 群 基本アーベル群 フロベニウス群（英語版） シューア multiplier（英語版） 対称群 Sn クラインの四元群 V 二面体群 Dn 四元数群 Q8 二重巡回群 Dicn
離散群 格子 整数 (Z) 格子 モジュラー群 PSL(2, Z) SL(2, Z)
位相 / リー群 ソレノイド（英語版） 円周 一般線型 GL(n) 特殊線型 SL(n) 直交 O(n) ユークリッド E(n) 特殊直交 SO(n) ユニタリ U(n) 特殊ユニタリ SU(n) 斜交 Sp(n) G2（英語版） F4（英語版） E6（英語版） E7（英語版） E8 ローレンツ ポアンカレ 共形（英語版） 微分同相 ループ（英語版） 無限次元リー群（英語版） O(∞) SU(∞) Sp(∞)
代数群 楕円曲線 線型代数群 アーベル多様体

群論（ぐんろん、英語: group theory）とは、群を研究する学問。 群の概念は抽象代数学における中心的な概念。

環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。

群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。

線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。 特に発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。

結晶や、水素原子などの構造の多くは、点群で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。

1960年代 - 1980年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀後半の数学において最も重要な業績の一つである。

群論は、歴史的に3つの源泉がある。数論、代数方程式論、幾何学である。数論の系統は、オイラーに始まり、ガウスの合同式の理論、および二次体に関係した加法群・乗法群の研究によって発展した。

置換群に関する初期の研究成果は、ラグランジュ、ルフィニ、アーベルらの、代数方程式の一般解の研究の過程で得られた。

エヴァリスト・ガロアは「群」という用語を作った。 彼は、初期の群論と現在の体論を結びつけた。

幾何学については、群はまず射影幾何学で、のちに非ユークリッド幾何学で重要になった。 フェリックス・クラインはエルランゲン・プログラムにおいて、 群論は幾何学の原理を統合するものになることを予言した。

1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。 アーサー・ケイリーとコーシーはこの研究を発展させ、 置換群の理論を創設した。

歴史的な2番目の源泉としては、幾何学方面からの流れがある。 可能な幾何学（ユークリッド幾何学、双曲幾何学、射影幾何学）へ群を適用したのは、 フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムに始まる。

1884年、ソフス・リーは群（現在リー群として知られている）を解析的問題に適用した。 三番目に、群は（最初は暗黙的に、後に明示的に）代数的整数論に用いられた。

これら初期の源流では、観点が違っていたので、そのため群に対する観念も違ったものとなっていた。 1880年頃から群の理論の統合がなされてくる。 そして、群論の影響はますます増大し、20世紀初期には抽象代数学、表現論など多くの派生分野が成立した。 有限単純群の分類は、20世紀中頃より膨大な量の研究がなされ、ついに完成に至った。

群の範囲は、有限置換群や行列群の特殊な例から、生成系と基本関係で表示される抽象群まで、いくつかのクラスに分かれていると考えることができる。

初めて系統的な研究のなされた群のクラスは置換群である。 任意の集合 X と、X からそれ自身への全単射（置換とも呼ばれる）の集まり G で合成と反転に関して閉じているようなものが与えられたとき、G は X に作用する群であるという。

X がn 個の元からなり、G が置換全体からなるならば、G は n-次対称群 S_n と呼ばれる。 一般の置換群 G は X の対称群のある部分群となっているものをいう。 ケイリーによる初期の構成では、 任意の群は（左正則表現の意味で）X = G として自分自身に作用する置換群として提示された。

多くの場合、置換群の構造は対応する集合への作用の性質を用いて調べられる。 例えば、n ≥ 5 に対する交代群 A_n が単純群である。 つまり、真の正規部分群を持たない。 次の方法で示すことができる。A_n が単純であるという事実は、高次一般代数方程式の根の冪根による表示の不可能性において重要な役割を果たす。

次に重要な群のクラスは行列群あるいは線型代数群と呼ばれるものである。ここでは群 G は体 K 上の与えられたサイズの正則行列からなる集合で、積と逆をとる操作について閉じているようなものである。そのような群は n-次元ベクトル空間 Kⁿ に線型変換として作用する。この作用により、行列群は概念的には置換群とよく似たものとなり、また作用の幾何学は群 G の性質を示すのに最大限有効に利用することができる。

