Circuitos Elétricos - Volume 2

Universidade Federal do Espírito Santo Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Elétrica Circuitos Elétricos José Luiz Borba José Luiz Borba Circuitos Elétricos Volume 2 Circuitos de corrente contínua em regime permanente Declarações As informações contidas nessa publicação, destinada exclusivamente ao uso acadêmico, foram extraídas de diversos materiais entre livros, apostilas e outras publicações. Na medida do nosso conhecimento são confiáveis e precisas. Entretanto, o autor não se responsabiliza quer por prejuízos físicos ou materiais, quer por infração a patentes ou direitos de qualquer espécie que a utilização dessas informações porventura causarem. O autor autoriza a reprodução, sem fins lucrativos, de qualquer parte do texto, desde que citada a fonte. Mais do que simplesmente listar as Marcas Registradas que aparecem no decorrer desta obra e informar a quem possui seus direitos de exploração, ou ainda imprimir os logotipos delas, o autor declara estar utilizando tais Marcas apenas para fins editoriais, em benefício exclusivo de seu dono, sem intenção de infringir as regras de sua utilização. Esta obra vem sendo constantemente atualizada com sugestões e correções feitas pelos colegas e pelos alunos da disciplina. Assim sendo, peço gentilmente o favor de me comunicar todas as deficiências encontradas na mesma, pois é do seu aprimoramento que os semestres seguintes terão uma melhor eficácia. Agradeço desde já pela colaboração. José Luiz Borba Epígrafe Esta obra resume a experiência do autor na área de ensino de Circuitos Elétricos adquirida ao longo dos anos de trabalho nos cursos de graduação ministrados na graduação em Engenharia Elétrica da Universidade Federal do Espírito Santo - UFES. Trata-se de um trabalho escrito para motivar o aprofundamento do assunto e o estabelecimento de uma base de conhecimento que permita o entendimento das questões fundamentais da Engenharia Elétrica. O texto também serve para concatenar as ideias por parte daqueles que já estudaram os assuntos abordados de forma isolada. “Feliz aquele que transfere o que sabe e aprende o que ensina.” Cora Coralina “A dedicação nos leva a fazer as coisas bem-feitas. Mas, é o amor que nos leva a fazê-las com perfeição.” i Sumário 1 1.1 1.2 1.3 Topologia dos Circuitos Elétricos ......................................................................... 1 Definições ............................................................................................................ 1 Teorema Fundamental da Topologia .................................................................... 4 Equação 2b ........................................................................................................... 4 2.1 2.1.1 2.1.1.1 2.1.1.2 2.1.1.3 2.1.2 2.1.2.1 2.1.2.2 2.1.2.3 2.1.2.1 2.1.3 2.1.3.1 2.1.3.2 2.1.3.3 2.1.4 2.2 2.2.1 2.2.1.1 2.2.1.2 2.2.1.2.1 2.2.1.3 2.2.1.3.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.2.2.3 2.3 Leis de Kirchhoff .................................................................................................. 5 Lei das Malhas - Lei de Kirchhoff das Tensões (LKV) ............................................. 5 Associação de elementos passivos de circuito em série........................................ 5 Associação de resistências em série ..................................................................... 6 Associação de indutâncias em série ..................................................................... 6 Associação de capacitâncias em série ................................................................... 7 Associação de elementos ativos de circuito em série ............................................ 7 Associação de fontes ideais de tensão em série ................................................... 7 Associação de fontes ideais de corrente em série ................................................. 8 Associação de fontes ideais de corrente e de tensão em série .............................. 9 Associação de fontes ideais de corrente e de elementos passivos em série .......... 9 Divisores de tensão .............................................................................................. 9 Divisores de tensão resistivos ............................................................................ 10 Divisores de tensão indutivos ............................................................................. 10 Divisores de tensão capacitivos .......................................................................... 11 Exercícios ........................................................................................................... 11 Lei dos Nós - Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) ............................................. 12 Associação de elementos passivos de circuito em paralelo................................. 13 Associação de resistências em paralelo .............................................................. 13 Associação de indutâncias em paralelo .............................................................. 14 Momento elétrico na associação em paralelo de indutâncias .............................. 14 Associação de capacitâncias em paralelo ............................................................ 15 Momento elétrico na associação em paralelo de capacitância ............................. 15 Associação de fontes ideais de corrente em paralelo .......................................... 15 Associação de fontes ideais de tensão em paralelo ............................................ 16 Associação de fontes ideais de corrente e de tensão em paralelo ....................... 16 Associação de fontes ideais de tensão e elemento passivo em paralelo ............. 17 Divisores de corrente ......................................................................................... 17 Divisores de corrente resistivos .......................................................................... 17 Divisores de corrente indutivos .......................................................................... 17 Divisores de corrente capacitivos ....................................................................... 18 Exercícios ........................................................................................................... 18 3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 Métodos de análise de Circuitos Elétricos ........................................................... 21 Método das correntes de malha.......................................................................... 21 Equações de malha ............................................................................................. 21 Equações de laço ................................................................................................ 22 Equações de vínculo ou restrição........................................................................ 22 Exercícios ........................................................................................................... 24 Método das tensões de nó .................................................................................. 47 Equações de nó .................................................................................................. 47 Equações de vínculo ou restrição........................................................................ 48 Exercícios ........................................................................................................... 50 2 3 ii 4 4.1 4.1.1 4.1.1 4.1.2 4.1.2.1 4.1.3 4.1.3.1 4.1.4 4.1.4.1 4.1.5 4.1.5.1 4.2 4.2.1 4.3 4.3.1 4.4 4.4.1 4.4.2 4.4.3 4.5 4.5.1 4.5.2 4.5.3 4.5.3.1 4.6 4.6.1 4.6.1.1 4.6.2 4.6.2.1 4.6.3 4.7 4.8 4.8.1 4.9 4.10 4.10.1 4.11 4.11.1 4.11.2 4.12 4.12.1 4.12.2 4.12.2.1 4.12.3 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ..................................................... 67 Resistência Equivalente ...................................................................................... 67 Circuitos contendo somente resistências ........................................................... 67 Transformações  ⬄ Y e  ⬄ Y .......................................................................... 68 Circuitos em ponte ............................................................................................ 71 Exercícios........................................................................................................... 72 Circuitos Contendo Resistências e Fontes Independentes .................................. 78 Exercício ............................................................................................................ 79 Circuitos contendo resistências e fontes dependentes ....................................... 82 Exercícios........................................................................................................... 82 Circuitos Contendo Resistências, Fontes Independentes e Dependentes ............ 84 Exercício ............................................................................................................ 84 Teorema de Thèvenin ........................................................................................ 85 Exercícios........................................................................................................... 86 Teorema de Norton .......................................................................................... 109 Exercícios......................................................................................................... 110 Transformação de Fontes................................................................................. 113 Transformação de fonte de tensão em fonte de corrente ................................. 114 Transformação de fonte de corrente em fonte de tensão ................................. 115 Exercícios......................................................................................................... 115 Aplicações dos Teoremas de Thèvenin e de Norton ......................................... 127 Equivalentes para o divisor de tensão .............................................................. 127 Equivalentes para circuito com diagrama desconhecido ................................... 129 Equivalentes para a característica V-A conhecida ............................................. 130 Exercícios......................................................................................................... 131 Teorema do deslocamento de fontes ............................................................... 141 Deslocamento de fontes de tensão .................................................................. 141 Exemplo ........................................................................................................... 142 Deslocamento de fontes de corrente ................................................................ 142 Exemplo ........................................................................................................... 143 Exercícios......................................................................................................... 143 Princípio da linearidade.................................................................................... 174 Teorema da linearidade ................................................................................... 174 Exemplos ......................................................................................................... 174 Princípio da Superposição ................................................................................ 176 Teorema da Superposição ................................................................................ 176 Exercícios......................................................................................................... 177 Teorema da Máxima Transferência de Potência ............................................... 204 Exemplo ........................................................................................................... 205 Exercícios......................................................................................................... 206 Teorema da Substituição .................................................................................. 229 Exemplo ........................................................................................................... 230 Simetria ........................................................................................................... 231 Exemplo ........................................................................................................... 231 Exercícios......................................................................................................... 233 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 Bibliografia ...................................................................................................... 239 Livros ............................................................................................................... 239 Apostilas e notas de aulas ............................................................................... 240 Apresentações ................................................................................................. 241 Manuais ........................................................................................................... 241 Sites ................................................................................................................. 241 5 Topologia dos Circuitos Elétricos 1 1 Topologia dos Circuitos Elétricos Para descrever completamente um circuito elétrico precisamos relacionar: • O número de incógnitas no circuito; • Quais são essas incógnitas; • Quais as equações independentes a escrever. Um método de análise capaz de fornecer os itens acima relacionados e que possa resultar não só num número menor de equações como também em menos trabalho, é o da Topologia dos Circuitos. Em termos de circuitos elétricos, não estamos preocupados com tipos particulares de elementos que os compõe, mas na maneira pela qual estes elementos estão interligados. A interconexão entre estes elementos tem importância fundamental no estudo dos circuitos, pois impõem vínculos correspondentes as duas Leis de Kirchhoff. A descrição dessa interconexão pode ser feita em termos puramente geométricos. 