DAG G の推移閉包は、G と同じ到達可能性関係を表す DAG の中で、最も多くの辺を持つものである。 これは、頂点 u から v に到達できるときには必ず辺 u → v を持つ。 つまり、G の到達可能性関係において異なる要素の関連するペア u ≤ v は必ず辺を持つので、到達可能性関係 ≤ をグラフ理論的に直訳したものと考えてよい。 この方法はより一般的に有効で、全ての有限半順序集合（S、≤）に対して、S の各メンバーに頂点を持ち、u ≤ v で関連する要素のペアに辺を持つグラフは、自動的に DAG の推移閉包となり、（S、≤）を到達可能性関係として持つ。 このようにして、全ての有限半順序集合は、DAG の到達可能性関係として表すことができる。
DAG G の推移簡約とは、G と同じ到達可能性関係を表す DAG の中で、最も少ない辺を持つものである。 これは G のサブグラフであり、G が u から v に至るより長いパスを持つ場合に辺 u → v を廃棄することで形成される。 推移閉包と同様、推移簡約も DAG に対して一意に定義される。 一方、DAG 以外の有向グラフでは、同じ到達可能性関係を持つ最小部分グラフが複数存在する場合がある[10]。
DAG G が半順序 ≤ で表される到達可能性関係を持つとき、G の推移簡約は G サブグラフであり、≤ の被覆関係 にある全てのペアに対し辺 u → v を持つ。 推移簡約は同じ半順序を表す他のグラフに比べて辺の数が少なく、グラフの描画が単純になるため、半順序を視覚化するのに便利である。 半順序のハッセ図は、推移簡約を図示したもので、各辺の向きを、辺の始点の頂点を終点の頂点よりも低い位置に置いて示している[11]。
注釈・出典
- ^ Christofides, Nicos (1975), Graph theory: an algorithmic approach, Academic Press, pp. 170–174, ISBN 9780121743505.
- ^ Thulasiraman, K.; Swamy, M. N. S. (1992), “5.7 Acyclic Directed Graphs”, Graphs: Theory and Algorithms, John Wiley and Son, p. 118, ISBN 978-0-471-51356-8.
- ^ Bang-Jensen, Jørgen (2008), “2.1 Acyclic Digraphs”, Digraphs: Theory, Algorithms and Applications, Springer Monographs in Mathematics (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 32–34, ISBN 978-1-84800-997-4.
- ^ Thulasiraman, K.; Swamy, M. N. S. (1992), “5.7 Acyclic Directed Graphs”, Graphs: Theory and Algorithms, John Wiley and Son, p. 118, ISBN 978-0-471-51356-8.
- ^ Bang-Jensen, Jørgen (2008), “2.1 Acyclic Digraphs”, Digraphs: Theory, Algorithms and Applications, Springer Monographs in Mathematics (2nd ed.), Springer-Verlag, pp. 32–34, ISBN 978-1-84800-997-4.
- ^ Christofides, Nicos (1975), Graph theory: an algorithmic approach, Academic Press, pp. 170–174
- ^ Mitrani, I. (1982), Simulation Techniques for Discrete Event Systems, Cambridge Computer Science Texts, 14, Cambridge University Press, p. 27, ISBN 9780521282826
- ^ Kozen, Dexter (1992), The Design and Analysis of Algorithms, Monographs in Computer Science, Springer, p. 9, ISBN 978-0-387-97687-7
- ^ Banerjee, Utpal (1993), “Exercise 2(c)”, Loop Transformations for Restructuring Compilers: The Foundations, Springer, p. 19, Bibcode: 1993ltfr.book.....B, ISBN 978-0-7923-9318-4
- ^ Bang-Jensen, Jørgen; Gutin, Gregory Z. (2008), “2.3 Transitive Digraphs, Transitive Closures and Reductions”, Digraphs: Theory, Algorithms and Applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer, pp. 36–39, ISBN 978-1-84800-998-1
- ^ Jungnickel, Dieter (2012), Graphs, Networks and Algorithms, Algorithms and Computation in Mathematics, 5, Springer, pp. 92–93, ISBN 978-3-642-32278-5.
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. "Acyclic Digraph". MathWorld (英語).
- DAGitty – DAG をつくるためのオンラインツール