置換群や行列群は、群が空間 X にその内在的な構造を保つように作用するという、変換群の概念の特別の場合である（置換群の場合は X は集合で、行列群の場合は X はベクトル空間であった）。変換群の概念は対称変換群（あるいは「対称性の群」）の概念に近い関係にある。変換群というとある構造を保つ変換「全体」の成す群を意味することが多い。

変換群の理論は群論と微分幾何学とを結びつける橋渡しの役割を果たすものである。多様体上の同相あるいは微分同相としての群作用の考察は、リーおよびクラインに始まり、膨大な研究がなされている。ここで扱う群それ自体は、離散群かもしれないし連続群となるかもしれない。

群論の発展の初期段階では、群としては、数、置換、行列などによって実現される「具体的」なものばかりが考察の対象であった。特定の公理系を満たす演算を備えた集合としての「抽象群」の概念が根付き始めるのは、19世紀後半になってからのことである。抽象群を特定する典型的な方法のひとつは、生成元と基本関係による表示

${\displaystyle G=\langle S\mid R\rangle }$

幾何学的群論とは、語の問題や同型問題といった問題に対して、群を幾何学的対象として見たり、群が作用する適当な幾何学的対象を求めるといったような幾何学的な視点から解決を試みるものである^[2]。前者の方法としては、群の元を頂点とし、右からの乗法によって写りあう元を辺で結んだケイリーグラフがある。二つの元が与えられれば、それらの元を結ぶ最短経路の長さとして語の距離が定義できる。後者のやり方として、ミルナーと Svarc による、（コンパクト多様体のような）距離空間 X に適当な方法で作用する群 G が与えられれば、群 G は空間 X に擬等長 (quasi-isometric) であるという定理がある。

群の表現

→詳細は「群の表現」を参照

群 G が集合 X に作用するとは、G の各元が、X 上定義された全単射で群構造と両立するものを定めることをいう。ただし、X にさらに構造が入っているときは、それに応じて表現の概念に制限を加えるほうが有効である。例えばよくある状況として、群 G のベクトル空間 V における（または V を表現空間とする）表現（線型表現）とは、GL(V) を V 上の正則線型変換全体の成す群として、群準同型

ρ: G → GL(V)

のことをいう。これはつまり、群 G の各元 g に線型自己同型 ρ(g) が割り当てられていて、さらに G の別の任意の元 h に対して ρ(g) ∘ ρ(h) = ρ(gh)が成り立つということである。

この定義は二つの方向性で捉えることができて、いずれの仕方でも（群コホモロジーや同変 K-理論のような）数学のまったく新たな領域を生じる。ひとつは、群 G について新たな情報をもたらすものである。例えば群 G における演算はしばしば抽象的に与えられるけれども、表現 ρ を通じて（特に表現が忠実のとき）群演算は行列の積という非常に具体的なものに対応付けられることになる。もうひとつは、よく知られた群が与えられ、それが複雑な対象に作用しているものとすれば、そのような対象を調べるのが簡単になるというものである。例えば、G が有限群とすれば、表現空間 V が既約表現の直和に分解されるというマシュケの定理が知られているが、既約表現に対してはシューアの補題などが利用できるので、V 全体を考えるよりもずっと扱いやすい。

与えられた群 G に対する表現論とは、G の表現としてどのようなものが存在しうるかを問うものである。状況設定はさまざまで、どのような手法を使えるかとか、どのような結果が得られるかというようなことがそれぞれの場合で変わってくる。有限群の表現論およびリー群の表現論は表現論における二大主要テーマである。群の表現の全体像は群の指標によって統制されている。例えば、フーリエ多項式は、周期函数全体の成す L²-空間に作用する、絶対値 1 の複素数全体の成す群 U(1) の指標として解釈することができる。

群と対称変換

→詳細は「対称変換群（英語版）」を参照

与えられた任意の種類の構造を持つ対象 X に対し、その対称変換（あるいは対称性、symmetry）とは対象 X からそれ自身の上への構造を保つ変換のことを言う。これは多くの場面で見つかるが、たとえば