1.1 Definições • Topologia - é um ramo da geometria que trata das propriedades de figuras geométricas. Propriedades essas que não se alteram se a figura for girada, torcida, dobrada, esticada ou comprimida e assegurando que parte nenhuma da figura será cortada ou juntada a alguma outra parte. • Ramo - é um caminho elementar, contendo um único elemento ou o conjunto de um elemento com uma fonte de energia, que conecta um nó a qualquer outro nó. R, L ou C nó nó nó R, L ou C - V + nó Figura 1.1 - Ramo • Nó - junção entre dois ou mais ramos topológicos. nó Figura 1.2 - Nó • Nó aparente - junção entre um ou mais ramos topológicos com uma fonte de tensão. Topologia dos Circuitos Elétricos - + 2 nó aparente Figura 1.3 - Nó aparente • Super nó - dois nós aparentes conectados por uma mesma fonte de tensão. super nó + nó aparente - nó aparente Figura 1.4 - Super nó • Laço - um conjunto de ramos formando um caminho fechado e que passa apenas uma vez em cada nó. - + laço Figura 1.5 - Laço • Malha - um laço que não contém nenhum outro no seu interior. - malha + malha Figura 1.6 - Malha • Malha aparente - uma malha que contém uma ou mais fontes de corrente. Topologia dos Circuitos Elétricos - 3 + malha aparente malha Figura 1.7 – Malha aparente • Super malha - uma malha que contém no seu interior duas ou mais malhas aparentes que têm fontes de corrente em comum. - + malha aparente malha aparente super malha Figura 1.8 - Super malha • Gráfico linear (gráfico ou grafo) - é um conjunto de ramos tais que só admitem os nós como pontos comuns. Desde que as propriedades geométricas de um circuito sejam independentes dos elementos de circuito que estão contidos em cada ramo, podemos representar os ramos do circuito por um segmento de linha. Assim devemos: a) Anular as fontes ➢ Substituir a fonte de tensão por um curto-circuito. ➢ Substituir a fonte de corrente por um circuito aberto. + V I Figura 1.9 - Anular as fontes b) Substituir um ramo por uma linha - R L Figura 1.10 - C Substituir os ramos por uma linha c) Numerar os nós – • Gráfico planar - é um gráfico que pode ser desenhado numa superfície plana de modo tal que nenhum ramo passa sobre ou sob um outro ramo. Topologia dos Circuitos Elétricos Figura 1.11 - 4 Gráfico planar • Gráfico não planar - qualquer gráfico que não seja planar. Figura 1.12 - 1.2 Gráfico não planar Teorema Fundamental da Topologia Em um gráfico o número de ramos é igual a soma do número de malhas com o número de nós, menos um. b l n ⇨ número de ramos; ⇨ número de malhas; ⇨ número de nós. 1.3 𝒃 =𝒍+𝒏−𝟏 Equação 2b Sabemos que: • em cada ramo temos duas incógnitas - a tensão e a corrente. • em um circuito temos b ramos. Portanto, precisamos de 2b equações para resolver inteiramente o circuito: 𝟐⋅𝒃 =𝒃+𝒍+𝒏−𝟏 Leis de Kirchhoff 2 5 Leis de Kirchhoff 2.1 Lei das Malhas - Lei de Kirchhoff das Tensões (LKV) Qualquer caminho fechado dentro de um circuito é chamado de Malha. E1 + E2 V1 Figura 2.1 - Malha Para aplicarmos a Lei das Malhas, devemos inicialmente arbitrar um sentido para a corrente de malha. É recomendado adotar-se o sentido saindo da maior fonte de tensão ou o sentido da fonte de corrente existente na malha. Sabemos que a corrente ao percorrer um elemento passivo de circuito desenvolve uma tensão com sinal positivo na entrada e sinal negativo na saída. + V1 - E1 + I V + E2 - V2 - Figura 2.2 - Tensões na malha Em qualquer instante o somatório das tensões de uma malha é nulo. 𝑵 ∑ 𝑽𝒋 = 𝟎 𝒋=𝟏 À medida que percorremos a malha, no mesmo sentido adotado para a corrente, anotamos o sinal da tensão que a corrente de malha encontra ao chegar a cada um de seus elementos. −𝑽 + 𝑽𝟐 + 𝑽𝟑 = 𝟎 2.1.1 𝑽 = 𝑽𝟐 + 𝑽𝟑 Associação de elementos passivos de circuito em série Diz-se que dois ou mais elementos passivos de circuito estão ligados em série, quando a mesma corrente circula através de todos eles. I + E1 + V1 - I E2 I + V2 - I En I + Vn - - V Figura 2.3 - Associação de elementos passivos de circuito em série Para uma associação de n elementos passivos de circuito em série, podemos escrever: Leis de Kirchhoff 6 𝑽 = 𝑽𝟏 + 𝑽𝟐 + ⋯ + 𝑽𝒏 Podemos observar que a associação de n elementos passivos de circuito em série pode ser substituída por um único elemento equivalente, de modo que as medidas de corrente e de tensão efetuadas tanto nos terminais acessíveis do elemento equivalente como da associação são absolutamente iguais, de tal modo que, do ponto de vista dos terminais acessíveis, não podemos distinguir um do outro. Para a associação de Resistências, Indutâncias e Capacitâncias em série, denotamos o elemento equivalente por RS, LS e CS, respectivamente. 2.1.1.1 Associação de resistências em série I + V + V1 + R1 V2 - R2 I + Rs V - + Vn Rn - - Figura 2.4 - Associação de resistências em série Para uma associação de 𝑛 resistências em série, podemos escrever: 𝑹𝒔 ∙ 𝑰 = 𝑹𝟏 ∙ 𝑰 + 𝑹𝟐 ∙ 𝑰 + ⋯ + 𝑹𝒏 ∙ 𝑰 𝑹𝒔 = 𝑹𝟏 + 𝑹 𝟐 + ⋯ + 𝑹𝒏 2.1.1.2 Associação de indutâncias em série I + V + V1 + L1 V2 - L2 I + V Ls + Vn - Ln - Figura 2.5 - Associação de indutâncias em série Para uma associação de 𝑛 indutâncias em série, podemos escrever: Leis de Kirchhoff 𝑳𝒔 ∙ 7 𝒅𝑰 𝒅𝑰 𝒅𝑰 𝒅𝑰 = 𝑳𝟏 ∙ + 𝑳𝟐 ∙ + ⋯ + 𝑳𝒏 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑳𝒔 = 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 + ⋯ + 𝑳𝒏 2.1.1.3 Associação de capacitâncias em série I + V + V1 + C1 V2 - C2 I + V Cs + Vn Cn - - Figura 2.6 - Associação de capacitâncias em série Para uma associação de 𝑛 capacitâncias em série, podemos escrever: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∙ ∫ 𝑰 𝒅𝒕 = ∙ ∫ 𝑰 𝒅𝒕 + ∙ ∫ 𝑰 𝒅𝒕 + ⋯ + ∙ ∫ 𝑰 𝒅𝒕 𝑪𝟏 𝑪𝟐 𝑪𝒏 𝑪𝒔 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = + + ⋯+ 𝑪𝒏 𝑪𝒔 𝑪𝟏 𝑪𝟐 Para o caso especial de duas capacitâncias, temos: 𝟏 𝟏 𝟏 = + 𝑪𝒔 𝑪𝟏 𝑪𝟐 2.1.2 ⇨ 𝑪𝒔 = 𝑪𝟏 ∙ 𝑪𝟐 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 Associação de elementos ativos de circuito em série Qualquer associação de elementos ativos de circuito em série pode ser substituída por um único elemento equivalente. As medidas de corrente e de tensão efetuadas tanto nos terminais acessíveis do elemento equivalente como da associação são absolutamente iguais, de tal modo que, do ponto de vista dos terminais acessíveis, não podemos distinguir um do outro. 2.1.2.1 Associação de fontes ideais de tensão em série Podemos substituir uma associação em série de duas ou mais fontes ideais de tensão por uma só fonte ideal de tensão de valor igual à soma algébrica dos valores das fontes associadas. Leis de Kirchhoff 8 I + + V1 I + + + V2 V V - V = V1+V2+...+Vn - - + Vn - - Figura 2.7 - Associação de fontes ideais de tensão em série 2.1.2.2 Associação de fontes ideais de corrente em série Só é válido associar-se fontes ideais de corrente em série quando a polaridade e os valores das fontes forem iguais. I I + + I I V I V - Figura 2.8 - Associação de fontes ideais de corrente em série Não é válido associar-se fontes ideais de corrente em série: ➢ De mesmo valor e diferentes polaridades ? I I Figura 2.9 - Fontes ideais de corrente de mesmo valor e diferentes polaridades em série É impossível determinar o valor e o sentido da corrente que circula pelo ramo de circuito. ➢ De mesma polaridade e diferentes valores Leis de Kirchhoff 9 ? I1 I2 Figura 2.10 - Associação de fontes ideais de corrente de mesma polaridade e diferentes valores em série É impossível determinar o valor da corrente que circula pelo ramo de circuito. 2.1.2.3 Associação de fontes ideais de corrente e de tensão em série A associação de uma fonte ideal de tensão em série com uma fonte ideal de corrente resulta em uma fonte ideal de corrente de valor igual ao da fonte ideal de corrente associada. I + + I + V - V I V I - Figura 2.11 - 2.1.2.1 Associação de fontes ideais de corrente e de tensão em série Associação de fontes ideais de corrente e de elementos passivos em série A associação de uma fonte ideal de corrente em série com um elemento passivo de circuito resulta em uma fonte ideal de corrente de valor igual ao da fonte ideal de corrente associada. I + I + Z V I I V - Figura 2.12 - 2.1.3 Associação de fontes ideais de corrente e de elementos passivos em série Divisores de tensão A divisão de tensão acontece quando uma fonte de tensão alimenta dois ou mais componentes em série. Leis de Kirchhoff 2.1.3.1 Divisores de tensão resistivos I + R1 V + R2 - v - Figura 2.13 - Divisor de tensão resistivo Para um divisor de tensão resistivo puro, podemos escrever: 𝑰= 𝑽 𝑽 = 𝑹𝒔 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝒗 = 𝑹𝟐 ∙ 𝑰 = 𝑹𝟐 ∙ 𝒗= 𝑹𝟐 ∙𝑽 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 2.1.3.2 𝑽 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 Divisores de tensão indutivos I + L1 V + L2 Figura 2.14 - v - Divisor de tensão indutivo Para um divisor de tensão indutivo puro, podemos escrever: 𝑰= 𝟏 𝟏 ∙ ∫ 𝑽 ∙ 𝒅𝒕 = ∙ ∫ 𝑽 ∙ 𝒅𝒕 𝑳𝒔 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 𝒅𝑰 𝟏 = ∙𝑽 𝒅𝒕 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 𝒗 = 𝑳𝟐 ∙ 𝒗= 𝒅𝑰 𝟏 = 𝑳𝟐 ∙ ∙𝑽 𝒅𝒕 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 𝑳𝟐 ∙𝑽 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 10 Leis de Kirchhoff 2.1.3.3 11 Divisores de tensão capacitivos I + C1 V + v C2 - - Figura 2.15 - Divisor de tensão capacitivo Para um divisor de tensão capacitivo puro, podemos escrever: 𝑰 = 𝑪𝒔 ∙ 𝒅𝑽 𝑪𝟏 ∙ 𝑪𝟐 𝒅𝑽 = ∙ 𝒅𝒕 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒅𝒕 ∫ 𝑰 ∙ 𝒅𝒕 = 𝒗= 𝒗= 2.1.4 𝑪𝟏 ∙ 𝑪𝟐 ∙𝑽 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝟏 𝟏 𝑪𝟏 ∙ 𝑪𝟐 ∙ ∫ 𝑰 ∙ 𝒅𝒕 = ∙ ∙𝑽 𝑪𝟐 𝑪𝟐 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝑪𝟏 ∙𝑽 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 Exercícios 1. Uma bateria de 12 𝑉 e resistência interna de 0,15 Ω é conectada a uma carga que solicita da bateria uma corrente de 4,5 𝐴. Nesse caso, a tensão disponível nos terminais de saída da bateria com a carga, em Volt, é: 0,15 W + 12 V + - + RL 4,5 A - - ➢ Escrever a equação da malha −𝟏𝟐 + 𝟎, 𝟏𝟓 ∙ 𝟒, 𝟓 + 𝑹𝑳 ∙ 𝟒, 𝟓 = 𝟎 𝑹𝑳 = 𝟏𝟐 − 𝟎, 𝟏𝟓 = 𝟐, 𝟓𝟏𝟕 𝜴 𝟒, 𝟓 𝑽𝑳 = 𝑹𝑳 𝟐, 𝟓𝟏𝟕 ∙𝑽= ∙ 𝟏𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟑𝟐𝟓 𝑽 𝑹𝒊𝒏 + 𝑹𝑳 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟐, 𝟓𝟏𝟕 ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar a tensão sobre a carga Leis de Kirchhoff 2.2 12 Lei dos Nós - Lei de Kirchhoff das Correntes (LKC) Um ponto onde dois ou mais elementos têm uma conexão comum é chamado de Nó. nó Figura 2.16 - Nó Em qualquer instante a soma das correntes que chegam a um Nó é igual a soma das correntes que saem do Nó. I3 I4 I2 nó I1 I5 Figura 2.17 - Correntes no Nó Em outras palavras, o somatório das correntes de um Nó é nulo. 𝑵 ∑ 𝑰𝒋 = 𝟎 Para tanto deve ser adotada a convenção de: • Correntes positivas ⇨ • Correntes negativas ⇨ 𝒋=𝟏 Correntes que chegam ao Nó Correntes que saem do Nó 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑 − 𝑰𝟒 − 𝑰𝟓 = 𝟎 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + 𝑰𝟑 = 𝑰𝟒 + 𝑰𝟓 ∑ 𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒄𝒉𝒆𝒈𝒂𝒎 𝒂𝒐 𝒏ó = ∑ 𝑪𝒐𝒓𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒔𝒂𝒆𝒎 𝒅𝒐 𝒏ó Leis de Kirchhoff 2.2.1 13 Associação de elementos passivos de circuito em paralelo Diz-se que dois ou mais elementos passivos de circuito estão ligados em paralelo, quando a mesma tensão está aplicada sobre os terminais de cada um deles. I + + V + E1 V I2 E2 V - Figura 2.18 - I1 - + In En V - Associação de elementos passivos de circuito em paralelo Para uma associação de n elementos passivos de circuito em paralelo, podemos escrever: 𝑰 = 𝑰𝟏 + 𝑰𝟐 + ⋯ + 𝑰𝒏 Podemos observar que a associação de n elementos passivos de circuito em paralelo pode ser substituída por um único elemento equivalente, de modo que as medidas de corrente e de tensão efetuadas tanto nos terminais acessíveis do elemento equivalente como da associação são absolutamente iguais, de tal modo que, do ponto de vista dos terminais acessíveis, não podemos distinguir um do outro. Para associação de Resistências, Indutâncias e Capacitâncias em paralelo, denotamos o elemento equivalente por RP, LP e CP, respectivamente. 2.2.1.1 Associação de resistências em paralelo I + V - I + I1 R1 V - + I2 R2 V + V - Figura 2.19 - In + Rn V - Associação de resistências em paralelo Para uma associação de n resistências em paralelo, podemos escrever: 𝑽 𝑽 𝑽 𝑽 = + + ⋯+ 𝑹𝒑 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝒏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = + + ⋯+ 𝑹𝒏 𝑹𝒑 𝑹𝟏 𝑹𝟐 Para o caso especial de duas resistências, temos: 𝟏 𝟏 𝟏 = + 𝑹𝒑 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝒑 = 𝑹𝟏 ∙ 𝑹𝟐 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 - Rp Leis de Kirchhoff 2.2.1.2 14 Associação de indutâncias em paralelo I I + + V V I1 L1 - - + V I2 + V L2 - Figura 2.20 - In + Ln V - LP - Associação de indutâncias em paralelo Para uma associação de n indutâncias em paralelo, podemos escrever: 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ∙ ∫ 𝑽 𝒅𝒕 = ∙ ∫ 𝑽 𝒅𝒕 + ∙ ∫ 𝑽 𝒅𝒕 + ⋯ + ∙ ∫ 𝑽 𝒅𝒕 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝒏 𝑳𝒑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = + + ⋯+ 𝑳𝒏 𝑳𝒑 𝑳𝟏 𝑳𝟐 Para o caso especial de duas indutâncias, temos: 𝟏 𝟏 𝟏 = + 𝑳𝒑 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑳𝒑 = 𝑳𝟏 ∙ 𝑳𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 2.2.1.2.1 Momento elétrico na associação em paralelo de indutâncias Numa associação em paralelo de duas indutâncias carregadas com cargas elétricas diferentes, a carga elétrica total depois da associação deve permanecer igual a de antes da associação, isto é: t=0 I1 + V Ip I1 I2 L1 L2 + t>0 V - 𝑸 = 𝑳𝟏 ∙ 𝑰𝟏 + 𝑳𝟐 ∙ 𝑰𝟐 [𝑯 ∙ 𝑨] 𝑰𝒑 = 𝑳𝟏 ∙ 𝑰𝟏 + 𝑳𝟐 ∙ 𝑰𝟐 𝑳𝑷 𝑰𝒑 = 𝑳𝟏 ∙ 𝑰 [𝑨] 𝑳𝑷 𝟏 LP - 𝒕 < 𝟎 ⇨ ⇨ 𝑸 = 𝑳𝒑 ∙ 𝑰𝑷 [𝑯 ∙ 𝑨] Considerando 𝐿2 totalmente descarregada, isto é, 𝐼2 = 0, temos: 𝒕 > 𝟎 Leis de Kirchhoff 2.2.1.3 15 Associação de capacitâncias em paralelo I I + + V V I1 C1 V + V C2 - - - I2 + In + Cn V - Figura 2.21 - Cp - Associação de capacitâncias em paralelo Para uma associação de n capacitâncias em paralelo, podemos escrever: 𝑪𝒑 ∙ 𝒅𝑽 𝒅𝑽 𝒅𝑽 𝒅𝑽 = 𝑪𝟏 ∙ + 𝑪𝟐 ∙ + ⋯ + 𝑪𝒏 ∙ 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝒅𝒕 𝑪𝒑 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 + ⋯ + 𝑪𝒏 2.2.1.3.1 Momento elétrico na associação em paralelo de capacitância Numa associação em paralelo de duas capacitâncias carregadas com cargas elétricas diferentes, a carga elétrica total depois da associação deve permanecer igual a de antes da associação, isto é: t=0 + + + t>0 V1 C1 V2 Vp C2 - - 𝑸 = 𝑪𝟏 ∙ 𝑽𝟏 + 𝑪𝟐 ∙ 𝑽𝟐 [𝑭 ∙ 𝑽] 𝑽𝒑 = 𝑪𝟏 ∙ 𝑽𝟏 + 𝑪𝟐 ∙ 𝑽𝟐 𝑪𝑷 𝑽𝒑 = 𝑪𝟏 ∙ 𝑽 [𝑽] 𝑪𝑷 𝟏 𝒕 < 𝟎 ⇨ Cp ⇨ 𝒕 > 𝟎 𝑸 = 𝑪𝒑 ∙ 𝑽𝑷 [𝑭 ∙ 𝑽] Considerando 𝐶2 totalmente descarregada, isto é, 𝑉2 = 0, temos: 2.2.2 Associação de fontes ideais de corrente em paralelo Podemos substituir uma associação de duas ou mais fontes ideais de corrente em paralelo, por uma só fonte de corrente, cujo valor é igual à soma algébrica dos valores das fontes associadas. I I1 I2 Figura 2.22 - In I = I1 - I2 + ...+ In I Associação de fontes ideais de corrente em paralelo Leis de Kirchhoff 2.2.3 16 Associação de fontes ideais de tensão em paralelo Só é válido associar-se fontes ideais de tensão em paralelo quando a polaridade e os valores das fontes forem iguais. + + V + V - V - Figura 2.23 - - Associação de fontes ideais de tensão em paralelo Não é válido associar-se fontes ideais de tensão em paralelo: ➢ De mesma polaridade e diferentes valores É impossível determinar o valor nos terminais da associação. + + V2 V1 - Figura 2.24 - - Associação de fontes ideais de tensão de mesma polaridade e diferentes valores em paralelo ➢ De mesmo valor e diferentes polaridades É impossível determinar o valor e a polaridade nos terminais da associação. + V V - Figura 2.25 - 2.2.4 - + Associação de fontes ideais de tensão de mesmo valor e diferentes polaridades em paralelo Associação de fontes ideais de corrente e de tensão em paralelo Uma vez que a tensão nos terminais de uma fonte ideal de corrente depende do circuito externo, a associação em paralelo de uma fonte de tensão ideal com uma fonte de corrente ideal resulta em uma fonte ideal de tensão de valor igual ao da fonte de tensão associada. + V I - Figura 2.26 - + V Associação de fontes ideais de corrente e de tensão em paralelo Leis de Kirchhoff 2.2.1 17 Associação de fontes ideais de tensão e elemento passivo em paralelo A associação de uma fonte ideal de tensão em paralelo com um elemento passivo de circuito resulta em uma fonte ideal de tensão de valor igual ao da fonte ideal de tensão associada. + + Z V V Figura 2.27 - 2.2.2 - Associação de fones ideais de tensão com elemento passivo em parralelo Divisores de corrente A divisão de corrente acontece quando uma fonte de corrente alimenta dois ou mais componentes em paralelo. 