リーマン曲率テンソルとは？ わかりやすく解説

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:11 UTC 版)

「リーマン曲率テンソル」の記事における「（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）」の解説

共変ベクトル（1階共変テンソル）vi の共変微分に関して次のリッチの公式 ∇ k ∇ j v i − ∇ j ∇ k v i = − ∑ a R k j i a v a {\displaystyle \nabla _{k}\nabla _{j}v_{i}-\nabla _{j}\nabla _{k}v_{i}=-\sum _{a}R_{kji}{}^{a}v_{a}} （リッチの公式） が成り立つが、このとき、右辺に現れる3階共変1階反変テンソルで次のように定義されるテンソル R k j i h = ∂ { h j i } ∂ x k − ∂ { h k i } ∂ x j + ∑ a { h k a } { a j i } − ∑ a { h j a } { a k i } {\displaystyle R_{kji}{}^{h}={\frac {\partial \left\{{{h} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \left\{{{h} \atop {ki}}\right\}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a}\left\{{{h} \atop {ka}}\right\}\left\{{{a} \atop {ji}}\right\}-\sum _{a}\left\{{{h} \atop {ja}}\right\}\left\{{{a} \atop {ki}}\right\}} をリーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）またはリーマン-クリストッフェルのテンソル（Riemann-Christoffel tensor）と呼ぶ。

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