1. 対象 X が特に付加的な構造を持たないただの集合であるとき、X の対称変換とは集合 X からそれ自身への全単射のことであり、その全体として対称群が得られる。
2. 対象 X が距離構造を備えた平面上の点の集合（あるいはもっとほかの距離空間）であるとき、X の対称性とは集合 X 上の全単射であって、X 上の任意の二点間の距離を保つもの（等距変換）のことである。これに対応する群は X の等距変換群と呼ばれる。
3. 先ほどと同じ集合で距離の代わりに角を保つものは共形写像あるいは等角写像と呼ばれる。等角写像の全体からは、例えばクライン群が得られる。
4. 対称変換は何も幾何学的対象に限ったものではなく、代数的対象にも同様に定義することができる。例えば、方程式
   ${\displaystyle x^{2}-3=0}$

   

   代数幾何学は暗号理論と同様に、様々なところに群論が使われる。アーベル多様体は、群作用の存在によって、詳細な調査が可能になる。一次元の場合では、楕円曲線が詳細に研究されている。これらは理論的にも応用的にも興味深いものである^{[注 2]}。楕円曲線暗号では、非常に大きな素数位数の群が構成され、公開鍵暗号として役に立っている。

   代数的整数論は、群論の特殊な場合である。たとえば、ゼータ関数のオイラー積表示

   ${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p:{\text{prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

   • 五度圏には12周期群（巡回群）が現れる。
   • 物理学においては、群は物理法則の持つ対称性を記述するために使われる。物理学者は、群の表現、特にリー群の表現に興味を持っている。なぜならそれはしばしば、「可能な」物理法則を指し示すからである。物理における群論の応用には、たとえば標準模型、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがある。
   • 化学、材料科学においては、群はおもに結晶構造や分子対称性を分類するのに使われる。構造に対応した点群により、物理的な性質（極性やキラリティ）や分子軌道を決定できる。ラマン分光法や赤外分光法も参照。分子の対称性は、化合物の多くの物理的・分光学的特性に関与しており、分子の対称性により化学反応がどのように起こるかを予想できる。与えられた分子に点群を割り当てるためには、その分子に存在する対称操作の集合を見つける必要がある。対称操作と対称要素は不可分の概念である。物体の位置と配向を、移動の行われる前と後を比べたとき、これら二つの場合の位置と配向を区別できないならば、その移動は対称操作である。一方で、対称要素とは、幾何学的な意味での、線、面、点などであり、それらに関して一つまたはそれ以上の対称操作が行われるものである。以下で対称操作について詳しく説明する。化学では、以下の5つの重要な対称操作がある。それらは、同一性操作（Ｅ）、回転操作または本義回転(proper rotation)（Ｃｎ）、反射操作または鏡映（σ）、反転操作（ｉ）、および回転反射操作または転義回転(improper rotation)（Ｓｎ）である。恒等操作（Ｅ）は、分子をそのままにしておくことからなる。恒等操作は、すべての分子がもつ対称操作である。軸周りの回転（Cn）は、分子を特定の回転軸を中心とした角度360°/n（nは整数）を通る回転である。例えば、水分子(H₂O)において、酸素原子と二つの水素原子を含む平面上で二つのO-H結合のなす角を二等分する軸を中心に180度回転した場合は、開始時と同じ構成になる。この場合、n = 2となるので、水分子はC₂の対称要素をもつ。複数の回転軸を有する分子において、ｎの値が最も大きいＣｎ軸が最高位の回転軸または主軸である。例えばボラン（BH3）の場合、回転軸の最高次数はC₃なので、回転軸の主軸はC₃となる。鏡映(σ)は、分子内に位置する対称面に対し分子を反転する操作である。対称面が回転主軸に対して垂直な場合をσh（水平）といい、回転の主軸を含む他の平面は、σvまたはσdである。例えば、水分子(H₂O)において、対称面は主軸を含むものしかないので、2つの対称要素σvを持つことになる。反転操作(i)は反転中心に対し分子を対称移動する操作である。水分子においては、反転中心が存在しない。回転反射操作または転義回転(improper rotation)（Ｓｎ）は回転してから、ついで回転軸に垂直な面内での鏡映という順序の操作を一つあるいはそれ以上繰り返す操作である。水分子においては転義軸を持たない。以上より、水分子は、E,C₂,二つのσvを対称要素として持つことが分かる。これから水分子はC₂ｖの点群に属することが分かる。