2.2.2.1 Divisores de corrente resistivos I + I1 R1 V I2 R2 Figura 2.28 - Divisor de corrente resistivo Para um divisor de tensão resistivo puro, podemos escrever: 𝑽 = 𝑹𝒑 ∙ 𝑰 = 𝑹𝟏 ∙ 𝑹𝟐 ∙𝑰 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟏 ∙ 𝑹𝟐 ∙𝑰 𝑽 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝑰𝟐 = = 𝑹𝟐 𝑹𝟐 𝑰𝟐 = 𝑹𝟏 ∙𝑰 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 2.2.2.2 Divisores de corrente indutivos I + V I1 L1 I2 L2 Figura 2.29 - Divisor de corrente indutivo Para um divisor de tensão indutivo puro, podemos escrever: Leis de Kirchhoff 𝑽 = 𝑳𝒑 ∙ 𝒅𝑰 𝑳𝟏 ∙ 𝑳𝟐 𝒅𝑰 = ∙ 𝒅𝒕 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 𝒅𝒕 ∫ 𝑽 ∙ 𝒅𝒕 = 𝑰𝟐 = 𝑰𝟐 = 18 𝑳𝟏 ∙ 𝑳𝟐 ∙𝑰 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 𝟏 𝟏 𝑳𝟏 ∙ 𝑳𝟐 ∙ ∫ 𝑽 ∙ 𝒅𝒕 = ∙ ∙𝑰 𝑳𝟐 𝑳𝟐 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 𝑳𝟏 ∙𝑰 𝑳𝟏 + 𝑳𝟐 2.2.2.3 Divisores de corrente capacitivos I + I1 V I2 C1 C2 Figura 2.30 - Divisor de corrente capacitivo Para um divisor de corrente capacitivo puro, podemos escrever: 𝑽= 𝟏 𝟏 ∙ ∫ 𝑰 ∙ 𝒅𝒕 = ∙ ∫ 𝑰 ∙ 𝒅𝒕 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝑪𝒑 𝟏 𝒅𝑽 = ∙𝑰 𝒅𝒕 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝑰𝟐 = 𝑪𝟐 ∙ 𝑰𝟐 = 2.3 𝒅𝑽 𝟏 = 𝑪𝟐 ∙ ∙𝑰 𝒅𝒕 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝑪𝟐 ∙𝑰 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 Exercícios 2. Numa oficina mecânica, um circuito, composto por 5 lâmpadas, de resistência igual a 200 Ω, ligadas em paralelo com um televisor, de resistência igual a 50 Ω, está conectado à rede elétrica de 120 𝑉 por um cabo elétrico mal dimensionado, de resistência igual a 10 Ω, conforme ilustrado na figura. Cabo 10 W S1 S2 S3 S4 S5 + Lâmpada 200 W 120 V - Lâmpada 200 W Lâmpada 200 W Lâmpada 200 W Lâmpada 200 W Televisor 50 W Leis de Kirchhoff 19 Sabendo que o televisor funciona apenas com tensão entre 90 𝑉 e 130 𝑉, determine o número máximo de lâmpadas que podem ser ligadas sem que o televisor pare de funcionar. ➢ Determinar o valor da resistência que associada a resistência do televisor produz uma tensão de 90 𝑉. 𝒓 ∙ 𝟏𝟐𝟎 = 𝟗𝟎 𝟏𝟎 + 𝒓 𝑹 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟑𝟎 𝟓𝟎 + 𝑹 ⇨ 𝒓 = 𝟑𝟎 ⇨ 𝑹 = 𝟕𝟓 ⇨ 𝒏 ≤ 𝟐, 𝟔𝟔 ➢ Determinar o número máximo de lâmpadas que podem ser ligadas 𝟕𝟓 ≤ 𝟐𝟎𝟎 𝒏 Portanto, somente duas lâmpadas podem ser ligadas. Leis de Kirchhoff 20 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 3 21 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 3.1 Método das correntes de malha 3.1.1 Equações de malha Aplicar o método ao circuito linear e planar, que contém somente uma fonte de tensão como elemento ativo. R1 + R2 V R3 Figura 3.1 - Circuito contendo fonte de tensão como elemento ativo 1º. Admitir correntes nas malhas circulando no sentido horário. R1 + V R2 i1 R3 i2 2º. Escrever as equações de cada malha (∑ 𝒗 = 𝟎). −𝑽 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟏 + 𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 { 𝑹𝟑 ∙ 𝒊 𝟐 + 𝑹𝟐 ∙ 𝒊 𝟐 − 𝑹𝟐 ∙ 𝒊 𝟏 = 𝟎 ⇨ ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 𝟏 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 𝟐 3º. Resolver o sistema de equações para determinar as correntes de malha. (𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 ) ∙ 𝒊𝟏 −𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟏 { 𝑽 [ 𝒊𝟏 = 𝟎 −𝑹𝟐 +(𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 ) ∙ 𝒊𝟐 =𝑽 =𝟎 −𝑹𝟐 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 [ −𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟐 𝑹 𝟏 + 𝑹𝟐 ∆𝟏 = ∆ ] −𝑹𝟐 𝑹𝟐 + 𝑹 𝟑 ] [ 𝒊𝟐 = −𝑹𝟐 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 [ −𝑹𝟐 𝑽 𝟎 ] = −𝑹𝟐 𝑹𝟐 + 𝑹𝟑 ] ∆𝟐 ∆ Uma vez que as correntes de malha são conhecidas, a Lei de Ohm pode ser usada para determinar as tensões em qualquer ponto do circuito. Métodos de análise de Circuitos Elétricos 3.1.2 22 Equações de laço Aplicar o método ao circuito linear e planar, que contém somente uma fonte de tensão como elemento ativo. R1 + V R3 R2 i1 - Figura 3.2 - Circuito contendo fonte de tensão como elemento ativo 1º. Admitir corrente na malha e corrente de laço no sentido horário como mostrado. R1 + V R2 i1 R3 - i2 2º. Escrever a equação de laço e a equação de malha (∑ 𝒗 = 𝟎). −𝑽 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟏 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟐 + 𝑹𝟑 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 { −𝑽 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟏 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟐 + 𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒍𝒂ç𝒐 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒂 𝒎𝒂𝒍𝒉𝒂 3º. Resolver o sistema de equações para determinar as correntes de malha. 𝑹𝟏 ∙ 𝒊 𝟏 { (𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 ) ∙ 𝒊𝟏 𝑽 [ 𝒊𝟏 = 3.1.3 [ 𝑽 𝑹𝟏 +(𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 ) ∙ 𝒊𝟐 +𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟐 =𝑽 =𝑽 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑹𝟏 ∆𝟏 = ∆ ] 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 𝑹𝟏 ] [ 𝒊𝟐 = [ 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 Equações de vínculo ou restrição 𝑽 𝑽 ] = 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 𝑹𝟏 ∆𝟐 ∆ ] Aplicar o método ao circuito linear e planar, contendo uma fonte de corrente e uma fonte de tensão como elementos ativos. Métodos de análise de Circuitos Elétricos R1 + V R3 I - Figura 3.3 - Circuito contendo fonte de corrente e fonte de tensão como elementos ativos 1º. Admitir correntes nas malhas no sentido horário; R1 + V i1 I i2 R3 2º. Admitir uma queda de tensão 𝒗 sobre a fonte de corrente. R1 + + i1 v V - I i2 R3 + 3º. Escrever as equações de cada malha (∑ 𝒗 = 𝟎). −𝑽 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟏 + 𝒗 = 𝟎 { −𝒗 + 𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝑹𝟏 ∙ 𝒊 𝟏 + 𝑹𝟐 ∙ 𝒊 𝟐 = 𝑽 4º. Escrever as equações de vínculo ou restrição. −𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 = 𝑰 5º. Resolver as equações de malha e de vínculo ou restrição para encontrar as correntes de malha. 𝑹𝟏 ∙ 𝒊 𝟏 { −𝒊𝟏 +𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟐 +𝒊𝟐 =𝑽 =𝑰 𝑽 ⇨ 𝒊𝟏 = [ [ 𝑰 𝑹𝟏 −𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 ] ] ∆𝟏 = ∆ Sendo a malha topológica um tipo particular de laço topológico, 𝑹𝟏 𝒊𝟐 = [ −𝟏 𝑹𝟏 −𝟏 [ 𝑽 𝑰 𝑹𝟐 𝟏 ] ] = ∆𝟐 ∆ 23 Métodos de análise de Circuitos Elétricos R1 + + i1 v V - R3 I + i2 poderíamos ter escrito as seguintes equações de laço para o circuito acima: −𝑽 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟏 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟐 + 𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 { 𝒊𝟏 = −𝑰 ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒍𝒂ç𝒐 ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒐𝒖 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çã𝒐 Substituindo o valor de 𝒊𝟏 na equação do laço, temos: −𝑽 − 𝑹𝟏 ∙ 𝑰 + 𝑹𝟏 ∙ 𝒊𝟐 + 𝑹𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 (𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 ) ∙ 𝒊𝟐 = 𝑽 + 𝑹𝟏 ∙ 𝑰 de onde podemos determinar a expressão do valor de 𝒊𝟐 : 𝒊𝟐 = 3.1.4 1. 𝑽 + 𝑹𝟏 ∙ 𝑰 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 Exercícios Determine as Correntes de Malha do circuito. 2W 5W 2A 3W ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 2W 2A i1 5W i2 3W ➢ Escrever as equações de malha e resolver as equações. 𝒊𝟏 = 𝟐 𝑨 2. (𝟑 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ 𝟖 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 Determine a tensão 𝑉0 no circuito. ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟓 𝑨 24 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 1W 1W + 1W 3V + 2W 1W V0 - ➢ Associar as resistências. 2W 1W + + 2W 3V 1W V0 - ➢ Definir as malhas no circuito. 2W 1W + + i1 2 W 3V 1W i0 - - ➢ Escrever equações. 𝑽𝟎 = 𝒊 𝟎 −𝟑 + (𝟐 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟎 = 𝟎 (𝟐 + 𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟎 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑉0 . 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 { 3. −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐 ∙ 𝑽𝟎 𝟒 ∙ 𝑽𝟎 =𝟑 =𝟎 𝟒 ∙ 𝒊 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝑽𝟎 = 𝟑 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒 ∙ 𝑽𝟎 = 𝟎 𝟒 ⇨ Determine o valor de 𝑖0 no circuito. V0 𝑽𝟎 = −𝟐 [ 𝟒 −𝟐 [ 𝟑 𝟎 ] −𝟐 𝟒 ] = 𝟎, 𝟓 𝑽 25 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 6W 3W 0,5 W 1W 1W 0,5 W 1W i0 + 1W 12 V 3W 3W - ➢ Associar as resistências para reduzir o circuito. 3W 1W 1W 1W i0 + 12 V 1W 1W 1 W i1 1W ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 3W 1W i0 i0 + 1 W i2 12 V 1W ➢ Escrever as equações de malha. −𝟏𝟐 + (𝟑 + 𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟎 − 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟎 (𝟏 + 𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟏 − 𝒊𝟎 − 𝒊𝟐 = 𝟎 (𝟏 + 𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟐 − 𝒊𝟎 − 𝒊𝟏 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑖0 . ⇨ ⇨ ⇨ 𝟓 ∙ 𝒊𝟎 − 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟏𝟐 −𝒊𝟎 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟎 −𝒊𝟎 − 𝒊𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 3W 26 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟓 ∙ 𝒊𝟎 −𝒊𝟎 { 4. −𝒊𝟎 −𝒊𝟏 −𝒊𝟐 −𝒊𝟏 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 −𝒊𝟐 = 𝟏𝟐 =𝟎 =𝟎 ⇨ 𝒊𝟎 = [ [ 𝟏𝟐 −𝟏 𝟎 −𝟏 𝟓 −𝟏 −𝟏 −𝟏 𝟎 −𝟏 27 −𝟏 𝟑 −𝟏 𝟑 −𝟏 𝟑 −𝟏 𝟑 ] =𝟑 𝑨 ] O circuito mostrado na figura é um modelo em corrente contínua de um circuito de distribuição residencial bifásico. Utilize o Método das Correntes de Malha para determinar as correntes que circulam nas cargas (resistências de 6 Ω, 12 Ω e 24 Ω). 2W + 6W 125,9 V - 2W 24 W + 12 W 125,9 V - 2W ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 2W + 125,9 V i1 - 6W 2W i3 24 W + i2 125,9 V - 12 W 2W ➢ Escrever as equações de malha. −𝟏𝟐𝟓, 𝟗 + (𝟐 + 𝟔 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟏𝟐𝟓, 𝟗 + (𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 (𝟐𝟒 + 𝟏𝟐 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟑 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações. ⇨ ⇨ ⇨ 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟏𝟔 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 −𝟔 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟒𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝟔 ∙ 𝒊𝟏 −𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 { 𝒊𝟏 = [ 𝟏𝟔 ∙ 𝒊𝟐 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 −𝟐 𝟎 −𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 [ 𝟏𝟔 𝟏𝟎 −𝟐 −𝟔 −𝟏𝟐 −𝟐 −𝟔 ∙ 𝒊𝟑 𝟏𝟔 −𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟑 𝟒𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 = 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 =𝟎 −𝟔 −𝟏𝟐 𝟒𝟐 −𝟔 −𝟏𝟐 𝟒𝟐 ] = 𝟐𝟎, 𝟐𝟕 𝑨 𝒊𝟐 = ] [ 𝟏𝟎 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 −𝟔 𝟎 −𝟐 [ 𝑰𝑹𝟔 = 𝒊𝟏 − 𝒊𝟑 = 𝟐𝟎, 𝟐𝟕 − 𝟕, 𝟒𝟕 = 𝟏𝟐, 𝟖𝟎 𝑨 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 𝟏𝟎 −𝟐 −𝟔 −𝟏𝟐 −𝟐 −𝟔 𝟏𝟔 −𝟏𝟐 𝟒𝟐 −𝟔 −𝟏𝟐 𝟒𝟐 ] = 𝟏𝟔 𝑨 𝒊𝟑 = ] [ 𝟏𝟎 −𝟐 −𝟔 −𝟏𝟐 −𝟐 [ 𝟏𝟔 𝟏𝟎 −𝟐 −𝟔 −𝟏𝟐 −𝟐 𝟏𝟔 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 𝟏𝟐𝟓, 𝟗 𝟎 −𝟔 −𝟏𝟐 𝟒𝟐 ] = 𝟕, 𝟒𝟕 𝑨 ] 𝑰𝑹𝟏𝟐 = 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 = 𝟏𝟔, 𝟎𝟎 − 𝟕, 𝟒𝟕 = 𝟖, 𝟓𝟑 𝑨 5. 28 𝑰𝑹𝟐𝟒 = 𝒊𝟑 = 𝟕, 𝟒𝟕 𝑨 Utilize o Método das Correntes de Malha para determinar a tensão 𝑣0 no circuito da figura. 6W 6A - 6W 12 V + + 6W 6 W v0 - ➢ Definir as malhas no circuito. 6W i2 6A - 6W i1 12 V + + 6W i0 6 W v0 - ➢ Escrever as equações de malha. Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟔 𝒗𝟎 = 𝟔 ∙ 𝒊𝟎 ⇨ 𝒊𝟐 = 𝒊𝟏 + 𝟔 ⇨ 𝒊𝟎 = 𝒗𝟎 𝟔 𝟏𝟐 + 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 + (𝟔 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟐 − (𝟔 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟎 = 𝟎 ⇨ −𝟔 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟔 + 𝟔 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟎 = 𝟎 6. { −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 −𝒗𝟎 𝒗𝟎 = −𝟒𝟐 = 𝟏𝟐 ⇨ 𝟗 ∙ 𝒊𝟏 − 𝒗𝟎 = −𝟒𝟐 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒗𝟎 . 𝟗 ∙ 𝒊𝟏 29 −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 + 𝒗𝟎 = 𝟏𝟐 𝒗𝟎 = −𝟏𝟐 𝑽 Aplique o Método das Correntes de Malha para determinar a potência dissipada pelo resistor de 20 𝛺 do circuito. - 4A 60 V 10 W + 20 W P20 ? 80 W 30 W ➢ Definir as correntes de malha do circuito. - 4A 60 V 10 W + 20 Wi2 i1 80 Wi3 30 W ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟏 = 𝟒 𝑨 −𝟔𝟎 + (𝟖𝟎 + 𝟐𝟎) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟖𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ (𝟏𝟎 + 𝟑𝟎 + 𝟖𝟎) ∙ 𝒊𝟑 − 𝟖𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒊𝟐 . 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 { −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝟒 ∙ 𝒊𝟑 𝟑 ∙ 𝒊𝟑 =𝟕 =𝟎 ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟕 [ [ 𝟕 𝟎 𝟓 −𝟐 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟒 𝟑 −𝟒 𝟑 ] ] =𝟑 𝑨 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 30 ➢ Determinar a potência dissipada na resistência de 20 𝛺. 7. 𝑷𝟐𝟎 = (𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 )𝟐 ∙ 𝟐𝟎 ⇨ 𝑷𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 𝑾 Determine o valor de 𝑉 e de 𝐼 na figura utilizando o Método das Correntes de Malha, sabendo que 𝑖0 = 2 𝐴. 10 W i0 10 W 10 W 5W 30 W + + 100 V I - 4W V - 15 W 16 W ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 10 W i0 10 W 10 W i0 5W 30 W + + i1 100 V - I 15 W V - i2 4W 16 W ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟎 = 𝟐 𝑨 𝑰 = 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 (𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟑𝟎 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟎 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 −𝟏𝟎𝟎 + (𝟓 + 𝟏𝟓) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟎 + 𝑽 = 𝟎 (𝟑𝟎 + 𝟒 + 𝟏𝟔) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟎 − 𝑽 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações. −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 −𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝟎∙𝑽 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝑽 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝑽 = −𝟏𝟑𝟎 = 𝟏𝟏𝟎 = 𝟔𝟎 ⇨ −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = −𝟏𝟑𝟎 ⇨ 𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟐 − 𝑽 = 𝟔𝟎 ⇨ 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + 𝑽 = 𝟏𝟏𝟎 Métodos de análise de Circuitos Elétricos −𝟏𝟑𝟎 −𝟑𝟎 𝒊𝟏 = [ 𝟏𝟏𝟎 𝟎 𝟔𝟎 𝟓𝟎 −𝟓 −𝟑𝟎 𝟎 𝟓𝟎 [ 𝟐𝟎 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 𝟎 𝟏 −𝟏 ] = −𝟒 𝑨 𝒊𝟐 = [ ] −𝟏𝟑𝟎 𝟎 𝟎 𝟔𝟎 −𝟏 𝟐𝟎 𝟏𝟏𝟎 −𝟓 −𝟑𝟎 𝟎 𝟓𝟎 [ ➢ Determinar a corrente 𝑰. 8. −𝟓 𝟐𝟎 𝟏 𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 ] =𝟓 𝑨 𝑽= ] −𝟓 −𝟑𝟎 −𝟏𝟑𝟎 𝟎 𝟓𝟎 𝟔𝟎 −𝟓 −𝟑𝟎 𝟎 𝟓𝟎 [ 𝟐𝟎 [ 𝟐𝟎 𝑰 = 𝟓 − (−𝟒) = 𝟗 𝑨 𝟎 𝟎 𝟏𝟏𝟎 𝟎 𝟏 −𝟏 ] 31 = 𝟏𝟗𝟎 𝑽 ] Utilize o Método das Correntes de Malha para determinar a potência dissipada na resistência de 1 Ω do circuito. 2W 2A 2W + 2W 10 V - 6V 1W + P1 ? ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 2W 2A i1 2W - + 2 W i3 i2 10 V - 1W 6V + ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟐 ⇨ −𝒊𝟏 + 𝒊𝟐 = 𝟐 (𝟐 + 𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟑 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟔 = 𝟎 ⇨ −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟓 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟔 (𝟐 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − (𝟐 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟑 − 𝟏𝟎 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒊𝟑 . ⇨ 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟏𝟎 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟒 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟏 ∙ 𝒊𝟏 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝟒 ∙ 𝒊𝟑 𝟏 ∙ 𝒊𝟐 𝟎 ∙ 𝒊𝟑 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 𝟓 ∙ 𝒊𝟑 −𝟐 = 𝟏𝟎 ⇨ =𝟔 =𝟐 𝒊𝟑 = 𝟒 −𝟐 ➢ Determinar a potência dissipada na resistência de 1 𝛺. 9. −𝟏 [ −𝟏 [ 𝟐 𝟏𝟎 𝟏 𝟐 −𝟐 𝟔 ] 𝟐 −𝟒 𝟏 𝟎 −𝟐 𝟓 =𝟔 𝑨 ] 𝑷𝟏 = 𝒊𝟑 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟑𝟔 𝑾 Determine a corrente em cada uma das malhas do circuito da figura. 