きょく‐ち【極値】
極値
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/06 14:00 UTC 版)
数学の実解析において、実数値関数の極値（きょくち、英: extremum[注 1]）とは、関数の局所的な最小値および局所的な最大値の総称である。関数の極値を求める問題は極値問題と呼ばれる。
定義
n 次元ユークリッド空間 (Rn, d) の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとる[注 2]。 関数 f を定義域 U に属する点 p のある ε 近傍に制限すると値 f(p) がその最小値であるとき、値 f(p) を関数 f の極小値（local minimum）といい、点 p を関数 f の極小点（local minimum point[1]）という。この条件は論理式を用いると
n 次元ユークリッド空間 Rn の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが微分可能であるとする。
定義域 U に属する点 p における関数 f の勾配
原点は関数 x2 + y2, x2, x2 − y2 すべての停留点である。関数 x2 + y2 の原点におけるヘッセ行列は正の定符号であり、原点で関数 x2 + y2 は狭義の極小値をとる。また関数 x2 − y2 の原点におけるヘッセ行列は不定符号であり、原点は関数 x2 − y2 の鞍点である。一方で関数 x2 の原点におけるヘッセ行列は特異行列であり、原点で退化している。
n 次元ユークリッド空間 Rn の開集合 U 上で定義された実数値関数 f: U → R をとり、これが2回連続微分可能であるとする。
関数 f の停留点 p におけるヘッセ行列
が正の定符号（∇2 f(p) > 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極小値をとる[2]。またヘッセ行列 ∇2 f(p) が負の定符号（∇2 f(p) < 0）であるならば関数 f は点 p において狭義の極大値をとり、不定符号であるならば関数 f は点 p において極値をとらない（このとき点 p は関数 f の鞍点と呼ばれる）。
この方法[注 4]により、ヘッセ行列 ∇2 f(p) が特異行列で停留点 p が退化している場合を除けば、極値判定ができる。
注釈
![{\displaystyle [\exists p\in U[m=f(p)]]\land [\forall q\in U[m\leq f(q)]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/200eece7ae683bdb56c54e2e65374bcab6d1acfb)
出典
- ^ a b Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Maximum and minimum points", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
- ^ ヨスト 2000, p. 142, 定理 9.12.
関連項目
参考文献
- ユルゲン・ヨスト『ポストモダン解析学』シュプリンガー、2000年。ISBN 978-4-431-70871-1。
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Extremum". MathWorld (英語).
- extremum - PlanetMath.（英語）
- Ivanov, A.B. (2001), "Extremum", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4。
- extremum in nLab