   脚注

   [脚注の使い方]

   注釈

   1. ^ このように新しい構造を付加する手順は、適切な圏における群対象 (group object) の概念として定式化される。リー群は可微分多様体の圏における群対象であり、アフィン代数群はアフィン代数多様体の圏における群対象である。
   2. ^ ミレニアム問題の一つであるバーチ・スウィンナートン＝ダイアー予想を見よ。

   出典

   1. ^ Schupp & Lyndon 2001
   2. ^ La Harpe 2000.
   3. ^ Lenz, Reiner (1990), Group theoretical methods in image processing, Lecture Notes in Computer Science, 413, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/3-540-52290-5, ISBN 978-0-387-52290-6, http://webstaff.itn.liu.se/~reile/LNCS413/index.htm .

   参考文献

   洋書

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   和書

   • 大島勝：「群論」、共立出版（共立全書88）(1954年10月1日）.
   • 浅野啓三、永尾汎：「群論」、岩波書店（岩波全書 1100）(1965年2月18日).
   • 永尾汎：「群論の基礎」、朝倉書店 (1967年2月20日).
   • 鈴木通夫：「群論 上」、岩波書店、ISBN 4-00-005262-4 (1977年5月27日).
   • 鈴木通夫：「群論 下」、岩波書店、ISBN 4-00-005263-2 (1978年8月18日).
   • 渡辺哲雄：「群論演習」、槇書店、ISBN 4-8375-0480-9 (1980年6月20日).
   • 大山豪：「有限置換群」、裳華房、ISBN 4-7853-1128-2 (1981年9月30日).
   • 鈴木通夫：「有限単純群」、紀伊國屋書店、ISBN 4-31400490-8 (1987年10月).
   • 近藤武：「群論」、岩波書店（岩波基礎数学選書）、ISBN 4-00-007807-0 (1991年1月10日).
   • 原田 耕一郎：「モンスター: 群のひろがり」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006055-4 (1999年3月26日).
   • 原田耕一郎：「群の発見」、岩波書店、ISBN 978-4-00-006791-1 (2001年11月21日).
   • 堀田良之・渡辺敬一・庄司俊明・三町勝久：「代数学百科 I　群論の進化」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11099-9 (2004年4月10日).
   • 原田耕一郎：「数学，この大きな流れ　群の発見」、岩波書店、ISBN 978-4-00-730609-9 (2017年5月10日).

   入門書

   • 芳沢光雄：「群論入門 対称性をはかる数学」、講談社 (ブルーバックス、1917)、ISBN 978-4-06257917-9 (2015年5月21日).
   • 稲葉栄次：「群論入門」、培風館 (1981年).
   • 国吉秀夫：「群論入門」、サイエンス社、ISBN 4-7819-0130-1 (1975年3月31日).
   • 斎藤正彦：「はじめての群論」、日本評論社、ISBN 4-535-78504-X (2005年2月10日).
   • 志賀浩二 ：「群論への30講」(数学30講シリーズ)、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11483-6 (1989年8月25日).
   • 永田 雅宜：「群論への招待」、現代数学社、ISBN 978-4-76870371-7 (2007年4月1日).
     • 永田 雅宜：「初学者のための群論」、現代数学社、ISBN 978-4-7687-0575-9 (2022年1月21日).上記の書名と判型を変更
   • 横田一郎：「初めて学ぶ人のための群論入門」、現代数学社 (1997年).
   • 山内恭彦、杉浦光夫：「連続群論入門」、培風館（2010年）.
   • 雪江明彦：「代数学1 群論入門」 (代数学シリーズ)、日本評論社 (2010年).
   • 脇克志：「見える！ 群論入門」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78796-4 (2017年6月）。