1W 1W + + 2W 6V 2A - 12 V - 4W 2W 1W + 4V 4A - ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 1W 1W + + i1 6V 2W i 3 2A - + 4V - 4W i2 2W 12 V 1W i 4 4A - ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟒 = −𝟒 𝑨 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟐 −𝟒 − 𝟔 + (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟏 + (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 − 𝟏 ∙ 𝒊𝟒 = 𝟎 ⇨ ⇨ 𝒊𝟐 = 𝒊𝟏 − 𝟐 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 32 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟐 + (𝟏 + 𝟐 + 𝟒) ∙ 𝒊𝟑 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟒 = 𝟎 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações. 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 𝟎 𝒊𝟏 = −𝟐𝟖 [ 𝟔 −𝟐 [ −𝟐 ∙ 𝒊𝟑 𝟕 ∙ 𝒊𝟑 −𝟐 𝟕 −𝟐 𝟕 ] −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟕 ∙ 𝒊𝟑 = −𝟐𝟖 =𝟎 = −𝟐𝟖 𝟔 = −𝟏, 𝟒𝟕 𝑨 ⇨ 𝒊𝟐 = −𝟑, 𝟒𝟕 𝑨 ⇨ 𝒊𝟑 = −𝟐 [ 𝟔 −𝟐 [ ] 𝟎 𝟐𝟖 ] −𝟐 𝟕 = 𝟒, 𝟒𝟐 𝑨 ] 10. Utilize o Método das Correntes de Malha para determinar a corrente 𝒊𝟎 no circuito da figura. 1W 2A 2A 2W 2W i0 1W 4A 1W ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 1W i3 2A 2A i1 2W 2W i0 4A i2 1W i 4 1W ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟐 = 𝟒 𝑨 𝒊𝟑 − 𝒊𝟏 = 𝟐 ⇨ (𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟏 − (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 + (𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟒 = 𝟎 ⇨ 𝒊𝟒 − 𝒊𝟑 = 𝟐 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒊𝟒 . ⇨ −𝒊𝟏 + 𝒊𝟑 = 𝟐 −𝒊𝟑 + 𝒊𝟒 = 𝟐 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟒 = 𝟏𝟐 33 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 −𝟏 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 𝟏 ∙ 𝒊𝟑 −𝟏 ∙ 𝒊𝟑 𝟐 ∙ 𝒊𝟒 𝟎 ∙ 𝒊𝟒 𝟏 ∙ 𝒊𝟒 𝟑 𝟐 𝟏𝟐 𝟎 −𝟏 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟎 −𝟏 𝟏 −𝟏 = 𝟏𝟐 ⇨ =𝟐 =𝟐 𝒊𝟒 = [ −𝟏 [ ➢ Determinar 𝒊𝟎 . 𝟏 𝟐 𝟏 𝟎 ] =𝟒 𝑨 ] 𝒊𝟎 = 𝒊𝟐 − 𝒊𝟒 = 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 𝑨 11. Determine as correntes de malha do circuito. 20 W 10 W 10 W 10 A 10 V 20 W + + 15 W 50 V 2A - ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 20 W 10 W - i1 10 W i 10 A 10 V 3 20 W + + 15 W i2 50iV 4 2A ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟒 = −𝟐 𝑨 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟏𝟎 𝟓𝟎 + (𝟐𝟎 + 𝟏𝟎) ∙ 𝒊𝟏 + (𝟐𝟎 + 𝟏𝟓) ∙ 𝒊𝟐 − (𝟏𝟎 + 𝟐𝟎) ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟐𝟎 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎) ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ ⇨ ⇨ 𝒊𝟐 = 𝒊𝟏 + 𝟏𝟎 𝟔𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = −𝟒𝟎𝟎 −𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟐𝟏𝟎 34 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 35 ➢ Resolver o sistema de equações. 𝟔𝟓 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟑 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟑 −𝟒𝟎𝟎 −𝟑𝟎 𝒊𝟏 = [ 𝟐𝟏𝟎 𝟔𝟓 −𝟑𝟎 [ 𝟒𝟎 −𝟑𝟎 𝟒𝟎 ] = −𝟒𝟎𝟎 = 𝟐𝟏𝟎 𝟔𝟓 = −𝟓, 𝟕𝟏 𝑨 ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟒, 𝟐𝟗 𝑨 ⇨ 𝒊𝟑 = −𝟑𝟎 [ 𝟔𝟓 −𝟑𝟎 [ ] −𝟒𝟎𝟎 𝟐𝟏𝟎 −𝟑𝟎 𝟒𝟎 ] = 𝟎, 𝟗𝟕𝟏 𝑨 ] 12. Determine a tensão 𝑉0 do circuito da figura, utilizando o Método das Correntes de Malha. 2W 2 Va 4W - 24 V + + V a + - + 4W 12 A - V0 - ➢ Definir as correntes de malha do circuito. 2W 2 Va 4W - 24 V + V a i1 + + - 12 A + i0 4 W - V0 - ➢ Escrever as equações de malha e resolver o sistema de equações. 𝒊𝟎 − 𝒊𝟏 = 𝟏𝟐 𝑽𝒂 = 𝟒 ∙ 𝒊 𝟏 ⇨ 𝒊𝟏 = 𝒊𝟎 − 𝟏𝟐 −𝟐𝟒 + (𝟐 + 𝟒) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝑽𝒂 + 𝟒 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝑽𝟎 = 𝟒 ∙ 𝒊 𝟎 ⇨ 𝑽𝟎 = 𝟎 𝑽 ⇨ −𝟐𝟒 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝑨 13. A fonte variável de tensão 𝑐𝑐 (𝑉𝑐𝑐 ) no circuito da figura é ajustada de modo que 𝑖𝑎 seja zero. Determine o valor de 𝑉𝑐𝑐 . Métodos de análise de Circuitos Elétricos 36 30 W ia 5W 15 W 10 W + + + 230 V - VCC - 115 V 20 W - 25 W ➢ Definir as malhas do circuito. 30 W ia ia 5W 15 W 10 W + i1 230 V - + + VCC i2 - 115 V 20 W - 25 W ➢ Escrever as equações de malha. (𝟑𝟎 + 𝟏𝟓 + 𝟓) ∙ 𝒊𝒂 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 −𝟐𝟑𝟎 + 𝟏𝟏𝟓 + (𝟓 + 𝟏𝟎 + 𝟐𝟎) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝒂 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 −𝟏𝟏𝟓 + 𝑽𝒄𝒄 + (𝟏𝟓 + 𝟐𝟓 + 𝟏𝟎) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝒂 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ 𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝒂 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ −𝟓 ∙ 𝒊𝒂 + 𝟑𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟏𝟏𝟓 ⇨ −𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝒂 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟏𝟏𝟓 − 𝑽𝒄𝒄 ➢ Substituir 𝑖𝑎 = 0 nas equações e resolver o sistema de equações. −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝟑𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟏𝟏𝟓 −𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟏𝟏𝟓 − 𝑽𝒄𝒄 ⇨ ⇨ ⇨ 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 = −𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟐 𝒊𝟐 = −𝟏 𝑨 𝑽𝒄𝒄 = 𝟏𝟗𝟓 𝑽 14. Determine as correntes de malha do circuito da figura. ⇨ ⇨ 𝒊𝟏 = −𝟑 ∙ 𝒊𝟐 𝒊𝟏 = 𝟑 𝑨 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 37 10 W ix 15 W 5W + + 5W 40 V - - 5W 15 ix 2W ➢ Definir as correntes de malha 10 W ix ix 15 W 5W + i1 5 W 40 V - + i2 5W - 15 ix 2W ➢ Escrever as equações de malha. (𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 + 𝟓) ∙ 𝒊𝒙 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ −𝟒𝟎 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝒙 + (𝟏𝟓 + 𝟓 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝒙 − 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ −𝟓 ∙ 𝒊𝒙 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + (𝟓 + 𝟓 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝒙 = 𝟎 −𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝒙 + 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟒𝟎 ⇨ 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝒙 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para encontrar as correntes de malha. 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝒙 −𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟏 −𝟓 ∙ 𝒊𝟐 =𝟎 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝒙 −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 =𝟎 −𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝒙 { 𝟎 −𝟏𝟓 −𝟓 𝟎 −𝟓 𝟏𝟐 𝟒𝟎 [ 𝒊𝒙 = 𝟐𝟓 −𝟓 −𝟓 ∙ 𝒊𝟐 ] −𝟏𝟓 −𝟓 𝟏𝟎 −𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 = 𝟒𝟎 𝟑𝟎 𝟑𝟎 −𝟏𝟓 [ 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟏 −𝟓 = 𝟏, 𝟏𝟒𝟑 𝑨 ] [ 𝒊𝟏 = −𝟏𝟓 𝟏𝟎 𝟒𝟎 𝟎 −𝟓 −𝟓 𝟏𝟐 −𝟏𝟓 −𝟓 𝟏𝟎 −𝟓 𝟏𝟐 𝟐𝟓 −𝟓 𝟑𝟎 −𝟏𝟓 𝟏𝟎 −𝟓 𝟑𝟎 −𝟏𝟓 −𝟓 𝟏𝟎 −𝟓 𝟏𝟐 −𝟏𝟓 ] 𝟑𝟎 −𝟏𝟓 [ 𝟎 = 𝟐, 𝟐𝟖𝟔 𝑨 ] 𝒊𝟐 = [ −𝟏𝟓 [ 𝟐𝟓 𝟐𝟓 𝟎 𝟒𝟎 𝟎 ] −𝟓 ] =𝟎 𝑨 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 38 15. No circuito da figura, a resistência variável 𝑹 foi ajustada de modo que a corrente 𝒊𝟎 seja igual a 10 𝑚𝐴. Determine o valor de 𝑹. RW 1,5 kW + 3 kW i0 500 W 5 kW 80 V - ➢ Definir as correntes de malha no circuito. RW i1 1,5 kW + 3 kW i0 80 V i2 5 kWi 500 W 3 - ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 = 𝒊𝟎 = 𝟎, 𝟎𝟏 𝑨 (𝟑 𝒌 + 𝟏, 𝟓 𝒌 + 𝑹) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏, 𝟓 𝒌 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟑 𝒌 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟖𝟎 − 𝟏, 𝟓 𝒌 ∙ 𝒊𝟏 + (𝟏, 𝟓 𝒌 + 𝟓 𝒌) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟓 𝒌 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟑 𝒌 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 𝒌 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟓 𝒌 + 𝟑 𝒌 + 𝟎, 𝟓 𝒌) ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para determinar as correntes de malha. 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟏. 𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟑. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟏 𝒊𝟐 𝟔. 𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝟓. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝒊𝟑 −𝟓. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟑 𝟖. 𝟓𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎, 𝟎𝟏 = 𝟖𝟎 =𝟎 𝒊𝟏 = 𝟑𝟎 𝒎𝑨 ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟓𝟎 𝒎𝑨 { 𝒊𝟑 = 𝟒𝟎 𝒎𝑨 ➢ Substituir os valores das correntes na equação para determinar 𝑹. (𝟒, 𝟓 𝒌 + 𝑹) ∙ 𝟑𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 − 𝟏, 𝟓 𝒌 ∙ 𝟓𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 − 𝟑 𝒌 ∙ 𝟒𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎 𝟑𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 ∙ 𝑹 = 𝟔𝟎 ⇨ 𝑹 = 𝟐 𝒌𝜴 16. Utilize o Método de Análise de Malhas para determinar a tensão 𝒗𝟎 no circuito da figura. Métodos de análise de Circuitos Elétricos 1W 2W - 1W vx + 1W 1W v0 - 2 vx 1W 1A + 2W + 2W - 4A ➢ Definir as correntes de malha. 1W 2W - 1W + - 1W vx i0 1 W v0 - 2 vx i2 1 W + i11 A + 2W i3 2 W i4 4A ➢ Escrever as equações da malha e das super malhas. (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟏 + (𝟏 + 𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 − 𝒊𝟒 − 𝒊𝟎 = 𝟎 −𝟐 ∙ 𝒗𝒙 + (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟑 − 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟒 = 𝟎 −(𝟏 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 + (𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟒 + (𝟏 + 𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟎 = 𝟎 ➢ Escrever as equações de vínculo ou restrição. 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟏 ⇨ 𝒊𝟏 = 𝒊𝟐 − 𝟏 𝒗𝟎 = 𝒊𝟎 ⇨ 𝒊𝟒 = 𝒗𝟎 − 𝟒 𝒊𝟎 − 𝒊𝟒 = 𝟒 ⇨ 𝒗𝒙 = 𝒊𝟎 − 𝒊𝟐 ⇨ 𝒊𝟒 = 𝒊𝟎 − 𝟒 𝒗𝒙 = 𝒗𝟎 − 𝒊𝟐 ➢ Substituir os valores nas equações de malha. 𝟔 ∙ 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 − 𝟐 ∙ 𝒗𝟎 = −𝟏 𝒊𝟐 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟑 − 𝟒 ∙ 𝒗𝟎 = −𝟗 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 + 𝟕 ∙ 𝒗𝟎 = 𝟏𝟐 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒗𝟎 . ⇨ ⇨ ⇨ 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 − 𝒊𝟒 − 𝒊𝟎 = 𝟎 −𝒊𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟑 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟒 − 𝟐 ∙ 𝒗𝒙 = 𝟎 39 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟔 ∙ 𝒊𝟐 𝒊𝟐 { −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝒊𝟑 −𝟐 ∙ 𝒗𝟎 = −𝟏 −𝟐 ∙ 𝒊𝟑 𝟕 ∙ 𝒗𝟎 = 𝟏𝟐 𝟑 ∙ 𝒊𝟑 −𝟒 ∙ 𝒗𝟎 ⇨ = −𝟗 40 𝒗𝟎 = 𝟏, 𝟒𝟐𝟎 𝑽 17. Utilize o Método das Tensões de Malha para determinar a função de transferência, isto é, a relação entre a tensão de saída 𝑣0 e a tensão de entrada 𝑣𝑖 , do circuito da figura. 5W 40 W ix 10 W + + vi 6 v0 + 1,5 ix 5 W - v0 - - Utilizando a função de transferência encontrada, determine o valor da tensão de saída 𝑣0 , quando a tensão de entrada 𝑣𝑖 = 20 𝑉. ➢ Reescrever o circuito e nominar as correntes de malha. 10 W 5W ix 40 W i1 - i0 5 W 1,5 ix 6 v0 + i2 - v0 - vi + + ➢ Escrever as equações das correntes de malha 𝒊𝒙 = 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 𝟏, 𝟓 ∙ 𝒊𝒙 = 𝒊𝟎 − 𝒊𝟐 −𝒗𝒊 + (𝟏𝟎 + 𝟒𝟎) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟔 ∙ 𝒗𝟎 = 𝟎 −𝟔 ∙ 𝒗𝟎 + (𝟒𝟎 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟐 + 𝒗𝟎 − 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 𝟓 ∙ 𝒊𝟎 = 𝒗𝟎 ⇨ ⇨ ⇨ ⇨ 𝒊𝟎 = 𝟏, 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟎, 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟔 ∙ 𝒗𝟎 = 𝒗𝒊 −𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟓 ∙ 𝒗𝟎 𝟕, 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐, 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝒗𝟎 ➢ Determinar as correntes 𝒊𝟏 e 𝒊𝟐 em função de 𝒗𝟎 resolvendo o sistema de equações: 𝟕, 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐, 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 𝟒𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝒗𝟎 = 𝟓 ∙ 𝒗𝟎 ⇨ 𝒊𝟏 = 𝟓𝟕, 𝟓 ∙𝒗 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 𝟎 ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟕𝟕, 𝟓 ∙𝒗 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 𝟎 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 41 ➢ Determinar a relação entre 𝒗𝟎 e 𝒗𝒊 , substituindo os valores das correntes 𝒊𝟏 e 𝒊𝟐 em função de 𝒗𝟎 na equação: 𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟔 ∙ 𝒗𝟎 = 𝒗𝒊 ⇨ ➢ Determinar 𝒗𝟎 para 𝒗𝒊 = 𝟐𝟎 𝑽. 𝒗𝟎 = 𝟓𝟎 ∙ 𝟓𝟕, 𝟓 𝟕𝟕, 𝟓 ∙ 𝒗𝟎 − 𝟒𝟎 ∙ ∙ 𝒗 + 𝟔 ∙ 𝒗𝟎 = 𝒗 𝒊 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 𝟎 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 ∙𝒗 = ∙ 𝟐𝟎 = 𝟑, 𝟗𝟔 𝑽 𝟏. 𝟐𝟎𝟎 𝒊 𝟏. 𝟐𝟎𝟎 ⇨ 𝒗𝟎 𝟐𝟑𝟕, 𝟓 = 𝒗𝒊 𝟏. 𝟐𝟎𝟎 18. Utilize o Método das Correntes de Malha para determinar a tensão 𝑣0 no circuito da figura. 6W 6A - 6W 12 V + + 6W 6 W v0 - ➢ Definir as malhas no circuito. 6W i2 6A - 6W i1 12 V + + 6W i0 6 W v0 - ➢ Escrever as equações de malha 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟔 𝒗𝟎 = 𝟔 ∙ 𝒊𝟎 ⇨ ⇨ 𝒊𝟐 = 𝒊𝟏 + 𝟔 𝒊𝟎 = 𝒗𝟎 𝟔 𝟏𝟐 + 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 + (𝟔 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟐 − (𝟔 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟎 = 𝟎 −𝟔 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟔 + 𝟔 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟎 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒗𝟎 . 𝟗 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 −𝒗𝟎 𝒗𝟎 = −𝟒𝟐 = 𝟏𝟐 ⇨ ⇨ ⇨ 𝒗𝟎 = −𝟏𝟐 𝑽 𝟗 ∙ 𝒊𝟏 − 𝒗𝟎 = −𝟒𝟐 −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 + 𝒗𝟎 = 𝟏𝟐 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 42 19. Quando um automóvel está com a bateria descarregada, é possível dar a partida no seu motor ligando-se os terminais de sua bateria aos terminais da bateria de outro automóvel, como mostrado na figura. i A B + - - + Supondo que a corrente da figura seja 𝑖 = − 40 𝐴, determine: • Qual dos automóveis está com a bateria descarregada? Justifique. • Qual o valor da resistência interna das baterias, sabendo que as baterias são exatamente iguais e que a tensão da bateria descarregada é nula e carregada é de 12 𝑉? • Qual foi a quantidade de energia transferida em [𝑘𝑊ℎ], se a ligação durou apenas 2 minutos? ➢ Definir o circuito equivalente da instalação. Rbat A + Rbat B + i Vbat B Vbat A - - A bateria do automóvel A está carregada e a do automóvel B está descarregada, devido ao sentido da corrente. ➢ Substituir o valor de 𝒊 e das tensões das baterias no circuito. Rbat A + Rbat B 40 A + 12 V 0V - - ➢ Escrever a equação de malha. −𝟏𝟐 + 𝟐 ∙ 𝑹𝒃𝒂𝒕 ∙ 𝟒𝟎 = 𝟎 ⇨ ➢ Calcular a energia fornecida. 𝑾= 𝑽∙𝒊∙𝒕 𝑹𝒃𝒂𝒕 = 𝟏𝟓𝟎 𝒎𝜴 𝑾 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟒𝟎 ∙ 𝟐 ∙ 𝟔𝟎 = 𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎 𝑱 = 𝟓𝟕. 𝟔𝟎𝟎 𝒌𝑾𝒉 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟔 𝒌𝑾𝒉 𝟑. 𝟔𝟎𝟎 ∙ 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 20. Um proprietário instalou uma lâmpada incandescente de 60 𝑊 / 120 𝑉 para iluminar seu terreno, conforme mostrado na figura. Métodos de análise de Circuitos Elétricos 43 100 m Entrada Luminária Não ficando satisfeito com o resultado, o proprietário substituiu a lâmpada incandescente de 60 𝑊 por outra de 100 𝑊. Para avaliar os resultados obtidos, determine: Para a lâmpada de 60 𝑊 – • O circuito equivalente da instalação • A queda de tensão na fiação • A potência dissipada na lâmpada Para a lâmpada de 100 𝑊 – • A potência dissipada Sabendo que: • • • Lâmpada de 60 𝑊: 60 𝑊 / 120 𝑉 Lâmpada de 100 𝑊: 100 𝑊 / 220 𝑉 Fio utilizado na instalação: 0,1 W / 𝑚 Tensão na entrada do terreno: 𝑉𝐸 = 120 𝑉 ➢ Definir o circuito equivalente da instalação. Rfio + Rlâmpada VE - Rfio ➢ Determinar R fio . 𝑹𝒇𝒊𝒐 = 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝟎, 𝟏 = 𝟏𝟎 𝜴 ➢ Determinar resistências das lâmpadas. 𝑹𝟔𝟎 = 𝟏𝟐𝟎𝟐 = 𝟐𝟒𝟎 𝜴 𝟔𝟎 𝑹𝟏𝟎𝟎 = ➢ Substituir os valores das resistências nos circuitos. 