Pendulo simple

Resumen

Un cuerpo que tiene un movimiento periódico se caracteriza por una posición de equilibrio estable; cuando se le aleja de esa posición y se suelta, entra en acción una fuerza o torca para volverlo al equilibrio. Sin embargo, para cuando llega ahí, ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite continuar su movimiento hasta detenerse del otro lado, de donde será impulsado nuevamente hacia su posición de equilibrio. Imagine una pelota que rueda de un lado a otro dentro de un tazón redondo, o un péndulo que oscila pasando por su posición vertical. El presente trabajo es acerca de "oscilaciones" más puntualmente sobre "péndulo simple" siendo este último el método que se ocupó para poder observar si había variación en el periodo de una oscilación, además por medio de análisis matemático poder llegar a conocer el valor de la gravedad en ese momento y lugar específico (Semanzky, 2009).

Introducción

Oscilaciones

Se denomina oscilación a una variación, perturbación o fluctuación en el tiempo de un medio o sistema. Si el fenómeno se repite, se habla de oscilación periódica. Oscilación, es el movimiento repetido de un lado a otro en torno a una posición central, o posición de equilibrio. El recorrido que consiste en ir desde una posición extrema a la otra y volver a la primera, pasando dos veces por la posición central, se denomina ciclo. El número de ciclos por segundo, o hercios (Hz), se conoce como frecuencia de la oscilación empleada en el MAS (Movimiento Armónico Simple).

Péndulo simple

Un péndulo simple es un modelo idealizado que consiste en una masa puntual suspendida de un cordón sin masa y no estirable. Si la masa se mueve a un lado de su posición de equilibrio (vertical), oscilará alrededor de dicha posición. Situaciones ordinarias, como una bola de demolición en el cable de una grúa o un niño en un columpio pueden modelarse como péndulos simples. La trayectoria de la masa puntual (llamada en ocasiones pesa o lenteja) no es una recta, sino el arco de un círculo de radio L igual a la longitud del cordón. En la figura 1, representamos las fuerzas que actúan sobre la masa en términos de componentes tangencial y radial. La fuerza de restitución es la componente tangencial de la fuerza total:

Ec.1

La fuerza de restitución se debe a la gravedad; la tensión T sólo actúa para hacer que la masa puntual describa un arco. La fuerza de restitución es proporcional no a sino a , así que el movimiento no es armónico simple. Sin embargo, si el ángulo es pequeño, es casi igual a en radianes. Por ejemplo, si rad (unos 6°), , una diferencia de sólo 0.2%. Con esta aproximación, la ecuación (1) se convierte en: La fuerza de restitución es entonces proporcional a la coordenada para desplazamientos pequeños, y la constante de fuerza es k=mg/L. Luego la frecuencia angular v de un péndulo simple con amplitud pequeña es

El movimiento oscilatorio resultante queda caracterizado por los siguientes parámetros:

Oscilación completa o ciclo: es el desplazamiento de la esfera desde uno de sus extremos más alejados de la posición de equilibrio hasta su punto simétrico (pasando por la posición de equilibrio) y desde este punto de nuevo hasta la posición inicial, es decir, dos oscilaciones sencillas (Serway, R.A., 2005.).

Periodo: es el tiempo empleado por la esfera en realizar un ciclo u oscilación completa.

Frecuencia: es el número de ciclos realizados en la unidad de tiempo.

Amplitud: es el máximo valor de la elongación o distancia hasta el punto de equilibrio, que depende del ángulo entre la vertical y el hilo.

Materiales y métodos

Sobre el equipo

Los materiales usados en la práctica experimental fueron los siguientes:

1) Soporte regulable para péndulo simple 2) Cronometro 3) 2 metros de cordel 4) Tres esferas de diferente masa 5) Balanza 6) Regla graduada

Métodos

Para la realización de esta práctica, los pasos para llevar a cabo el experimento fueron:

1) Se armó el dispositivo con una longitud de cuerda de 55cm 2) Se midió el periodo correspondiente a diferentes amplitudes iniciales 3) Fijando los valores de longitud y amplitud se varió la masa de la esfera y se determinó la influencia de esta sobre el periodo 4) Se fijaron los valores de la amplitud y de la masa, se repitió el proceso se variando solamente la longitud de la cuerda Por lo tanto se afirma a partir de los resultados que hay un aumento proporcional de la longitud con respecto al aumento en el periodo del péndulo.

Resultados y discusión

Ahora haremos uso de un péndulo simple de longitud L para encontrar la aceleración de la gravedad. Primero mediremos el periodo de varias oscilaciones para que el error de la medida sea el mínimo, luego se calcula el periodo T de una oscilación y de la ecuación de periodo se despeja la gravedad g, así:

Ecuación de Periodo √ Despejando:

Tabla III: Valor de la gravedad para una longitud determinada y un periodo determinado. Para calcular el porcentaje del error entre gravedad promedio calculada y la gravedad de 9.80661 m/s2, se procede de la siguiente manera: %Error = (9.80661 m/s2 -9.245884167 m/s2) *100% %Error = 1.9993709*10-3*100% %Error =0.19993%

Longitud (m) Periodo (s) Gravedad (m/s 2 )

A continuación se demostrará que el valor de n debe ser de ½ para que se cumpla la ecuación √ Se partirá de la ecuación ( ) , donde:

Se plantearán dos ecuaciones para dos periodos y longitudes distintas:

Luego se procede a dividir ambas ecuaciones (T1/T2)

A partir de la deducción de la fórmula para la n se encontraron 4 valores de "n" utilizando los datos que encontramos en la tabla 2 y luego sacar un promedio de valores el cual tiene que ser igual o aproximadamente a 0.5. El promedio calculado es un valor muy cercano a 0.5 y de esta manera se demuestra que el índice del radical n que se encuentra en la fórmula del periodo ( √ ) para un péndulo simple es efectivamente de 0.5.

L1

GRÁFICAS

Grafica 1. Se muestra la amplitud versus el periodo obtenido a partir de la práctica.

Grafica 2. Se muestra la masa versus el periodo obtenido a partir de la práctica.

Grafica 3. Se muestra la longitud versus el periodo obtenido a partir de la práctica.

Causas de error

Precisión al momento de variar las amplitudes Error personal al momento de tomar los tiempos que tardó cada periodo La regla que se ocupó para tomar medidas no se encontraba correctamente graduada El cordel sobrante influía al momento de las oscilaciones ejerciendo una pequeña fuerza de resistencia La balanza de triple brazo no estaba calibrada correctamente

Conclusiones

Se observó que no importaba la amplitud que se le diera al objeto, ya que no presentaba cambio alguno en su período, no importaba que la amplitud fuera de 20cm o de 50cm, al medir las 10 oscilaciones y dividirlas entre 10 el período fue el mismo.

La masa de las bolitas era independiente al momento de medir el período; ya que al darle la misma amplitud a todas las esferas, el período es el mismo por lo tanto es independiente de la masa Al finalizar la práctica se pudo apreciar que el período depende de la longitud, ya que al cambiar las distancias de la longitud de la cuerda al momento de medir las oscilaciones el período no era el mismo