   群論と物理学・化学との関係を解説する文献

   • 佐藤光：「群と物理」、丸善出版, ISBN 978-4-62130084-8（2016年10月22日）.
   • 犬井鉄郎、田辺行人、小野寺嘉孝:「応用群論：群表現と物理学」、増補版、裳華房（1980年10月).
   • 今野豊彦：「物質の対称性と群論」、共立出版、ISBN 978-4-320-03409-9（2001年10月25日）.
   • 小野田嘉孝：「物性物理/物性化学のための群論入門」、裳華房、ISBN 978-4-78532806-1（1996年2月10日）.
   • 藤永茂、成田進： 「化学や物理のためのやさしい群論入門」, 岩波書店 、ISBN 978-4-00-005190-3 (2001年3月28日).
   • 中崎昌雄：「分子の対称と群論」, 東京化学同人、ISBN 978-4-80790086-2（1973年2月15日).
   • 高木秀夫： 「量子論に基づく無機化学：群論からのアプローチ」（増補版）. 名古屋大学出版会、ISBN 978-4-81580907-2（2018年4月20日).
   • F.Albert Cotton: Chemical Applications of Group Theory, Wiley-Interscience, ISBN 978-0-47151094-9（1990年3月).

   関連項目

   • 群 (数学)
   • リー群
   • ワイル群
   • アーベル群
   • 量子群
   • 環論
   • 体論
   • 抽象代数学

   外部リンク

   • 群論 (PDF) (信州大学の講義資料)
   • 集合から群まで (PDF)
   • 1 図形の対称性と群 (PDF)
   • 群論入門 group1.pdf group2.pdf group3.pdf group4.pdf group5.pdf group67.pdf (PDF) (茨城大学の講義資料)
   • 無機化学 無機化学 IV(J) (PDF) (群論の項)

   • 結晶対称性とランダウ理論 (PDF)
   • 群論と結晶場 (PDF)

   • History of the abstract group concept
   • Higher dimensional group theory This presents a view of group theory as level one of a theory which extends in all dimensions and has applications in homotopy theory and to higher dimensional nonabelian methods for local-to-global problems.
   • Plus teacher and student package: Group Theory This package brings together all the articles on group theory from Plus, the online mathematics magazine produced by the Millennium Mathematics Project at the University of Cambridge, exploring applications and recent breakthroughs, and giving explicit definitions and examples of groups.

   表 話 編 歴 群論
   具体的な群	対称群 一般線型群 特殊線型群 二面体群 コクセター群 アーベル群 整数 巡回群 クラインの四元群 基本アーベル群 プリューファー群 単純群 交代群 射影特殊線型群 マシュー群 モンスター群
   ある性質をもつ群	アーベル群 有限生成アーベル群 有限群 p群 冪零群 可解群 完全群 単純群 ねじれ群 ねじれのない群 自由アーベル群 自由群 副有限群 位相群 代数群 リー群
   部分群	ある性質をもつ部分群 正規部分群 特性部分群 具体的な部分群 中心 中心化群 正規化群 交換子部分群 フラッティーニ部分群 フィッティング部分群 部分群の列 組成列 導来列 昇中心列 降中心列
   群の作用	作用の種類 効果的 自由 推移的 正則 剰余類 置換群 固定部分群 軌道 共役類 類等式 内部自己同型群 外部自己同型群
   群の構成	核 像 商群 直積 半直積 輪積 自由積 アーベル化 群の拡大 ガロア群 自己同型群
   定理	準同型定理 ラグランジュの定理 コーシーの定理 シローの定理 有限生成アーベル群の基本定理 ジョルダン・ヘルダーの定理 クルル・シュミットの定理 ケイリーの定理 フロベニウスの定理 バーンサイドの補題 シューア・ザッセンハウスの定理 フェイト・トンプソンの定理 有限単純群の分類
   群の表現論	既約表現 指標表 群環 群上の加群 マシュケの定理 モジュラー表現論
   その他	群準同型 位数 指数 群の表示 ケイリーグラフ 群コホモロジー シューア乗因子
   カテゴリ

   表 話 編 歴 代数学
   一般	初等代数学 抽象代数学 可換環論 順序理論（英語版） 圏論 K理論
   代数的構造	群（論） 環（論） 体（論） 普遍代数学
   線型代数学	行列（論） ベクトル空間（ベクトル（英語版）） 内積空間 幾何代数（英語版）（多重ベクトル（英語版）） ヒルベルト空間
   トピックリスト	抽象代数学（英語版） 代数的構造（英語版） 群論（英語版） 線型代数学（英語版）
   用語一覧	体論 線型代数学（英語版） 環論（英語版）
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