𝟐𝟐𝟎𝟐 = 𝟒𝟖𝟒 𝜴 𝟏𝟎𝟎 10 W 10 W + + 240 W 120 V - 10 W 484 W 120 V - 10 W Métodos de análise de Circuitos Elétricos 44 ➢ Determinar as correntes nos circuitos. 𝒊𝟔𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟐 𝑨 𝟐𝟔𝟎 ➢ Calcular as quedas de tensão na fiação. 𝒊𝟏𝟎𝟎 = 𝟏𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟓 𝑨 𝟓𝟎𝟒 ∆𝑽𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟐 ∙ 𝟐𝟎 = 𝟗, 𝟐𝟑𝟏 𝑽 ∆𝑽𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟓 ∙ 𝟐𝟎 = 𝟒, 𝟕𝟔𝟐 𝑽 𝑷𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟒𝟔𝟐𝟐 ∙ 𝟐𝟒𝟎 = 𝟓𝟏, 𝟏𝟐𝟒 𝑾 𝑷𝟏𝟎𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎𝟓𝟐 ∙ 𝟒𝟖𝟒 = 𝟐𝟕, 𝟒𝟑𝟖 𝑾 ➢ Calcular as potências dissipadas pelas lâmpadas. A potência desenvolvida pela lâmpada de 100 𝑊/220 𝑉 ficou bem abaixo do seu valor nominal e menor que a potência desenvolvida pela lâmpada de 60 𝑊/ 120 𝑉, motivo pelo qual o proprietário do terreno não ficou satisfeito com a troca das lâmpadas. 21. Uma bateria de automóvel quando ligada: • • ao rádio de um carro, fornece 12,5 𝑉; ao conjunto de faróis, fornece 11,7 𝑉. Suponha que: • • o rádio possa ser modelado como um resistor de 6,25 W ; o conjunto de faróis possa ser modelado como um resistor de 0,65 W. Quais são os equivalentes de Thèvenin e de Norton para a bateria? ➢ Definir o circuito equivalente do rádio e do farol. Rbat Rbat + + Vbat Rrad 12,5 V Vbat - - + + 11,7 V Rfar - - ➢ Substituir o valor das resistências correspondentes nos circuitos. Rbat Rbat + Vbat + + 12,5 V - 6,25 W Vbat 11,7 V - - ➢ Escrever as equações. 𝒊𝒓𝒂𝒅 = 𝟏𝟐, 𝟓 =𝟐𝑨 𝟔, 𝟐𝟓 𝒊𝒇𝒂𝒓 = −𝑽𝒃𝒂𝒕 + 𝑹𝒃𝒂𝒕 ∙ 𝒊𝒓𝒂𝒅 + 𝟏𝟐, 𝟓 = 𝟎 −𝑽𝒃𝒂𝒕 + 𝑹𝒃𝒂𝒕 ∙ 𝒊𝒇𝒂𝒓 + 𝟏𝟏, 𝟕 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações. 𝟏𝟏, 𝟕 = 𝟏𝟖 𝑨 𝟎, 𝟔𝟓 ⇨ ⇨ + 𝑽𝒃𝒂𝒕 − 𝟐 ∙ 𝑹𝒃𝒂𝒕 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝑽𝒃𝒂𝒕 − 𝟏𝟖 ∙ 𝑹𝒃𝒂𝒕 = 𝟏𝟏, 𝟕 - 0,65 W Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟐 ∙ 𝑹𝒃𝒂𝒕 − 𝟏𝟖 ∙ 𝑹𝒃𝒂𝒕 = 𝟏𝟏, 𝟕 − 𝟏𝟐, 𝟓 ⇨ 𝑽𝒃𝒂𝒕 = 𝟏𝟐, 𝟓 + 𝟐 ∙ 𝑹𝒃𝒂𝒕 ⇨ 45 𝑹𝒃𝒂𝒕 = 𝟓𝟎 𝒎𝜴 𝑽𝒃𝒂𝒕 = 𝟏𝟐, 𝟔 𝑽 22. Um sistema de transmissão em corrente contínua é formado por duas usinas elétricas localizadas nos pontos A e B, e alimenta duas cargas nos pontos C e D, através de três trechos de linha de transmissão, conforme o diagrama elétrico abaixo. A 200 km C 100 km E 200 km D 100 km B 10 W 500 kV 20 W 1.000 W + 1.000 W + - - 500 kV Sabendo que a resistência dos cabos dos trechos da linha de transmissão vale 0,2 Ω/𝑘𝑚, determine: a) As potências absorvidas pelas cargas. b) As potências fornecidas pelas fontes. c) O rendimento do sistema. d) As potências perdidas nos trechos da linha de transmissão. e) As potências perdidas pelas fontes. f) O balanço de potências. ➢ Determinar as resistências por trecho e substituir no circuito. A 40 W C 20 W E 40 W D 20 W B 10 W 500 kV 20 W 1.000 W + 1.000 W + - - 500 kV ➢ Definir as malhas no circuito. A 40 W C 20 W E 40 W D 20 W 10 W 500 kV + B 20 W i1 - ➢ Escrever as equações de malha. 1.000 W i2 1.000 W i3 + - 500 kV Métodos de análise de Circuitos Elétricos −𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 + (𝟏𝟎 + 𝟒𝟎 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + (𝟏. 𝟎𝟎𝟎 + 𝟐𝟎 + 𝟒𝟎 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 +𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 − 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟐𝟎 + 𝟐𝟎 + 𝟏. 𝟎𝟎𝟎) ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 𝟏. 𝟎𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐. 𝟎𝟔𝟎 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏. 𝟎𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = −𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações. 𝟏. 𝟎𝟓𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟐. 𝟎𝟔𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝟎 ∙ 𝒊𝟑 −𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟑 𝟏. 𝟎𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 =𝟎 = −𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 𝒊𝟏 = 𝟒𝟒𝟔, 𝟑𝟑𝟗 𝑨 ⇨ ➢ Determinar 𝒊𝟐 = −𝟑𝟏, 𝟑𝟒𝟒 𝑨 { 𝒊𝟑 = −𝟓𝟏𝟎, 𝟗𝟎𝟖 𝑨 • As potências absorvidas pelas cargas. 𝑷𝟏.𝟎𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 )𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝟒𝟒𝟔, 𝟑𝟑𝟗 + 𝟑𝟏, 𝟑𝟒𝟒)𝟐 = 𝟐𝟐𝟖, 𝟏𝟖 𝑴𝑾 𝑷𝟏.𝟎𝟎𝟎 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 )𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (−𝟑𝟏, 𝟑𝟒𝟒 + 𝟓𝟏𝟎, 𝟗𝟎𝟖)𝟐 = 𝟐𝟐𝟗, 𝟗𝟖 𝑴𝑾 𝑷𝒂𝒃𝒔𝒐𝒓𝒗𝒊𝒅𝒂 = 𝟐𝟐𝟖, 𝟏𝟖 + 𝟐𝟐𝟗, 𝟗𝟖 = 𝟒𝟓𝟖, 𝟏𝟔 𝑴𝑾 • As potências fornecidas pelas fontes. 𝑷𝟓𝟎𝟎𝒌 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟒𝟒𝟔, 𝟑𝟑𝟗 = 𝟐𝟐𝟑, 𝟏𝟕 𝑴𝑾 𝑷𝟓𝟎𝟎𝒌 = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ (−𝒊𝟑 ) = 𝟓𝟎𝟎. 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟓𝟏𝟎, 𝟗𝟎𝟖 = 𝟐𝟓𝟓, 𝟒𝟓 𝑴𝑾 𝑷𝒇𝒐𝒓𝒏𝒆𝒄𝒊𝒅𝒂 = 𝟐𝟐𝟑, 𝟏𝟕 + 𝟐𝟓𝟓, 𝟒𝟓 = 𝟒𝟕𝟖, 𝟔𝟐 𝑴𝑾 • Determinar o rendimento do sistema. 𝜼= 𝑷𝒂𝒃𝒔𝒐𝒓𝒗𝒊𝒅𝒂 𝟒𝟓𝟖, 𝟏𝟔 ∙ 𝟏𝟎𝟎% = ∙ 𝟏𝟎𝟎% = 𝟗𝟓, 𝟐𝟕𝟓% 𝑷𝒇𝒐𝒓𝒏𝒆𝒄𝒊𝒅𝒂 𝟒𝟕𝟖, 𝟔𝟐 • As potências perdidas nos trechos da linha de transmissão. 𝑷𝟒𝟎 = 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟏 𝟐 = 𝟒𝟎 ∙ 𝟒𝟒𝟔, 𝟑𝟑𝟗𝟐 = 𝟕, 𝟗𝟔𝟗 𝑴𝑾 𝑷𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝟐 = 𝟐𝟎 ∙ 𝟑𝟏, 𝟑𝟒𝟒𝟐 = 𝟏𝟗, 𝟔𝟒𝟗 𝒌𝑾 𝑷𝟒𝟎 = 𝟒𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝟐 = 𝟒𝟎 ∙ 𝟑𝟏, 𝟑𝟒𝟒𝟐 = 𝟑𝟗, 𝟐𝟗𝟖 𝒌𝑾 𝑷𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟑 𝟐 = 𝟐𝟎 ∙ 𝟓𝟏𝟎, 𝟗𝟎𝟖𝟐 = 𝟓, 𝟐𝟐𝟎 𝑴𝑾 𝑷𝒑𝒍 = 𝟕. 𝟗𝟔𝟗 + 𝟏𝟗, 𝟔𝟒𝟗 + 𝟑𝟗, 𝟐𝟗𝟖 + 𝟓. 𝟐𝟐𝟎 = 𝟏𝟑, 𝟐𝟒𝟖 𝑴𝑾 • As potências perdidas pelas fontes. 46 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 47 𝑷𝟏𝟎 = 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 𝟐 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟒𝟒𝟔, 𝟑𝟑𝟗𝟐 = 𝟏, 𝟗𝟗𝟐 𝑴𝑾 𝑷𝟐𝟎 = 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟑 𝟐 = 𝟐𝟎 ∙ 𝟓𝟏𝟎, 𝟗𝟎𝟖𝟐 = 𝟓, 𝟐𝟐𝟎 𝑴𝑾 𝑷𝒑𝑭 = 𝟏, 𝟗𝟗𝟐 + 𝟓, 𝟐𝟐𝟎 = 𝟕, 𝟐𝟏𝟐 𝑴𝑾 ➢ Realizar o balanço de potências. 𝑷𝒇𝒐𝒓𝒏𝒆𝒄𝒊𝒅𝒂 = 𝟒𝟕𝟖, 𝟔𝟐 𝑴𝑾 3.2 𝑷𝒂𝒃𝒔𝒐𝒓𝒗𝒊𝒅𝒂 + 𝑷𝒑𝒆𝒓𝒅𝒊𝒅𝒂 = 𝟒𝟓𝟖, 𝟏𝟔 + 𝟏𝟑, 𝟐𝟒𝟖 + 𝟕, 𝟐𝟏𝟐 = 𝟒𝟕𝟖, 𝟔𝟐 𝑴𝑾 Método das tensões de nó 3.2.1 Equações de nó Aplicar o método ao circuito linear e planar, que contém somente uma fonte de corrente como elemento ativo. R2 R1 I R3 Figura 3.4 - Circuito contendo uma fonte de corrente com elemento ativo 1º. Admitir tensões nos nós em relação a um nó tomado como referência. R2 va R1 I 2º. Escrever as equações de cada nó (∑ i = 0). −𝑰 + { { 𝒗𝒂 𝒗𝒂 − 𝒗𝒃 + =𝟎 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝒗𝒃 𝒗𝒃 − 𝒗𝒂 + =𝟎 𝑹𝟑 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 ( + ) ∙ 𝒗𝒂 𝑹𝟏 𝑹𝟐 −( 𝟏 ) ∙ 𝒗𝒂 𝑹𝟐 ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒏ó 𝒂 ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒐 𝒏ó 𝒃 𝟏 − ( ) ∙ 𝒗𝒃 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 + ( + ) ∙ 𝒗𝒃 𝑹 𝟐 𝑹𝟑 =𝑰 =𝟎 vb R3 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 3º. Resolver o sistema de equações. 𝑰 [ 𝒗𝒂 = 3.2.2 𝟎 [ 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 − − − 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 ] = 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟑 ∆𝒂 ∆ [ 𝒗𝒃 = ] − 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹 𝟐 [ − 𝟏 𝑹𝟐 𝑰 𝟎 − ] = 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟐 𝑹𝟑 Equações de vínculo ou restrição ∆𝒃 ∆ ] Admitamos um circuito linear e planar contendo uma fonte de corrente e uma fonte de tensão. R2 R4 + R1 I R3 V - Figura 3.5 - Circuito contendo fonte de tensão e fonte de corrente como elementos ativos Para esse caso temos: 1º. Admitir tensões nos nós em relação a um nó tomado como referência; R2 va R4 vb vc + R1 I R3 V - Figura 3.6 - Tensões de nó 2º. Escrever as equações de cada nó (∑ i = 0); 𝒗𝒂 𝒗𝒂 − 𝒗𝒃 + −𝑰=𝟎 𝑹𝟐 𝑹𝟏 { 𝒗𝒃 𝒗𝒃 − 𝒗𝒂 𝒗𝒃 − 𝒗𝒄 + + =𝟎 𝑹𝟑 𝑹𝟐 𝑹𝟒 3º. Escrever as equações de vínculo ou restrição; 𝒗𝒄 = 𝑽 ➢ Substituir 𝒗𝒄 nas equações dos nós; 48 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟏 𝟏 ( + ) ∙ 𝒗𝒂 𝑹𝟏 𝑹𝟐 −( { 𝟏 ) ∙ 𝒗𝒂 𝑹𝟐 −( 𝟏 ) ∙ 𝒗𝒃 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 +( + + ) ∙ 𝒗𝒃 𝑹 𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟒 =𝑰 = 𝑽 𝑹𝟒 4º. Encontrar as tensões de nó, resolvendo o sistema de equações. 𝑰 [ 𝒗𝒂 = 𝑽 𝑹𝟒 [ 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 + + 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟒 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 − − − 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 ] = 𝟏 𝟏 𝟏 + + 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟒 ∆𝒂 ∆ [ 𝒗𝒃 = ] − 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 [ − 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐 𝑰 𝑽 𝑹𝟒 − ] = 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 + + 𝑹𝟐 𝑹𝟑 𝑹𝟒 ∆𝒃 ∆ ] Para um circuito que não apresente uma fonte de tensão ligada ao nó de referência, temos: R2 va vb + V R1 I - vc R3 Figura 3.7 - Circuito que não apresenta fonte de tensão ligada ao nó de referência Os nós aparentes 𝒗𝒃 e 𝒗𝒄 formam um super nó. Do circuito, obtemos o seguinte conjunto de equações de nós; 𝒗𝒂 𝒗𝒂 − 𝒗𝒃 + +𝑰=𝟎 𝑹𝟏 𝑹𝟐 { 𝒗𝒄 𝒗𝒃 − 𝒗𝒂 + =𝟎 𝑹𝟑 𝑹𝟐 𝒗𝒃 − 𝒗𝒄 = 𝑽 } ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çõ𝒆𝒔 𝒅𝒐𝒔 𝒏ó𝒔 ⇨ 𝒆𝒒𝒖𝒂çã𝒐 𝒅𝒆 𝒗í𝒏𝒄𝒖𝒍𝒐 𝒐𝒖 𝒓𝒆𝒔𝒕𝒓𝒊çã𝒐 ➢ Reescrever o Sistema de equações; 49 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟏 𝟏 𝟏 ( + ) ∙ 𝒗𝒂 − ( ) ∙ 𝒗𝒃 = −𝑰 𝑹𝟐 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 − ( ) ∙ 𝒗𝒂 + ( ) ∙ 𝒗𝒃 − ( ) ∙ 𝒗𝒄 = 𝟎 𝑹𝟐 𝑹𝟐 𝑹𝟑 { 𝒗𝒄 = 𝒗𝒃 − 𝑽 ➢ Substituir 𝒗𝒄 nas equações de nós; 𝟏 𝟏 ( + ) ∙ 𝒗𝒂 𝑹𝟏 𝑹𝟐 { −( 𝟏 − ( ) ∙ 𝒗𝒃 𝑹𝟐 𝟏 + ( ) ∙ 𝒗𝒃 𝑹𝟐 𝟏 ) ∙ 𝒗𝒂 𝑹𝟐 = −𝑰 =− 𝑽 𝑹𝟑 ➢ Determinar as tensões de nó, resolvendo o sistema de equações; −𝑰 − [ 𝒗𝒂 = 3.2.3 1. 𝑽 𝑹𝟑 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 [ − 𝟏 𝑹𝟐 − 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐 − 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 ] = 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐 ∆𝒂 ∆ [ 𝒗𝒃 = ] − 𝟏 𝑹𝟐 − 𝑽 𝑹𝟑 − 𝟏 𝟏 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 [ Exercícios −𝑰 − 𝟏 𝑹𝟐 𝟏 𝑹𝟐 ] 𝟏 𝑹𝟐 = ∆𝒃 ∆ 𝒗𝒄 = 𝒗𝒃 − 𝑽 ] Determine as tensões de nó do circuito. 3W 5W + 2W 5A 10 V - ➢ Definir as tensões de nó do circuito. 10 W 50 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 3W V1 5W V2 V3 + 2W 5A 10 W 10 V - ➢ Escrever as equações e resolver o sistema de equações. 𝑽𝟐 = 𝟏𝟎 𝑽 𝑽𝟏 𝑽𝟏 − 𝑽𝟐 + −𝟓= 𝟎 𝟐 𝟑 2. 𝑽𝟑 𝑽𝟑 − 𝑽𝟐 + =𝟎 𝟓 𝟏𝟎 ⇨ 𝑽𝟏 = ⇨ 𝑽𝟑 = 𝟑𝟎 + 𝟐 ∙ 𝑽𝟐 𝟓 𝟐 ∙ 𝑽𝟐 𝟑 ⇨ 𝑽𝟏 = 𝟏𝟎 𝑽 ⇨ 𝑽𝟑 = 𝟐𝟎 𝑽 𝟑 Use o Método das Tensões de Nó para determinar a corrente 𝒊𝟎 no circuito. 1W 1W 1W i0 + 6V - 4A 2A 12 V + - ➢ Definir as tensões de nó do circuito. 1W V1 1W V2 V3 i0 + 6V 4A 𝑽𝟒 = −𝟏𝟐 𝑽 𝑽𝟑 − 𝑽𝟐 𝑽𝟑 − 𝑽𝟒 + −𝟐=𝟎 𝟏 𝟏 𝒊𝟎 = { −𝟏 ∙ 𝑽𝟐 −𝟏 ∙ 𝑽𝟑 𝟐 ∙ 𝑽𝟑 =𝟐 = −𝟏𝟎 𝑽𝟐 − 𝑽 𝟑 𝟏 ⇨ 𝟐 ∙ 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑 = 𝟐 ⇨ −𝑽𝟐 + 𝟐 ∙ 𝑽𝟑 = −𝟏𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações. 𝟐 ∙ 𝑽𝟐 2A 12 V + ➢ Escrever as equações. 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑 + +𝟒=𝟎 𝟏 𝟏 V4 - - 𝑽𝟏 = 𝟔 𝑽 1W 51 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝑽𝟐 = [ 𝟏𝟎 −𝟏𝟎 [ 𝟐 −𝟏 −𝟏 𝟐 −𝟏 𝟐 ] = −𝟐 𝑽 𝑽𝟑 = ] 𝟏𝟎 −𝟏 −𝟏𝟎 𝟐 −𝟏 [ ➢ Determinar a corrente 𝑖0 . 3. [ 𝟐 −𝟏 𝟐 ] = −𝟔 𝑽 ] 𝒊𝟎 = −𝟐 + 𝟔 = 𝟒 𝑨 Determine o valor da corrente 𝑖0 no circuito da figura utilizando o Método das Tensões de Nó. 1 kW 10 mA 5 kW - + i0 500 W 30 V 100 W 80 V - + ➢ Eliminar a resistência de 100 Ω ligada em paralelo com a fonte de tensão de 80 𝑉. 1 kW 10 mA 5 kW - + i0 500 W 30 V 80 V - + ➢ Definir os nós do circuito. 1 kW V1 - + 𝑽𝟏 = −𝟑𝟎 𝑽 𝑽𝟐 = 𝟖𝟎 𝑽 10 mA V2 + i0 500 W 30 V ➢ Escrever as equações de nó. 5 kW V0 80 V - 52 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝑽𝟎 𝑽𝟎 − 𝑽 𝟐 𝟏𝟎 𝑽𝟎 − 𝑽𝟏 + + + =𝟎 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 𝟏. 𝟎𝟎𝟎 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 ➢ Determinar a tensão 𝑽𝟎 . 𝟏𝟔 ∙ 𝑽𝟎 = 𝟑𝟐𝟎 ⇨ 𝑽𝟎 = 𝟐𝟎 𝑽 ➢ Determinar a corrente 𝒊𝟎 . 4. 𝒊𝟎 = 𝑽𝟎 𝟐𝟎 = = 𝟒𝟎 𝒎𝑨 𝟓𝟎𝟎 𝟓𝟎𝟎 Use o Método das Tensões de Nó para determinar a corrente 𝒊𝟎 no circuito da figura. 10 A 2W i0 5W 75 V - + + 1W V0 2/5 V0 2/5 V0 - ➢ Definir as tensões de nó do circuito. 10 A 2 W V0 i0 5W 75 V - 1W V2 + V1 + V0 - ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝟏 = 𝟕𝟓 𝑽 𝒊𝟎 = 𝑽𝟎 𝟓 𝑽𝟎 𝑽𝟎 − 𝑽𝟏 𝑽𝟎 − 𝑽𝟐 + + =𝟎 𝟐 𝟏 𝟓 𝑽𝟐 − 𝑽𝟎 𝟐 + 𝟏𝟎 + ∙ 𝑽𝟎 = 𝟎 𝟏 𝟓 ⇨ 𝟏𝟕 ∙ 𝑽𝟎 −𝟏𝟎 ∙ 𝑽𝟐 = 𝟑𝟕𝟓 ⇨ −𝟑 ∙ 𝑽𝟎 + 𝟓 ∙ 𝑽𝟐 = −𝟓𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑉0 . 53 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟕 ∙ 𝑽𝟎 { −𝟑 ∙ 𝑽𝟎 −𝟏𝟎 ∙ 𝑽𝟐 𝟓 ∙ 𝑽𝟐 = 𝟑𝟕𝟓 ⇨ = −𝟓𝟎 𝑽𝟎 = −𝟏𝟎 −𝟓𝟎 [ ➢ Determinar a corrente 𝒊𝟎 . 5. [ 𝟑𝟕𝟓 𝒊𝟎 = 𝟏𝟕 𝟓 −𝟏𝟎 −𝟑 𝟓 ] = 𝟐𝟓 𝑽 ] 𝟐𝟓 =𝟓𝑨 𝟓 Aplique o Método das Tensões de Nó na figura para determinar a tensão 𝑽𝟎 . 4W 10 A 2W + + 6W 180 V V0 - 2/3 V0 2/3 V0 - ➢ Definir as tensões de nó do circuito. 4W 10 A V1 + 2W V0 V2 + 6W 180 V - V0 - ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝟏 = 𝟏𝟖𝟎 𝑽 𝑽𝟎 𝑽𝟎 − 𝑽 𝟐 + − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟔 𝟐 𝑽𝟐 − 𝑽𝟎 𝑽 𝟐 − 𝑽 𝟏 𝟐 + + ∙ 𝑽𝟎 = 𝟎 𝟑 𝟒 𝟐 ⇨ 𝟒 ∙ 𝑽𝟎 − 𝟑 ∙ 𝑽𝟐 = 𝟔𝟎 ⇨ 𝟐 ∙ 𝑽𝟎 + 𝟗 ∙ 𝑽𝟐 = 𝟓𝟒𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑉0 . 54 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝟒 ∙ 𝑽𝟎 { 6. 𝟐 ∙ 𝑽𝟎 −𝟑 ∙ 𝑽𝟐 𝟗 ∙ 𝑽𝟐 = 𝟔𝟎 ⇨ = 𝟓𝟒𝟎 𝑽𝟎 = [ 𝟔𝟎 𝟓𝟒𝟎 [ 𝟒 𝟐 −𝟑 𝟗 −𝟑 𝟗 ] = 𝟓𝟏, 𝟒𝟑 𝑽 ] Determine a tensão 𝑉0 do circuito da figura, utilizando o Método das Tensões de Nó. 2W 2 Va 4W V0 - - + 24 V + + Va + 4W 12 A V0 - - ➢ Definir as tensões de nó do circuito. 2 Va 2 W V2 4 W V1 V3 V0 - - + 24 V + + Va + 4W 12 A - V0 - ➢ Escrever as equações de nó e resolver o sistema de equações para 𝑽𝟎 . 𝑽𝒂 = 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑 𝑽𝟏 = 𝟐𝟒 𝑽 𝑽𝟎 = 𝑽𝟑 + 𝟐 ∙ 𝑽𝒂 𝑽𝟑 − 𝑽𝟐 𝑽𝟎 − 𝟏𝟐 + =𝟎 𝟒 𝟒 7. ⇨ 𝑽𝟎 = 𝟐 ∙ 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑 ⇨ 𝑽𝟑 = 𝟗𝟔 𝑽 ⇨ 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑 + =𝟎 𝟐 𝟒 𝑽𝟐 = 𝟒𝟖 𝑽 ⇨ 𝑽𝟎 = 𝟎 𝑽 Use o Método das Tensões de Nó para determinar a potência dissipada pelo resistor de 𝟓 W. 2W 5W + i1 20 W 20 V ➢ Definir as tensões de nó do circuito. 2W 10 W + - 8 i1 55 Métodos de análise de Circuitos Elétricos V1 2W 5W V2 + 2W V3 V4 i1 20 W 20 V 10 W + - 8 i1 - ➢ Escrever as equações de nó e resolver o sistema de equações para 𝒊𝟏 . 𝑽𝟏 = 𝟐𝟎 𝑽 𝑽𝟒 = 𝟖 ∙ 𝒊 𝟏 𝑽𝟐 − 𝑽𝟑 𝟓 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 𝑽 𝟐 𝑽 𝟐 − 𝑽 𝟑 + + =𝟎 𝟐𝟎 𝟓 𝟐 ⇨ 𝑽𝟐 = 𝟓 ∙ 𝒊 𝟏 − 𝑽𝟐 + 𝑽𝟑 = 𝟎 ⇨ ⇨ 𝑽𝟑 = 𝑽𝟑 − 𝑽𝟐 𝑽 𝟑 𝑽 𝟑 − 𝑽 𝟒 + + =𝟎 𝟓 𝟏𝟎 𝟐 ➢ Determinar a potência P5 . 8. 𝒊𝟏 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟏 𝟑 𝒊𝟏 = 𝟏, 𝟐 𝑨 𝑷𝟓 = 𝒊𝟏 𝟐 ∙ 𝟓 = 𝟏, 𝟐𝟐 ∙ 𝟓 = 𝟕, 𝟐𝟎 𝑾 Aplique o Método das Tensões de Nó para determinar o valor de 𝑉0 no circuito da figura. 800 W - v0 + 40 W 40 W + 50 W 50 V 200 W 0,75 A - ➢ Definir as tensões de nó do circuito. 800 W - v0 40 W V2 V1 + 50 W 50 V + 40 W V3 0,75 A - ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝟏 = 𝟓𝟎 𝑽 𝒗 𝟎 = 𝑽 𝟑 − 𝑽𝟏 𝑽 𝟐 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 𝑽 𝟐 − 𝑽 𝟑 + + =𝟎 𝟓𝟎 𝟒𝟎 𝟒𝟎 ⇨ 𝟏𝟒 ∙ 𝑽𝟐 −𝟓 ∙ 𝑽𝟑 = 𝟐𝟓𝟎 200 W 56 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝑽𝟑 − 𝑽𝟐 𝑽𝟑 − 𝑽 𝟏 𝑽𝟑 + + − 𝟎, 𝟕𝟓 = 𝟎 𝟒𝟎 𝟖𝟎𝟎 𝟐𝟎𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑽𝟑 . 𝟏𝟒 ∙ 𝑽𝟐 { −𝟐𝟎 ∙ 𝑽𝟐 −𝟓 ∙ 𝑽𝟑 𝟐𝟓 ∙ 𝑽𝟑 = 𝟐𝟓𝟎 ⇨ ⇨ = 𝟔𝟓𝟎 −𝟐𝟎 ∙ 𝑽𝟐 + 𝟐𝟓 ∙ 𝑽𝟑 = 𝟔𝟓𝟎 𝑽𝟑 = [ 9. −𝟐𝟎 [ ➢ Determinar a corrente 𝒗𝟎 . 𝟏𝟒 𝟏𝟒 −𝟐𝟎 𝟐𝟓𝟎 𝟔𝟓𝟎 −𝟓 𝟐𝟓 ] = 𝟓𝟔, 𝟒 𝑽 ] 𝒗𝟎 = 𝟔, 𝟒 𝑽 Determine a tensão 𝑉0 no circuito. 1W - 8V + i1 2 W + 5W 6W 2 i1 V0 - ➢ Desconsiderar a resistência de 1𝛺 em paralelo com a fonte de tensão. - 8V + i1 2 W + 5W 6W 2 i1 V0 - ➢ Determinar os nós do circuito. i1 + 2 i1 5W 5 i1 V1 - 8V 𝒊𝟏 = 2W V0 + 2 i1 6W V0 - ➢ Escrever as equações de nó e resolver para 𝑉0 . ⇨ i1 i1 - 𝑽𝟎 = 𝟔 ∙ 𝒊 𝟏 + 𝑽𝟎 𝟔 57 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝑽𝟏 = 𝟓 ∙ 𝒊 𝟏 ⇨ 𝒊𝟏 = ⇨ 𝑽𝟏 + 𝟖 − 𝑽𝟎 𝟐 𝑽𝟏 = 58 𝟓 ∙𝑽 𝟔 𝟎 𝑽𝟎 = 𝟏𝟔 𝑽 10. Para o circuito, determine os valores de 𝑉𝑥 e 𝑖𝑥 . 2W + ix 4W 18 V 2W + Vx 3/2 Vx + 8 ix - - ➢ Definir os nós do circuito. V1 2W + ix 4W 18 V 2W Vx V2 + Vx 3/2 Vx + 8 ix - - ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝒙 = 𝟒 ∙ 𝒊 𝒙 𝑽𝟐 = −𝟖 ∙ 𝒊𝒙 𝑽𝒙 − 𝟏𝟖 𝟑 𝑽𝒙 + 𝟖 ∙ 𝒊 𝒙 + 𝒊 𝒙 − ∙ 𝑽𝒙 + =𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 ⇨ 𝒊𝒙 = 𝟑 𝑨 ⇨ 𝑽𝒙 = 𝟏𝟐 𝑽 11. No circuito da figura, a resistência variável 𝑹 foi ajustada de modo que a corrente 𝒊𝟎 seja igual a 10 𝑚𝐴. Determine o valor de 𝑹. RW 1,5 kW 3 kW + 80 V i0 - ➢ Definir os nós no circuito. 5 kW 500 W Métodos de análise de Circuitos Elétricos RW 1,5 kW 3 kW V0 V1 + V2 80 V 500 W 5 kW i0 - ➢ Escrever as equações de nó e resolver o sistema de equações. 𝒊𝟎 = 𝟏𝟎 𝒎𝑨 𝒗𝟎 = 𝟓 𝒌 ∙ 𝒊𝟎 = 𝟓𝟎 𝑽 𝒗𝟏 = 𝟖𝟎 𝑽 𝟓𝟎 𝟓𝟎 − 𝒗𝟐 𝟓𝟎 − 𝟖𝟎 + + =𝟎 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝟑. 𝟎𝟎𝟎 𝟏. 𝟓𝟎𝟎 𝒗𝟐 𝒗𝟐 − 𝟖𝟎 𝒗𝟐 − 𝟓𝟎 + + =𝟎 𝑹 𝟓𝟎𝟎 𝟑. 𝟎𝟎𝟎 ⇨ 𝒗𝟐 = 𝟐𝟎 𝑽 ⇨ 𝑹 = 𝟐 𝒌𝜴 12. Aplique o Método das Tensões de Nó para determinar o valor de 𝑣0 no circuito da figura. 4W + 10 A + 2W + 24 V 6W V - ➢ - v0 2/3 v A 2/3 v A - Definir os nós do circuito. 4W + 10 A v1 + - v0 2W v v2 + 24 V V - 6W - ➢ Escrever as equações de nó. 𝒗𝟏 = 𝟐𝟒 𝑽 −𝟐𝟒 + 𝒗𝟎 + 𝒗𝟐 = 𝟎 ⇨ 𝒗𝟐 = 𝟐𝟒 − 𝒗𝟎 59 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 𝒗∆ 𝒗∆ − 𝒗𝟐 + − 𝟏𝟎 = 𝟎 𝟐 𝟔 𝒗𝟐 − 𝒗∆ 𝒗𝟐 − 𝟐𝟒 𝟐 ∙ 𝒗∆ + + =𝟎 𝟒 𝟑 𝟐 ⇨ 𝟒 ∙ 𝒗∆ + 𝟑 ∙ 𝒗𝟎 = 𝟏𝟑𝟐 ⇨ 𝟐 ∙ 𝒗∆ − 𝟗 ∙ 𝒗𝟎 = −𝟏𝟒𝟒 60 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒗𝟎 . 𝟒 ∙ 𝒗∆ { 𝟐 ∙ 𝒗∆ 𝟑 ∙ 𝒗𝟎 −𝟗 ∙ 𝒗𝟎 = 𝟏𝟑𝟐 ⇨ = −𝟏𝟒𝟒 𝒗∆ = 𝟏𝟖 𝑽 ⇨ 𝒗𝟎 = 𝟐𝟎 𝑽 13. O resistor variável 𝑅 do circuito da figura é ajustado para que 𝑣0 seja 60 𝑉. Determine o valor de 𝑅. 45 W RW 10 W + + 180 W 240 V v0 - 12 W 18 W ➢ Determinar os valores das tensões e das correntes sobre cada elemento do circuito. 45 W + 90 V - + RW 4A 3 A 10 W 3 A 2A + 60 V 1A + 30 V + 150 V + 5A 180 V 12 W 180 W 240 V - 60 V - - 90 V + 18 W ➢ Determinar o valor de 𝑅. 𝑹= 𝟔𝟎 = 𝟏𝟓 𝜴 𝟒 14. Determine a corrente 𝑖0 na figura, sabendo que o valor da corrente 𝑖1 é igual a 4 𝐴. Métodos de análise de Circuitos Elétricos 61 25 W i1 5W 10 W i0 + 70 W 180 V 8W - ➢ Determinar os valores das tensões e das correntes sobre cada elemento do circuito. 25 W + 100 V 5W 8A + + 40 V i0 = 2 A 70 W 180 V i1 = 4 A 10 A 10 W 6 A 4A + 60 V - 10 A + 140 V - - + 80 V 8W - ➢ Determinar o valor de 𝑖0 . 𝒊𝟎 = 𝟐 𝑨 15. Para o circuito da figura, considere que o resistor variável 𝑅 seja ajustado até que 𝑖0 = 10 𝑚𝐴. Determine o valor de 𝑅. RW 1,5 kW + 3 kW i0 5 kW 80 V 500 W - ➢ Determinar as tensões e as correntes sobre os elementos do circuito. Métodos de análise de Circuitos Elétricos RW + 60 V 1,5 kW 20 + 30 V - + 10 5 kW 80 V - - 10 3 kW 10 30 + 30 V - 40 + + 20 V 50 V - 500 W - ➢ Determinar o valor de 𝑅. 𝑹= 𝟔𝟎 = 𝟐 𝒌𝜴 𝟑𝟎 𝒎𝑨 16. Determine o valor de 𝑅 no circuito, de modo que 𝑉0 seja igual a 4 𝑉. + 12 V - 4W 1W 3W + R + 6A 2W V0 = 4 V - 12 V - ➢ Determinar os valores das tensões e das correntes sobre cada elemento do circuito. 8/3 A + 12 V + 4/3 A 8V + 3W + - R 20 V - 12 V - 1W 4A 2A 4W - 4V + + 12 V + 8V 6A 6A - 2W + V0 = 4 V - ➢ Determinar o valor de 𝑅. 𝑹= 𝟐𝟎 = 𝟏𝟓 𝜴 𝟒 𝟑 17. Encontrar o valor de 𝑉1 para o circuito da figura de forma que 𝑉𝑎 = 0 𝑉. 62 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 2W + + 8V 2W - + + 2W V1 4W Va = 0 V - 63 V1 - - ➢ Substituir 𝑉𝑎 = 0 𝑉 e determinar as tensões e as correntes sobre os elementos do circuito. V1/2 + 8 V - V1/2 - 2 2 W V1/2 2 W + V1 - + + 2W Va = 0 V 0A - + V -4 1 8V 4W - 2A + V1 - ➢ Escrever a equação da malha e determinar 𝑉1 . −𝟖 + 𝑽𝟏 − 𝟒 + 𝑽𝟏 = 𝟎 ⇨ 𝑽𝟏 = 𝟔 𝑽 18. No circuito da figura a lâmpada é de 120 𝑉 e 60 𝑊. Qual deve ser a tensão de alimentação 𝑉𝑠 para que a lâmpada opere sob condições nominais? 10 W 40 W + 55 W Vs 60 W lâmpada - ➢ Determinar a resistência da lâmpada. 𝑹= 𝑽𝟐 𝟏𝟐𝟎𝟐 = = 𝟐𝟒𝟎 𝜴 𝑷 𝟔𝟎 ➢ Substituir o valor da resistência da lâmpada no circuito. 10 W 40 W + 55 W Vs 60 W 240 W lâmpada - ➢ Definir as correntes e tensões nos componentes do circuito. 10 W 6,5 A + Vs 220 V - ➢ Determinar o valor de 𝑉𝑠 . + 65 V + - 40 W 2,5 A + 100 V 55 W 4A 240 W 0,5 A + 2A 120 V 60 W - Métodos de análise de Circuitos Elétricos 64 𝑽𝒔 = 𝟐𝟐𝟎 + 𝟔𝟓 = 𝟐𝟖𝟓 𝑽 19. No circuito da figura foram inseridos voltímetros e amperímetros digitais ideais, com as polaridades indicadas. V0 - 10 V R1 W + + + V5 Leituras indicadas em cada um dos instrumentos + R5 W + Voltímetros V1 R4 W 𝑽𝟎 = 𝟗, 𝟎 𝑽 V4 R3 W + + - 4V + 𝑨𝟏 = 𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝑨 𝑽𝟑 =? 𝑽 𝑨𝟑 =? 𝒎𝑨 𝑽𝟒 = −𝟐, 𝟎 𝑽 V3 R2 W V2 𝑽𝟏 =? 𝑽 𝑽𝟐 = 𝟑 𝑽 + A3 + Amperímetros A1 𝑨𝟐 = −𝟏, 𝟓 𝒎𝑨 𝑽𝟓 =? 𝑽 A2 + Determine as leituras desconhecidas dos instrumentos com suas polaridades e os valores das resistências do circuito. ➢ Substituir os instrumentos pelo valor de suas medidas no circuito. 10 V 9V R1 W + + + V5 R5 W - A3 V1 2,50 mA R4 W R3 W V3 - + −𝑽𝟎 − 𝑽𝟏 + 𝟏𝟎 = 𝟎 𝑹𝟏 = ⇨ 𝑽𝟏 = 𝟏𝟎 − 𝑽𝟎 𝑽𝟏 𝟏𝑽 = = 𝟒𝟎𝟎 𝜴 𝑨𝟏 𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝑨 ⇨ 3V 4V + - R2 W ➢ Determinar 𝑉1 e 𝑅1 . - - -1,50 mA + 𝑽𝟏 = 𝟏𝟎 − 𝟗 = 𝟏 𝑽 -2 V + - + - Métodos de análise de Circuitos Elétricos ➢ Determinar 𝑅2 . 𝑹𝟐 = 𝑽𝟐 𝟑𝑽 = = 𝟐. 𝟎𝟎𝟎 𝜴 = 𝟐 𝒌𝜴 −𝑨𝟐 −(−𝟏, 𝟓𝟎 𝒎𝑨) ➢ Determinar 𝑉3 e 𝑅3 . −𝑨𝟏 − 𝑨𝟐 + 𝑨𝟑 = 𝟎 𝑽𝟑 + 𝟒 + 𝑽𝟐 = 𝟎 ⇨ ⇨ −𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝑨 − (−𝟏, 𝟓𝟎 𝒎𝑨) + 𝑨𝟑 = 𝟎 𝑽𝟑 = −𝟒 − 𝑽𝟐 𝑹𝟑 = −𝑽𝟑 𝟕𝑽 = = 𝟕. 𝟎𝟎𝟎 𝜴 = 𝟕 𝒌𝜴 𝟏 𝒎𝑨 𝑨𝟑 𝑹𝟒 = −𝑽𝟒 −(−𝟐 𝑽) = = 𝟖𝟎𝟎 𝜴 𝑨𝟏 𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝑨 ⇨ ⇨ 𝑨𝟑 = 𝟏 𝒎𝑨 𝑽𝟑 = −𝟒 − 𝟑 = −𝟕 𝑽 ➢ Determinar 𝑅4 . ➢ Determinar 𝑉5 e 𝑅5 . −𝑽𝟓 − 𝑽𝟎 − 𝑽𝟒 + 𝑽𝟐 = 𝟎 𝑹𝟓 = ⇨ −𝑽𝟓 − 𝟗 − (−𝟐) + 𝟑 = 𝟎 −𝑽𝟓 𝟒𝑽 = = 𝟏. 𝟔𝟎𝟎 𝜴 = 𝟏, 𝟔 𝒌𝜴 𝟐, 𝟓𝟎 𝒎𝑨 𝑨𝟏 ⇨ 𝑽𝟓 = −𝟗 + 𝟓 = −𝟒 𝑽 65 Métodos de análise de Circuitos Elétricos 66 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4 67 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4.1 Resistência Equivalente Diz-se que dois ou mais circuitos são equivalentes quando não podem ser distinguidos por medidas de corrente e de tensão efetuadas em seus terminais acessíveis. Os circuitos da Figura 4.1 são equivalentes se, e somente se, 𝑖1 (𝑡) = 𝑖2 (𝑡) para todas as escolhas possíveis da fonte de tensão 𝑣(𝑡). i1(t) i2(t) + + v(t) v(t)v(t) 1 2 - - Figura 4.1 - Circuitos equivalentes Qualquer circuito passivo, resultante da combinação de resistências, ou de resistências e fontes controladas, com somente dois terminais externos é equivalente a uma única resistência. i(t) i(t) Circuito contendo somente resistências, ou resistências e fontes controladas + v(t) - + Req v(t) - Figura 4.2 - Equivalente de circuitos passivos A resistência equivalente é definida por: 𝑹𝒆𝒒 = 4.1.1 𝒗(𝒕) 𝒊(𝒕) Circuitos contendo somente resistências • Resistências em série. i(t) i(t) + R1 + v(t) v(t) R2 Req = Rs - Figura 4.3 - Equivalente das resistências em série • Resistências em paralelo. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos i(t) 68 i(t) + + R1 v(t) R2 Req = Rp v(t) - Figura 4.4 - Equivalente das resistências em paralelo • Combinações de resistências em série e em paralelo 1W 1W 1W a 1W 1W 1W b Figura 4.5 - Combinações de resistências em série e paraleleo Por sucessivas aplicações das regras de combinações de resistências em série e em paralelo é possível reduzir qualquer circuito mais complicado num circuito contendo uma simples resistência. 1W 1W 1W a a 1W b Req 1W 1W Req = 13/8 W b R4 R3 R2 R1 𝑹𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐 𝜴 𝑹𝟐 = 𝑹𝟏 //𝟏 = 𝑹𝟑 = 𝑹𝟐 + 𝟏 = 𝟐∙𝟏 𝟐 = 𝜴 𝟐+𝟏 𝟑 𝟐 𝟓 +𝟏= 𝜴 𝟑 𝟑 𝟓 ∙𝟏 𝟓 𝑹𝟒 = 𝑹𝟑 //𝟏 = 𝟑 = 𝜴 𝟓 +𝟏 𝟖 𝟑 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝟒 + 𝟏 = 4.1.1 𝟓 𝟏𝟑 +𝟏= 𝜴 𝟖 𝟖 Transformações  ⬄ Y e  ⬄ Y São frequentemente encontrados circuitos nos quais os resistores parecem não estar em série ou em paralelo. Nessas condições, pode ser interessante converter o circuito de uma forma para outra mais conveniente para determinar os valores das tensões e correntes sem usar o Método das Malhas ou Métodos dos Nós. Duas configurações frequentemente responsáveis por esse tipo de dificuldade são a  e a Y, mostradas na Figura 4.6. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 69 Rab a a b Ra b Rb Rca Rbc Rc c c Figura 4.6 - Configurações Y e  Elas também são chamadas de T e , respectivamente, como está indicado na Figura 4.7. Ra Rab Rb a b a Rca Rc c b c c Rbc c Figura 4.7 - Configurações T e 𝝅 ➢ Resistências com ligação em ∆ (triângulo ou 𝝅) ou em 𝒀 (estrela ou 𝑻) Para os três pares de terminais do circuito , a resistência equivalente pode ser obtida através da associação de dois resistores em série em paralelo com outro, isto é: 𝑹𝒂𝒃 (∆) = 𝑹𝒃𝒄 (∆) = 𝑹𝒄𝒂 (∆) = 𝑹𝒂𝒃 ∙ (𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 ) 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 𝑹𝒃𝒄 ∙ (𝑹𝒄𝒂 + 𝑹𝒂𝒃 ) 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 𝑹𝒄𝒂 ∙ (𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 ) 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 Para os três pares de terminais do circuito Y, a resistência equivalente pode ser obtida através da associação de dois resistores em série, isto é: 𝑹𝒂𝒃 (𝒀) = 𝑹𝒂 + 𝑹𝒃 𝑹𝒃𝒄 (𝒀) = 𝑹𝒃 + 𝑹𝒄 𝑹𝒄𝒂 (𝒀) = 𝑹𝒄 + 𝑹𝒂 ➢ Equivalência entre ∆ e 𝒀 e vice-versa Para que o circuito Y seja equivalente ao circuito , e vice-versa, a resistência total entre dois terminais quaisquer de uma das configurações deverá ser a mesma que a da configuração equivalente, isto é: 𝑹𝒂𝒃 (𝒀) = 𝑹𝒂𝒃 (∆) 𝑹𝒃𝒄 (𝒀) = 𝑹𝒃𝒄 (∆) 𝑹𝒄𝒂 (𝒀) = 𝑹𝒄𝒂 (∆) Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 70 Logo: 𝑹𝒂 + 𝑹𝒃 = 𝑹𝒃 + 𝑹𝒄 = 𝑹𝒄 + 𝑹𝒂 = 𝑹𝒂𝒃 ∙ (𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 ) 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 𝑹𝒃𝒄 ∙ (𝑹𝒄𝒂 + 𝑹𝒂𝒃 ) 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 𝑹𝒄𝒂 ∙ (𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 ) 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 ➢ Transformação ∆ ⬄ 𝒀 Assim, para uma conversão de  para Y devemos obter expressões para 𝑅𝑎 , 𝑅𝑏 e 𝑅𝑐 em termos de𝑅𝑎𝑏 , 𝑅𝑏𝑐 e 𝑅𝑐𝑎 , que irão nos garantir que a resistência entre dois terminais quaisquer da configuração Y será a mesma que a da configuração  equivalente. Resolvendo o sistema de equações acima, podemos obter os valores dos resistores do circuito Y equivalente: 𝑹𝒂 = 𝑹𝒃 = 𝑹𝒄 = 𝑹𝒃𝒄 ∙ 𝑹𝒄𝒂 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 𝑹𝒄𝒂 ∙ 𝑹𝒂𝒃 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 𝑹𝒂𝒃 ∙ 𝑹𝒃𝒄 𝑹𝒂𝒃 + 𝑹𝒃𝒄 + 𝑹𝒄𝒂 Também é possível calcular os valores dos resistores do circuito  equivalente: 𝑹𝒂𝒃 = 𝑹𝒃𝒄 = 𝑹𝒄𝒂 = 𝑹𝒂 ∙ 𝑹𝒃 + 𝑹 𝒃 ∙ 𝑹 𝒄 + 𝑹 𝒄 ∙ 𝑹𝒂 𝑹𝒂 𝑹𝒂 ∙ 𝑹𝒃 + 𝑹𝒃 ∙ 𝑹𝒄 + 𝑹 𝒄 ∙ 𝑹 𝒂 𝑹𝒃 𝑹𝒂 ∙ 𝑹𝒃 + 𝑹 𝒃 ∙ 𝑹𝒄 + 𝑹 𝒄 ∙ 𝑹 𝒂 𝑹𝒄 Para o caso equilibrado, isto é, 𝑅𝑎 = 𝑅𝑏 = 𝑅𝑐 = 𝑅𝑌 ou 𝑅𝑎𝑏 = 𝑅𝑏𝑐 = 𝑅𝑐𝑎 = 𝑅∆, as equações acima podem ser reduzidas a: 𝑹𝒀 = 𝑹∆ ∙ 𝑹∆ 𝟏 = ∙ 𝑹∆ 𝟑 ∙ 𝑹∆ 𝟑 a b R /3 ⇔ 𝑹∆ = 𝟑 ∙ 𝑹𝒀 ∙ 𝑹𝒀 = 𝟑 ∙ 𝑹𝒀 𝑹𝒀 3·RY a b R /3 3·RY 3·RY R /3 c c Figura 4.8 - Transformação Y ⬄  equilibrado Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4.1.2 71 Circuitos em ponte O circuito de uma resistência em ponte (circuito em ponte) é uma configuração de circuito que possui diversas aplicações, e pode aparecer em uma das três formas mostradas na Figura 4.9. a R1 a a R1 R1 R2 R2 R2 R5 R5 R5 R3 R3 R4 R3 R4 R4 b b b Figura 4.9 - Configurações do circuito em ponte Como ilustrado na Figura 4.9, o circuito em ponte tem dois ∆ unidos ou, dependendo do ponto de vista, dois Y unidos com um ramo conjunto. Se uma parte ∆ da ponte for convertida num Y, ou uma parte Y convertida num ∆, o circuito se tornará série paralelo. Depois as resistências podem ser facilmente combinadas e o circuito reduzido. a a R1 R2 R5 R3 R4 b R3 R4 b a a R1 R2 R2 R4 R4 R5 R3 b b Figura 4.10 - Parte da ponte convertida em ∆ ou Y Para o caso particular, em que todas as resistências do circuito em ponte são iguais a 𝑅, dizemos que o circuito em ponte é equilibrado. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos a R R R R R b Figura 4.11 - Circuito em ponte equilibrado Nesse caso a resistência do equivalente do circuito é igual a 𝑅. a R R a R R R R b b Req Figura 4.12 - 4.1.2.1 1. Resistência equivalente de um circuito em ponte equilibrado Exercícios Determine o valor de 𝑖0 no circuito. 6W 3W 1W 0,5 W 1W 0,5 W 1W i0 + 1W 12 V 3W 3W 3W - ➢ Determinar a resistência equivalente vista dos terminais da fonte de tensão de 12 V. 72 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 6W a 3W 1W 0,5 W 1W 0,5 W 1W 1W 3W 3W b Req ➢ Associar as resistências. 3W a 1W 1W 1W 1W 1W b Req ➢ Aplicar transformação de 𝑌 para . 3W a 3W 1W 3W 1W 3W b Req ➢ Associar as resistências. 3W 73 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3W a 0,75 W 3W 0,75 W b Req ➢ Associar as resistências resultantes. a 4W b Req Outra solução. 3W a 1W 1W 1W 1W 1W b Req ➢ Substituir o circuito em ponte equilibrada por sua resistência equivalente. 3W a 1W b Req ➢ Associar as resistências resultantes. a 4W b Req 74 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Determinar 𝑖0 . 75 i0 + 4W 12 V - 2. 𝒊𝟎 = 𝟏𝟐 =𝟑 𝑨 𝟒 Sabendo que no circuito representado na figura, a fonte de tensão de 90 𝑉 fornece uma potência de 270 𝑊, determine a resistência equivalente do circuito visto dos terminais da fonte e o valor da resistência R. RW 25 W + 30 W 90 V 60 W 20 W ➢ Definir as correntes de malha. 25 W + 90 V i2 RW 30 W i1 60 W ➢ Determinar a 𝑅𝑒𝑞 . 𝑷𝑭 = 𝑹𝒆𝒒 ∙ 𝒊𝟏 𝟐 = 𝟐𝟕𝟎 𝑹𝒆𝒒 = 𝟗𝟎 𝒊𝟏 𝟗𝟎 𝟐𝟕𝟎 = 𝟐 𝒊𝟏 𝒊𝟏 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = ⇨ 𝒊𝟏 = 𝟑 i3 𝟐𝟕𝟎 𝒊𝟏 𝟐 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 𝟑𝟎 𝜴 ➢ Escrever as equações de malha da malha 1 e da malha 3. • Malha 1 −𝟗𝟎 + 𝟖𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟔𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 20 W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos −𝟗𝟎 + 𝟖𝟓 ∙ 𝟑 − 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟔𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 • Malha 3 −𝟔𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟔𝟎 ∙ 𝟑 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema para 𝑖2 e 𝑖3 . 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 { +𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟑 −𝟑 ∙ 𝒊𝟐 𝒊𝟐 = [ [ +𝟏𝟏 ∙ 𝒊𝟑 𝟑𝟑 𝟏𝟐 𝟏𝟖 𝟏𝟏 𝟓 𝟏𝟐 −𝟑 𝟏𝟏 ] ⇨ 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟑𝟑 ⇨ −𝟑 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟏 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟏𝟖 = 𝟑𝟑 = 𝟏𝟖 𝟏𝟒𝟕 = = 𝟏, 𝟔𝟏𝟓 𝑨 𝟗𝟏 𝒊𝟑 = ] [ ➢ Escrever a equação da malha 2. −𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + (𝟓𝟓 + 𝑹) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟐𝟓 ∙ 𝟑 + (𝟓𝟓 + 𝑹) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ➢ Determinar 𝑅. (𝟓𝟓 + 𝑹) ∙ 3. ⇨ Para o circuito, sabe-se que: 𝑹𝒙 = 𝟓 𝜴 𝟑𝟑 −𝟑 𝟏𝟖 𝟓 𝟏𝟐 −𝟑 𝟏𝟏 ] = 𝟏𝟖𝟗 = 𝟐, 𝟎𝟕𝟕 𝑨 𝟗𝟏 ] (𝟓𝟓 + 𝑹) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟑𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟕𝟓 ⇨ 𝟏𝟖𝟗 𝟏𝟒𝟕 − 𝟑𝟎 ∙ = 𝟕𝟓 𝟗𝟏 𝟗𝟏 𝟏𝟒𝟕 ∙ 𝑹 = 𝟒. 𝟒𝟏𝟎 𝑹𝒙 = 𝟐𝟎 𝜴 [ 𝟓 ⇨ ⇨ 𝑹 = 𝟑𝟎 𝜴 𝑰= 𝟑𝑨 𝑰= 𝟒𝑨 Determine o valor de R, e de I quando 𝑅𝑥 = 0 𝛺. RW RW I RW RW RW + 5W E - Rx W 76 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Aplicar transformação 𝑌 para ∆ no circuito em ponte. 3R W I 3R W 3R W RW RW + 5W E Rx W - ➢ Redesenhar o circuito. RW I + E 5W - ➢ Rx W Outra solução RW RW I RW RW RW + 5W E Rx W - ➢ Substituir o circuito em ponte equilibrada por sua resistência equivalente. RW I + E - ➢ Escrever a equação de malha para cada condição. 5W Rx W 77 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 78 RW 3A + E 5W - −𝑬 + 𝑹 ∙ 𝟑 + 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟎 ⇨ 20 W −𝑬 + 𝟑 ∙ 𝑹 + 𝟏𝟐 = 𝟎 RW 4A + E 5W - −𝑬 + 𝑹 ∙ 𝟒 + 𝟐, 𝟓 ∙ 𝟒 = 𝟎 ⇨ −𝑬 + 𝟒 ∙ 𝑹 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ⇨ 𝑹=𝟐 𝜴 ➢ Resolver o sistema de equações. −𝑬 + 𝟑 ∙ 𝑹 + 𝟏𝟐 = 𝟎 { −𝑬 + 𝟒 ∙ 𝑹 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ⇨ 5W 𝑬 = 𝟏𝟖 𝑽 ➢ Aplicar o valor de 𝑅 = 2 𝛺, 𝐸 = 18 𝑉 e 𝑅𝑥 = 0 𝛺 ao circuito resultante para calcular o valor de 𝐼. 2W ?A + 18 V - 5W ➢ Determinar a corrente 𝑰. 𝑰= 4.1.3 𝟏𝟖 =𝟗 𝑨 𝟐 Circuitos Contendo Resistências e Fontes Independentes A Resistência Equivalente é determinada considerando primeiramente todas as fontes independentes do circuito em repouso. Colocar fontes independentes em repouso (anular, matar) é: Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 79 + V • Substituir as fontes independentes de corrente por um circuito aberto I ➢ Exemplos R1 R1 R2 R2 R3 a V + R4 - R3 ⇨ a R4 b b R1 R1 a I ⇨ R4 R3 a R2 R2 b b 4.1.3.1 1. R4 R3 Exercício Determine a Resistência Equivalente para os terminais 𝑎𝑏 do circuito. 5W + 15 V 5W - 2,5 W a 5W 10 A 10 W b Req ➢ Substituir as fontes independentes de tensão por um curto-circuito, e as fontes independentes de corrente por um circuito aberto Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 80 5W 5W 2,5 W a 5W 10 W b Req ➢ Associar as resistências para determinar 𝑹𝒆𝒒 . 2. 𝑹𝒆𝒒 = (𝟓 ⫽ 𝟓 + 𝟓 + 𝟐, 𝟓) ⫽ 𝟏𝟎 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 𝟓 𝜴 Determine o valor de 𝑹 no circuito, sabendo que 𝑹𝒆𝒒 = 𝟏𝟓 𝛀. 8W a + 12 V 6W 3W 3A 3W 4W 5A IA RW b ➢ Substituir as fontes independentes de corrente por um circuito aberto e as fontes independented de tensão por um curto-circuito. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 8W a 6W 3W 3W 4W RW b ➢ Redesenhar o circuito. 8W a 6W 3W 3W 4W RW b ➢ Associar as resistências. 8W a 2W RW b ➢ Redesenhar o circuito. 10 W a RW b ➢ Determinar 𝑹. 81 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹 + 𝟏𝟎 4.1.4 ⇨ 𝑹 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓 ⇨ 82 𝑹=𝟓 𝜴 Circuitos contendo resistências e fontes dependentes A resistência equivalente de combinações de resistências e fontes controladas pode também ser determinada a partir da definição: 𝑹𝒆𝒒 = 4.1.4.1 1. Exercícios 𝒗(𝒕) 𝒊(𝒕) Determine a Resistência Equivalente vista dos terminais 𝑎𝑏 do circuito. i3 i1 a I + v3 + R i2 = 2·i1 V - b ➢ Escrever as equações 𝒊𝟏 = 𝑰 𝒊𝟑 = 𝒗𝟑 𝑽 = 𝑹 𝑹 𝑹𝒆𝒒 = 𝒊𝟏 = 𝒊𝟐 + 𝒊 𝟑 = 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝒊𝟑 𝑽 = −𝑹 𝑰 ⇨ 𝑽 = −𝑰 𝑹 𝒊𝟑 = −𝒊𝟏 = −𝑰 𝑽 = 𝒗𝟑 O valor de resistência negativa não acontece na natureza. No entanto, a resistência negativa pode representar o modelo do comportamento de um componente eletroeletrônico. 2. Na figura está representado o circuito equivalente de uma válvula termiônica de três elementos (Válvula Tríodo). Determine a Resistência Equivalente vista dos terminais 𝑎𝑏 do circuito. I Rp a P - placa  ·Vg + + G - grade G K - cátodo Vg + K ➢ Escrever as equações 𝑹𝒑 ∙ 𝑰 − 𝝁 ∙ 𝑽𝒈 − 𝑽𝒈 = 𝑽 𝑽𝒈 = −𝑹𝒌 ∙ 𝑰 V - Rk b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑹𝒑 ∙ 𝑰 + 𝝁 ∙ 𝑹𝒌 ∙ 𝑰 + 𝑹𝒌 ∙ 𝑰 = 𝑽 3. 𝑹𝒆𝒒 = [𝑹𝒑 + (𝟏 + 𝝁) ∙ 𝑹𝒌 ] ∙ 𝑰 = 𝑽 ⇨ 𝑽 = 𝑹𝒑 + (𝟏 + 𝝁) ∙ 𝑹𝒌 𝑰 Obtenha a Resistência Equivalente vista dos terminais 𝑎𝑏 do circuito. 6W 10 W 12 W a i + 10 i 2,5 W - b ➢ Aplicar uma fonte de tensão 𝑉 que fornece uma corrente 𝐼 aos terminais 𝑎𝑏 do circuito, 6W 12 W + i + 10 i a I 10 W 2,5 W - V - b ➢ Determinar as tensões de nó do circuito. 6W i + 10 i 12 W 2 a 3 + 2,5 W - V b ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝟏 = 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝜟 𝑽𝟑 = 𝑽 𝑽𝟐 𝑽𝟐 − 𝑽𝟏 + − 𝒊𝜟 = 𝟎 𝟐, 𝟓 𝟏𝟎 𝒊𝜟 + 𝒊𝜟 = 𝑽𝟑 − 𝑽𝟏 −𝑰=𝟎 𝟔 𝑽𝟑 − 𝑽𝟐 𝟏𝟐 ⇨ 𝑽𝟐 = 𝟒 ∙ 𝒊 𝜟 ⇨ 𝑰= ⇨ I 10 W 1 𝑽 − 𝟒 ∙ 𝒊𝜟 𝟔 𝒊𝜟 = 𝑽 𝟏𝟔 - 83 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑰= 𝑽−𝟒∙ 𝟔 4.1.5 𝑽 𝟏𝟔 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 84 𝑽 =𝟖 𝜴 𝑰 Circuitos Contendo Resistências, Fontes Independentes e Dependentes Para determinar a Resistência Equivalente é necessário considerar primeiramente todas as fontes independentes do circuito em repouso e introduzir uma fonte de tensão externa nos terminais do circuito. V1 + - i 3·v a R1 + + R2 20·i v - - b a i 3.v ⇨ I R1 + + 20·i v - - + R2 V b - O valor da Resistência Equivalente é dado pela relação: 𝑹𝒆𝒒 = 4.1.5.1 1. Exercício 𝑽 𝑰 Para o circuito da figura, pede-se determinar a resistência equivalente vista dos terminais 𝑎𝑏. 2W 2W 3 i1 a i1 3W I 1W 6W + 10 V - b 5W ➢ Anular as fontes independentes do circuito e ligar aos terminais ab circuito, uma fonte de tensão 𝑉 que fornece uma corrente 𝐼. 2W 2W 3 i1 a I i1 + 3W 6W 1W V - b 5W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 85 ➢ Redesenhar o circuito. 2W 2W I a 3 i1 i1 + 3W 6W V b ➢ Determinar as correntes do circuito. 2 W 4,5 i1 1,5 i1 2 W i1 3W 0,5 i1 6W - 9 i1 + 1,5 i1 a + 3i 1 + 3 i1 I + 3 i1 V - b ➢ Escrever as equações. 𝑽 = 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝟏 𝑰 = 𝟏, 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 ➢ Resolver o sistema de equações. 4.2 𝑽 = 𝟏𝟎 ∙ 𝑰 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 𝟏𝟎 𝜴 Teorema de Thèvenin Um circuito que contém fontes independentes é dito ser um circuito ativo. Um circuito ativo que contém resistências, ou resistências e fontes controladas, tem como equivalente um circuito composto por uma simples fonte mais uma simples resistência. O teorema de Thèvenin foi publicado em 1883 por Léon Charles Thèvenin, um engenheiro francês que trabalhava em telegrafia, e estabelece que: Qualquer circuito ativo, possuindo apenas um par de terminais, pode ser substituído por uma fonte de tensão equivalente em série com um ramo passivo. A fonte de tensão é a tensão medida nos terminais quando nada está ligado externamente ao circuito. Em outras palavras, é a tensão de circuito aberto. O ramo passivo é o circuito suposto em repouso, no qual todas as fontes independentes são consideradas mortas. Matar as fontes significa substituir todas as fontes de tensão independentes por um curto-circuito, e todas as fontes de corrente independentes por um circuito aberto. Observação: As fontes controladas de tensão e de corrente não podem ser mortas. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos Req i + + Voc v - Figura 4.13 - 4.2.1 1. Equivalente de Thèvenin Exercícios Obtenha o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 do circuito. 2W a 8W 15 A 12 W 10 W b Th Determinar 𝑅𝑒𝑞 . ➢ Substituir a fonte de corrente independente por um circuito aberto. 2W a 8W 12 W 10 W b ➢ Associar as resistências em série. a 20 W 12 W b ➢ Associar as resistências em paralelo. a 7,5 W b Determinar 𝑉𝑜𝑐 . Req Req Req 86 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2W I 8W 15 A 12 W 10 W + a voc - b ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar a corrente 𝐼. 𝑰= 𝟖 ∙ 𝟏𝟓 = 𝟑, 𝟕𝟓 𝑨 𝟖 + 𝟐𝟒 ➢ Determinar 𝑉𝑜𝑐 . 𝑽𝒐𝒄 = 𝟑, 𝟕𝟓 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟒𝟓 𝑽 Outra solução ➢ Definir as malhas do circuito 2W i2 15 A 8W i1 i2 12 W 10 W + a voc - b ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟏 = 𝟏𝟓 𝑨 (𝟐 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟎 + 𝟖) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟖 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ➢ Determinar 𝑉𝑜𝑐 . ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟑, 𝟕𝟓 𝑨 𝑽𝒐𝒄 = 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟑, 𝟕𝟓 = 𝟒𝟓 𝑽 ➢ Equivalente de Thèvenin. 7,5 W a + 45 V b 2. Obtenha o Equivalente de Thèvenin para o circuito da figura. 15 kW a + 8 mA 20 kW 30 V 10 mA 30 kW b Th 87 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos Determinar 𝑅𝑒𝑞 . 88 ➢ Substituir a fonte independente de tensão por um curto-circuito e as fontes independentes de corrente por um circuito aberto. 15 kW a 20 kW 30 kW b ➢ Redesenhar o circuito. a 15 kW 30 kW b Req ➢ Associar as resistências. a 10 kW b Req Determinar 𝑉𝑜𝑐 . 15 kW + + 8 mA 20 kW 30 V a 30 kW Voc 10 mA - - b ➢ Definir os nós do circuito. V1 15 kW + + 8 mA 20 kW 30 V 10 mA - ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝟏 = 𝟑𝟎 𝑽 𝑽𝒐𝒄 − 𝑽𝟏 𝑽𝒐𝒄 + + 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎 𝟑 𝟏𝟓 ∙ 𝟏𝟎 𝟑𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ➢ Determinar 𝑽𝒐𝒄 . Voc a 30 kW Voc - b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 89 𝑽𝒐𝒄 = −𝟖𝟎 𝑽 Outra solução ➢ Simplificar o circuito. A fonte de corrente de 8 𝑚𝐴 e a resistência de 20 𝑘Ω podem ser eliminadas do circuito por estarem em paralelo com a fonte de tensão de 30 𝑉. 15 kW a + 30 V 30 kW 10 mA - b ➢ Determinar 𝑅𝑒𝑞 . 15 kW a 30 kW b ➢ Redesenhar o circuito. a 15 kW 30 kW b Req ➢ Associar as resistências. a 10 kW b Req ➢ Determinar 𝑉𝑜𝑐 . 15 kW + + 30 V 10 mA - ➢ Definir os nós do circuito. a 30 kW Voc - b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos V1 15 kW Voc + + 30 V 90 a 30 kW Voc 10 mA - - b ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝟏 = 𝟑𝟎 𝑽 𝑽𝒐𝒄 − 𝑽𝟏 𝑽𝒐𝒄 + + 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎 𝟑 𝟏𝟓 ∙ 𝟏𝟎 𝟑𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ➢ Determinar 𝑽𝒐𝒄 . 𝑽𝒐𝒄 = −𝟖𝟎 𝑽 ➢ Equivalente de Thèvenin. 10 kW a 80 V + b 3. Obtenha o Equivalente de Thévenin do circuito. 3 ix 2W a ix 24 V + - 4A 8W b Determinar 𝑅𝑒𝑞 . Th ➢ Anular as fontes independentes do circuito e aplicar uma fonte de tensão 𝑉 aos terminais ab do circuito, que fornece uma corrente 𝐼. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3 ix a I 2W ix + 8W V - b ➢ Redesenhar o circuito. ix 2W 3 ix I a + 8W V b - ➢ Escrever as equações do circuito. 𝒊𝒙 = 𝑽 𝑨 𝟖 𝑰 = 𝒊𝒙 + 𝟑 ∙ 𝒊𝒙 + Determinar 𝑉𝑜𝑐 . 𝑽 𝟐 ⇨ 𝑰=𝑽 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 𝟏 𝜴 ➢ Definir as malhas do circuito 3 ix i1 2W + 24 V ix i2 4 A - ix + 8W Voc - ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟏 = −𝟑 ∙ 𝒊𝒙 𝒊𝟐 − 𝒊𝒙 = 𝟒 −𝟐𝟒 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟖 ∙ 𝒊𝒙 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ➢ Determinar 𝑽𝒐𝒄 . 𝑽𝒐𝒄 = 𝟖 ∙ 𝒊𝒙 ⇨ 𝑽𝒐𝒄 = 𝟖 ∙ 𝒊𝒙 𝑽𝒐𝒄 = 𝟖 𝑽 ➢ Equivalente de Thèvenin. ⇨ 𝒊𝒙 = 𝟏 a b 91 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 1W a + 8V b 4. Determine o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 do circuito da figura. 2W - 12 V 2W + a + + Va - 1W 2 Va - 2W 1W b ➢ Determinar 𝑅𝑒𝑞 . 2W 2W + + + Va - 1W 2 Va - a I 2W 1W V b ➢ Definir as correntes e as tensões no circuito. 1/2Va - + 2 Va - 2W Va ++ Va - 2Va 2W - 4Va + + 2 /3 W V 3/2Va a I + V 1W V b ➢ Escrever as equações. 𝑽 = 𝟓 ∙ 𝑽𝒂 ⇨ 𝑽𝒂 = 𝑰 = 𝑽 + 𝟐 ∙ 𝑽𝒂 ⇨ 𝑰= 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽 𝟓 = 𝜴 𝑰 𝟕 Outra Solução ➢ Definir as malhas no circuito. 𝟕 ∙𝑽 𝟓 𝟕 ∙𝑽 𝟓 92 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2W - 12 V 2W + a + + + 1 W i2 Va - i1 2 Va - 2 W i3 1W voc b ➢ Escrever as equações de malha. 𝒗𝒐𝒄 = 𝒊𝟑 𝑽𝒂 = 𝟐 ∙ (𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 ) = 𝟐 ∙ (𝒊𝟐 − 𝒗𝒐𝒄 ) = 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒗𝒐𝒄 −𝟐 ∙ 𝑽𝒂 + (𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟎 −𝟏𝟐 − 𝒊𝟏 + (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟐 + 𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟒 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟎 ⇨ −𝟏 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟏𝟐 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑣𝑜𝑐 . 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 −𝟓 ∙ 𝒊𝟐 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝟏 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 𝟒 ∙ 𝒗𝒐𝒄 =𝟎 𝟓 ∙ 𝒗𝒐𝒄 =𝟎 −𝟐 ∙ 𝒗𝒐𝒄 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟓 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟎 ⇨ = 𝟏𝟐 𝒗𝒐𝒄 = 𝟒, 𝟓 𝑽 Outra Solução ➢ Definir os nós no circuito. 2W V1 - 12 V voc a + + 1W 2 Va 2W + Va - + Va - 2W 1W voc b ➢ Escrever as equações de nós. 𝑽𝒂 − 𝑽𝟏 = 𝟏𝟐 𝑽 ⇨ 𝑽𝒂 = 𝑽𝟏 + 𝟏𝟐 𝑽 𝒗𝒐𝒄 − 𝑽𝒂 𝒗𝒐𝒄 + =𝟎 𝟏 𝟐 ⇨ −𝑽𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟏𝟐 𝑽 𝑽𝟏 − 𝟐 ∙ 𝑽𝒂 𝟐 ∙ 𝑽𝟏 𝑽𝒂 𝑽𝒂 − 𝒗𝒐𝒄 + + + =𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑣𝑜𝑐 . ⇨ 𝟑 ∙ 𝑽𝟏 − 𝒗𝒐𝒄 = 𝟎 93 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟑 ∙ 𝑽𝟏 { −𝑽𝟏 −𝒗𝒐𝒄 𝟑 ∙ 𝒗𝒐𝒄 =𝟎 ⇨ = 𝟏𝟐 𝒗𝒐𝒄 = 𝟒, 𝟓 𝑽 ➢ Equivalente de Thèvenin. 5 /7 W a + 4,5 V b 5. Utilize o Teorema de Thèvenin para determinar a corrente 𝑖0 no circuito. 1W i0 + 18 V 5W 3A 2W 3W ➢ Considerar o circuito para utilizar o teorema de Thèvenin. 1W a + 18 V 3A 5W 3W b Determinar 𝑅𝑒𝑞 Th 1W a 5W 3W b ➢ Redesenhar o circuito. Req 94 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos a 6W 3W b Req ➢ Associar as resistências. a 2W Req b Determinar 𝑉𝑜𝑐 . ➢ Definir os nós no circuito. 1W V1 Voc a + + 18 V 5W 3A - V2 Voc 3W b ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽𝟏 𝑽𝟏 − 𝑽𝒐𝒄 + −𝟑=𝟎 𝟏 𝟓 ⇨ −𝟓 ∙ 𝑽𝒐𝒄 + 𝟔 ∙ 𝑽𝟏 = 𝟏𝟓 𝑽𝒐𝒄 − 𝑽𝟏 𝑽𝟐 + =𝟎 𝟏 𝟑 ⇨ −𝟑 ∙ 𝑽𝟏 + 𝟒 ∙ 𝑽𝒐𝒄 = 𝟏𝟖 𝑽𝒐𝒄 − 𝑽𝟐 = 𝟏𝟖 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑉𝑜𝑐 . 𝟔 ∙ 𝑽𝟏 { −𝟑 ∙ 𝑽𝟏 −𝟓 ∙ 𝑽𝒐𝒄 𝟒 ∙ 𝑽𝒐𝒄 = 𝟏𝟓 = 𝟏𝟖 Outra solução ➢ Definir as malhas do circuito. ⇨ 𝑽𝒐𝒄 = [ [ 𝟔 𝟏𝟓 −𝟑 𝟏𝟖 𝟔 −𝟓 −𝟑 𝟒 ] ] = 𝟏𝟕 𝑽 95 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 1W a + + 18 V 5W i1 3A - i2 Voc 3W b ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟏 = 𝟑 𝑨 (𝟓 + 𝟏 + 𝟑) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟏𝟖 = 𝟎 𝑽𝒐𝒄 = 𝟏𝟖 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 ➢ Equivalente de Thèvenin. ⇨ 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 = −𝟏 ⇨ 𝑽𝒐𝒄 = 𝟏𝟕 𝑽 2W a + 17 V b ➢ Determinar 𝑖0 . 2W a i0 + 2W 17 V - 6. 𝒊𝟎 = b 𝟏𝟕 = 𝟒, 𝟐𝟓 𝑨 𝟐+𝟐 Determine o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 do circuito da figura. 2W - 12 V + 1W 2·Va - 2W + + Va - a 2W 1W b Determinar 𝑅𝑒𝑞 . ➢ Aplicar uma fonte de tensão 𝑉 aos terminais ab do circuito, que fornece uma corrente 𝐼. 96 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2W 2W + + + Va - 1W 2·Va - a I 2W 1W V - b ➢ Definir as correntes e as tensões no circuito. 1/2Va - + 2·Va - 2Va 2W Va ++ Va - 2W a I - 4Va + + 2 /3 W V 3/2Va + V 1W V - b ➢ Escrever as equações do circuito. 𝑽 = 𝟓 ∙ 𝑽𝒂 ⇨ 𝑽𝒂 = 𝑰 = 𝑽 + 𝟐 ∙ 𝑽𝒂 ⇨ 𝑰= 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽 𝟓 = 𝜴 𝑰 𝟕 𝟕 ∙𝑽 𝟓 𝟕 ∙𝑽 𝟓 Determinar 𝒗𝒐𝒄 . ➢ Definir as malhas no circuito. 2W - + 2W + + + 1 W i2 V a - i1 2·Va 12 V - 2 W i3 1W ➢ Escrever as equações de malha. 𝒗𝒐𝒄 = 𝒊𝟑 𝑽𝒂 = 𝟐 ∙ (𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 ) = 𝟐 ∙ (𝒊𝟐 − 𝒗𝒐𝒄 ) = 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒗𝒐𝒄 −𝟐 ∙ 𝑽𝒂 + (𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟎 −𝟏𝟐 − 𝒊𝟏 + (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟐 + 𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ ⇨ ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑣𝑜𝑐 . 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟒 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟎 −𝟏 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟏𝟐 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟓 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟎 a voc - b 97 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 −𝟓 ∙ 𝒊𝟐 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝟏 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 𝟒 ∙ 𝒗𝒐𝒄 =𝟎 𝟓 ∙ 𝒗𝒐𝒄 =𝟎 = 𝟏𝟐 𝟎 −𝟐 ∙ 𝒗𝒐𝒄 ⇨ 98 𝒗𝒐𝒄 = 𝟒, 𝟓 𝑽 Outra solução ➢ Definir os nós no circuito. 2W V1 - 12 V 2W + Va voc a + + + Va - 1W 2 Va - 2W 1W voc b ➢ Escrever as equações de nós. 𝑽𝒂 − 𝑽𝟏 = 𝟏𝟐 𝑽 ⇨ 𝑽𝒂 = 𝑽𝟏 + 𝟏𝟐 𝑽 𝒗𝒐𝒄 − 𝑽𝒂 𝒗𝒐𝒄 + =𝟎 𝟐 𝟏 ⇨ −𝑽𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒗𝒐𝒄 = 𝟏𝟐 𝑽 𝑽𝟏 − 𝟐 ∙ 𝑽𝒂 𝟐 ∙ 𝑽𝟏 𝑽𝒂 𝑽𝒂 − 𝒗𝒐𝒄 + + + =𝟎 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑣𝑜𝑐 . 𝟑 ∙ 𝑽𝟏 { −𝑽𝟏 −𝒗𝒐𝒄 𝟑 ∙ 𝒗𝒐𝒄 =𝟎 = 𝟏𝟐 ⇨ 𝟑 ∙ 𝑽𝟏 − 𝒗𝒐𝒄 = 𝟎 𝒗𝒐𝒄 = 𝟒, 𝟓 𝑽 ➢ Equivalente de Thèvenin. 5 /7 W a + 4,5 V b 7. Encontre o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 do circuito da figura, para determinar a tensão 𝑣0 aplicada sobre uma resistência de 6 Ω ligada aos terminais 𝑎𝑏. 3W - i1 5W 2·i1 8V + 6W a - v0 + b 1W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 99 ➢ Retirar do circuito a resistência de 1 𝛺 que está em paralelo com a fonte de 8 𝑉 e a resistência de 6 𝛺 ligada aos terminais 𝑎𝑏. 3W - i1 5W 2·i1 8V + a b ➢ Determinar o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏. 3W - i1 5W 2·i1 8V + a Th b ➢ Aplicar uma fonte de tensão 𝑉 aos terminais ab do circuito, que fornece uma corrente 𝐼, e determinar as tensões e as correntes no circuito. 3W 5W + 3·i1 - i1 3·i1 2·i1 15·i1 + a b I + V - ➢ Escrever as equações do circuito para determinar 𝑅𝑒𝑞 . 𝑰 = 𝒊𝟏 −𝑽 + 𝟏𝟓 ⋅ 𝒊𝟏 + 𝟑 ⋅ 𝒊𝟏 = 𝟎 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽 = 𝟏𝟖 𝜴 𝑰 ⇨ 𝑽 = 𝟏𝟖 ⋅ 𝑰 Determinar 𝑉𝑜𝑐 . 3W + 3·i1 - i1 5W 10·i1 - 2·i1 8V + + a ➢ Escrever as equações do circuito. 𝒊𝟏 = 𝟎 −𝑽𝒐𝒄 − 𝟖 = 𝟎 ⇨ 𝑽𝒐𝒄 = −𝟖 𝑽 + Voc - b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 100 ➢ Equivalente de Thèvenin. 18 W a 8V + b Determinar 𝑣0 . 18 W a + 6W 8V v0 b + ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar 𝑣0 . 8. 𝒗𝟎 = 𝟔 ∙ (−𝟖) = −𝟐 𝑽 𝟔 + 𝟏𝟖 Encontre o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 do circuito da figura, para determinar a tensão 𝑣0 aplicada sobre uma resistência de 2 Ω ligada aos terminais 𝑎𝑏. v0 + - 2W 4W a + 4W b + + 4W Vx 12 V - 2·Vx - - Determinar o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏. 4W a + Th 4W b + + 4W Vx 12 V - 22 V 22 V 2·Vx - - ➢ Definir as correntes de malha no circuito. 4W + 12 V + 4·i1 -+ i1 - a Vx - ➢ Escrever as equações de malha do circuito + 4W Voc + Vb - b 4W + 4·ix 2·Vx ix + 22 V - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝒊𝟏 = 𝑽𝒙 𝟒 −𝟏𝟐 + 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 + 𝑽𝒙 = 𝟎 ⇨ 𝑽𝒙 = 𝟔 𝑽 −𝑽𝒃 + 𝟒 ∙ 𝒊𝒙 + 𝟐𝟐 = 𝟎 ⇨ 𝑽𝒃 = −𝟐𝟔 𝑽 𝒊𝒙 = −𝟐 ∙ 𝑽𝒙 = −𝟐 ∙ 𝟔 = −𝟏𝟐 𝑨 ➢ Determinar 𝑉𝑜𝑐 . 𝑽𝒐𝒄 = 𝑽𝒙 − 𝑽𝒃 = 𝟒 + 𝟐𝟔 = 𝟑𝟎 𝑽 Determinar 𝑅𝑒𝑞 . ➢ Aplicar uma fonte de tensão 𝑉 aos terminais ab do circuito, que fornece uma corrente 𝐼. V + - 4W I 4W a b + 4W Vx 2·Vx ➢ Associar as resistências em paralelo e redesenhar o circuito. V + - I a b + Vx 2W - 4W 2·Vx I+2·Vx ➢ Escrever as equações do circuito para determinar 𝑅𝑒𝑞 . 𝑽𝒙 = 𝟐 ∙ 𝑰 −𝑽 + 𝑽𝒙 + 𝟒 ∙ (𝑰 + 𝟐 ∙ 𝑽𝒙 ) = 𝟎 ➢ Equivalente de Thèvenin. ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽 = 𝟐𝟐 𝜴 𝑰 22 W a + 30 V b Determinar 𝑣0 . 101 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 102 22 W a + + 2W 30 V - v0 b ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar 𝑣0 . 9. 𝒗𝟎 = 𝟐 𝟔𝟎 ∙ 𝟑𝟎 = = 𝟐, 𝟓 𝑽 𝟐 + 𝟐𝟐 𝟐𝟒 Encontre o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 do circuito da figura, para determinar a potência na fonte de 6 𝐴 da figura, dizendo se é fornecida ou dissipada. 10 W - 24 V + 8W 8W a + 4W 4W 20 V 6A + 2W 2W 5W 40 V - 20 W b 12 A Reduzir o circuito ➢ Eliminar a resistência de 10 Ω, que está em paralelo com um curto-circuito, e a resistência de 2 Ω, que está em paralelo com a fonte de tensão de 40 𝑉. Associar em paralelo as duas resistências de 4 Ω. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 24 V - 8W + 8W a + 20 V 2W - 2W 6A + 5W 40 V 20 W - b 12 A Determinar o equivalente de Thèvenin no circuito a esquerda dos terminais ab. - 24 V + 8W 8W + + 20 V a 2W - 2W Voc + 40 V - 20 W b 12 A Determinar a resistência equivalente do circuito. ➢ Anular as fontes independentes de tensão e corrente. 103 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 104 8W 8W a 2W 2W 20 W b 12 A ➢ Associar as resistências de 8 Ω e as resistências de 2 Ω em paralelo. Associar as resistências resultante em série com a resistência de 20 Ω. 25 W a b Determinar 𝑽𝒐𝒄 . - 24 V + 8W 8W + + 20 V a 2W - 2W Voc + 40 V - 20 W b 12 A ➢ Definir as correntes e tensões sobre os elementos do circuito. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos - 24 V 8W + i1 8W + - + 20 V 2W - i2 2W 105 8·i1 + + a 2·i2 Voc - + 40 V 20·i3 + 20 W - - b 12 A i3 ➢ Escrever as equações. −𝟐𝟒 + (𝟖 + 𝟖) ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ 𝟒𝟎 − 𝟐𝟎 + (𝟐 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝒊𝟑 = −𝟏𝟐 𝑨 ➢ Determinar 𝑉𝑜𝑐 𝑽𝒐𝒄 = 𝟖 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟒𝟎 + 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 ➢ Equivalente de Thèvenin. 𝒊𝟏 = 𝟏, 𝟓 𝑨 ⇨ 𝒊𝟐 = −𝟓 𝑨 ⇨ 𝑽𝒐𝒄 = −𝟏𝟗𝟖 𝑽 25 W a 198 V + b ➢ sobre a fonte de corrente de 6 𝐴. a 25 W v 5W 198 V + ⇨ 6A - - 𝟏𝟗𝟖 − (𝟐𝟓 + 𝟓) ∙ 𝟔 + 𝒗 = 𝟎 + b 𝒗 = −𝟏𝟖 𝑽 O sinal negativo da tensão indica que a corrente está saindo no terminal negativo da fonte. Logo, a fonte está consumindo a potência. ➢ Determinar a potência consumida pela fonte de corrente de 6 𝐴. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑷𝟔𝑨 = 𝒗 ∙ 𝟔 ⇨ 106 𝑷𝟔𝑨 = −𝟏𝟖 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟎𝟖 𝑾 10. No circuito da figura, quando a chave 𝑆 está na posição 1 o amperímetro indica −2 𝐴. Determine a corrente que circula pela resistência de 4 𝛺 quando a chave 𝑆 passa para a posição 2. 8·i 12 W 0,5 W v + 2 S - 2W 1W 1 1W + 3W 120 V 12 W + + - - i 4W A 3·v ➢ Determinar o Equivalente de Thévenin do circuito a direita da chave 𝑆. 8·i 12 W 0,5 W v + - 2W 1W + 1W + 3W 120 V 12 W Voc + - 3·v - i - Determinar 𝑉𝑜𝑐. ➢ Associar as resistências em paralelo e eliminar a fonte controlada de tensão de 3 ∙ 𝑣, uma vez que não há corrente circulando na resistência de 2 Ω 8·i 12 W 0,5 W + v=0 2W + 12 120 V - /5 W 1,25·i ➢ Determinar as correntes de malha no circuito 1W 0 1W + Voc - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 8·i 12 W 0,5 W + v=0 2W + 120 V 12 i1 - /5 W i2 0 1W 1W + Voc - 1,25·i ➢ Escrever as equações de malha. 𝑽𝒐𝒄 = 𝒊𝟐 −𝟏𝟐𝟎 + (𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 𝟏𝟐 ) ∙ 𝒊𝟏 − ∙𝒊 =𝟎 𝟓 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐 ( + 𝟏 + 𝟎, 𝟓) ∙ 𝒊𝟐 − ∙ 𝒊 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟖 ∙ 𝒊 = 𝟎 𝟓 𝟓 𝟏 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟏, 𝟐𝟓 ∙ 𝒊 𝟏𝟗, 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 =𝟎 𝟏, 𝟐𝟓 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑉𝑜𝑐 . 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 −𝑽𝒐𝒄 𝟑, 𝟓 ∙ 𝑽𝒐𝒄 = 𝟓𝟎 =𝟎 ⇨ 𝑽𝒐𝒄 = [ [ ➢ Determinar 𝑅𝑒𝑞. ⇨ 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟓𝟎 ⇨ 𝟏𝟗, 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟎 ∙ 𝒊 = 𝟎 ⇨ 𝒊= ⇨ 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟑, 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝟔 𝟓𝟎 𝟒 𝟎 𝟔 ] −𝟏 𝟒 𝟑, 𝟓 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 𝟏, 𝟐𝟓 = −𝟖 𝑽 ] 2 S 1 Req - -2 A + 8V A + 𝑰𝒔𝒄 = −𝟐 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽𝒐𝒄 =𝟒 𝜴 𝑰𝒔𝒄 ➢ Determinar a corrente sobre a resistência de 4 𝛺. 4W 107 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 108 2 S i 1 4W - + 8V 4W A + 𝒊= −𝟖 = −𝟏 𝑨 𝟒+𝟒 11. Determine os valores de 𝑅 e 𝐸 no circuito representado na Figura 1, sabendo que o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 é o representado na Figura 2. b a 3W 3W 8W 5A 8W 5W E 6W R i 6W 5· i + Figura 1 2W a + 20 V b Figura 2 ➢ Desconsiderar todos os elementos que estão em paralelo com a fonte de tensão 𝐸. b a 3W 3W 5W E i R 6W 6W 5·i + ➢ Determinar o valor de 𝑖 no circuito da figura 1. 𝒊= 𝑬 𝟓 ⇨ 𝟓∙𝒊 =𝑬 ➢ Desconsiderar a resistência de 3 Ω em série com a fonte controlada de corrente 𝐸, e associar as resistências de 6 Ω em paralelo. A fonte controlada de corrente 𝐸 pode ser substituída por uma fonte independente de corrente, uma vez que seu controle é uma fonte independente de tensão. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 109 a b 3W 3W R E E + Determinar 𝑅. ➢ Determinar 𝑅𝑒𝑞 do circuito. Substituir a fonte independente de tensão por um curto-circuito e a fonte independente de corrente por um circuito aberto, e utilizar a fonte auxiliar de tensão 𝑉. - V + I a b 3W 3W R 𝑽 = 𝑹 ⫽ (𝟑 + 𝟑) ∙ 𝑰 𝑹∙𝟔 =𝟐 𝜴 𝑹+𝟔 Determinar 𝐸. 𝑽 𝑹∙𝟔 = 𝑹 ⫽ (𝟑 + 𝟑) = 𝑰 𝑹+𝟔 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = ⇨ 𝑹=𝟑 𝜴 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝑻𝒉 ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar 𝑉𝑜𝑐 . b - Voc + a 3W 3W R E E + 𝑽𝒐𝒄 = 4.3 𝟑 𝟑 ∙𝑬+𝑬 = ∙𝑬+𝑬=𝟓∙𝑬 𝟏𝟐 𝟑+𝑹+𝟔 𝟓 ∙ 𝑬 = 𝟐𝟎 𝑽 ⇨ 𝑬 = 𝟏𝟎 𝑽 ⇨ 𝑽𝒐𝒄 = 𝑽𝑻𝒉 Teorema de Norton O teorema de Norton foi publicado pouco tempo após a publicação do Teorema de Thèvenin por Edward Lawry Norton, um cientista da "Bell Telephone Laboratories", e pode ser considerado como corolário do teorema anterior. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 110 O Teorema de Norton estabelece que: Qualquer circuito ativo, possuindo apenas um par de terminais, pode ser substituído por uma fonte de corrente equivalente em paralelo com um ramo passivo. i + Isc v Req Figura 4.14 - Equivalente de Norton A fonte de corrente é a corrente medida nos terminais quando entre estes está aplicado um curtocircuito. Em outras palavras, é a corrente de curto-circuito. O ramo passivo é o circuito suposto em repouso, no qual todas as fontes independentes são consideradas mortas. 4.3.1 Exercícios 1. Obtenha o Equivalente de Norton do circuito. 12 W 5W 8W a 72 V + 20 W - b ➢ Determinar de 𝐼𝑠𝑐 . 12 W 5W 8W a 72 V + 20 W - Isc b ➢ Definir as malhas do circuito. 12 W 5W i1 8W a 72 V + i2 - 20 W Isc Isc b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Escrever as equações. (𝟏𝟐 + 𝟖 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟖 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 ⇨ −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 (𝟓 + 𝟐𝟎) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐𝟎 ∙ 𝑰𝒔𝒄 − 𝟕𝟐 = 𝟎 −𝟖 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟖 + 𝟐𝟎) ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para Isc. 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟏 −𝟓 ∙ 𝒊𝟐 −𝟖 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟐 −𝟖 ∙ 𝑰𝒔𝒄 =𝟎 𝟐𝟖 ∙ 𝑰𝒔𝒄 =𝟎 −𝟐𝟎 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟕𝟐 Determinar 𝑅𝑒𝑞 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟖 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐𝟎 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟕𝟐 ⇨ −𝟖 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟐𝟖 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 ⇨ 𝑰𝒔𝒄 = [ 𝟐𝟓 −𝟓 −𝟖 −𝟐𝟎 −𝟓 𝟐𝟓 𝟐𝟓 −𝟓 −𝟖 [ −𝟐𝟎 −𝟓 𝟐𝟓 𝟎 𝟕𝟐 𝟎 −𝟖 −𝟐𝟎 𝟐𝟖 12 W 5W 8W a 20 W b Req ➢ Redesenhar o circuito. 8W a 5W 20 W 12 W b ➢ Associar as resistências. a 6W b Req ➢ Equivalente de Norton. ] Req ] = 𝟏𝟎, 𝟖 𝑨 111 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos i + 6W 10,8 A v - 2. Obtenha o Equivalente de Norton do circuito. 12 kW 15 kW a 60 kW 18 mA 36 V + b Determinar a corrente de curto-circuito 𝐼𝑠𝑐 . 12 kW 15 kW a 60 kW 18 mA 36 V Isc + b ➢ Definir as malhas do circuito. 12 kW 15 kW a 18i1mA 36 V i2 60 kW Isc Isc + b ➢ Escrever as equações. 𝟑𝟔 + 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 (𝟏𝟓 + 𝟔𝟎) ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝑰𝒔𝒄 − 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 𝒊𝟐 − 𝒊𝟏 = 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 ➢ Resolver o sistema de equações para Isc. 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒊𝟏 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟏 ∙ 𝒊𝟏 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒊𝟐 −𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝑰𝒔𝒄 𝟏 ∙ 𝒊𝟐 𝟎 ∙ 𝑰𝒔𝒄 −𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝒊𝟐 𝟕𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = −𝟑𝟔 =𝟎 = 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 112 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝑰𝒔𝒄 = [ [ 𝟎 −𝟏 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝟎 −𝟏 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 −𝟑𝟔 𝟏 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 −𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝟏 𝟎 −𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 −𝟔𝟎 ∙ 𝟏𝟎𝟑 Determinar 𝑅𝑒𝑞 𝟎 𝟕𝟓 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ] 113 = 𝟔 𝒎𝑨 ] 12 kW 15 kW a 60 kW b Req ➢ Redesenhar o circuito. 15 kW a 12 kW 60 kW b Req ➢ Associar as resistências. a 25 kW b Req ➢ Equivalente de Norton. i + 6 mA 25 kW v - 4.4 Transformação de Fontes Os teoremas de Thévenin e de Norton provam diretamente a transformação de fontes de tensão reais em fontes de corrente reais e vice-versa. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4.4.1 114 Transformação de fonte de tensão em fonte de corrente Ramos contendo uma fonte de tensão em série com uma resistência podem ser substituídos por um ramo equivalente contendo uma fonte de corrente em paralelo com a mesma resistência. Req i i + + + Voc v - Isc v Req - Figura 4.15 - - Transformação de fonte de tensão em fonte de corrente • Determinação de 𝑅𝑒𝑞 . R Req Figura 4.16 - Resistência equivalente 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹 • Determinação de 𝐼𝑆𝐶 - R + V Isc - Figura 4.17 - Corrente de curto circuito 𝑰𝑺𝑪 = • Equivalentes - R + V i i Figura 4.18 - + + v - 𝑽 𝑹 - V/R R v - Fonte de corrente equivalente da fonte de tensão Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4.4.2 115 Transformação de fonte de corrente em fonte de tensão Ramos contendo uma fonte de corrente em paralelo com uma resistência podem ser substituídos por um ramo equivalente contendo uma fonte de tensão em série com a mesma resistência. Req i + I Voc v - Figura 4.19 - + + v Req i - Transformação de fonte de corrente em fonte de tensão • Determinação de 𝑅𝑒𝑞 Req Req Figura 4.20 - Resistência equivalente 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹 • Determinação de 𝑉𝑂𝐶 - + R I Voc - Figura 4.21 - Tensão de circuito aberto 𝑽𝑶𝑪 = 𝑹 ∙ 𝑰 • Equivalentes - R i + I R v - Figura 4.22 - 4.4.3 1. + R·I i + v - - Fonte de tensão equivalente da fonte de corrente Exercícios Utilize Transformação de Fontes para determinar 𝑣0 no circuito da figura. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 116 2W - i1 5W 2·i1 + 6W a v0 - 1W 8V + b ➢ A resistência de 1 𝛺 está em paralelo com a fonte de 8 𝑉, podendo ser retirada do circuito por não influir na sua solução. 2W - i1 5W 2·i1 8V + 6W - a v0 + b ➢ Transformar a fonte dependente de corrente em fonte dependente de tensão. 2W i1 5W 8V 10·i1 + + - 6W - a v0 + b ➢ Associar as fontes de tensão em série e as resistências em série. 7W i1 8+10·i1 + - 6W a - v0 + b ➢ Escrever as equações. 𝒗𝟎 = 𝟔 ⋅ 𝒊𝟏 𝒗𝟎 = 2. 𝟔 ⋅ (𝟖 + 𝟏𝟎 ⋅ 𝒊𝟏 ) 𝟔+𝟕 𝒗𝟎 = 𝟏𝟔 𝑽 ⇨ 𝒊𝟏 = 𝟖 𝑨 𝟑 Utilize Transformação de Fontes para determinar a corrente 𝑖0 no circuito da figura. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 6W 2W 12 V - 117 + + 4W 1W 6V - 2W i0 ➢ Desprezar as resistências em série que estão em paralelo com a fonte de tensão de 6 𝑉. 2W - 12 V + + 1W 6V - 2W i0 ➢ Transformar as fontes de tensão em fonte de corrente. 3A 2W 1W 2W 6A i0 ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências de 2 Ω em paralelo. 1W 3A 1W i0 ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar 𝑖0 . 3. 𝒊𝟎 = 𝟏 ∙ (−𝟑) = −𝟏, 𝟓 𝑨 𝟏+𝟏 Determine os valores de 𝑅 e 𝐸 no circuito representado na Figura 1, sabendo que o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 é o representado na Figura 2. b a 3W 3W 5A 8W 8W 5W E i + Figura 1 R 6W 6W 5· i Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 118 2W a + 20 V b Figura 2 ➢ Desconsiderar todos os elementos que estão em paralelo com a fonte de tensão 𝐸. b a 3W 3W 5W E 6W R i 6W 5·i + ➢ Determinar o valor de 𝑖 no circuito da figura 1. 𝒊= 𝑬 𝟓 ⇨ 𝟓∙𝒊 =𝑬 ➢ Desconsiderar a resistência de 3 Ω em série com a fonte controlada de corrente 𝐸, e associar as resistências de 6 Ω em paralelo. A fonte controlada de corrente 𝐸 pode ser substituída por uma fonte independente de corrente, uma vez que seu controle é uma fonte independente de tensão. a b 3W 3W R E E + ➢ Aplicar sucessivas transformações de fontes para determinar o Equivalente de Thèvenin do circuito. b b a a R⫽6 Ω R⫽6 Ω E - R 6W E /2 + + E E/2 ·R⫽6 + a + E/2 · R⫽6 + E - b ➢ Igualar o Equivalente de Thèvenin resultante ao circuito da Figura 2. 𝑹 ⫽ 𝟔 = 𝑹𝑻𝒉 𝑬 ∙ 𝑹 ⫽ 𝟔 + 𝑬 = 𝑽𝑻𝒉 𝟐 ⇨ ⇨ 𝑹∙𝟔 =𝟐 𝑹+𝟔 𝟐 ∙ 𝑬 = 𝟐𝟎 ⇨ 𝑹 =𝟑𝜴 ⇨ 𝑬 = 𝟏𝟎 𝑽 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4. 119 Utilize Transformação de Fontes para determinar o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 da resistência de 2 Ω do circuito da figura. 10 A 4W 1W a 40 W 5W 4A 2W + 10 V - b Utilize o resultado obtido para determinar a potência dissipada na resistência de 2 Ω. ➢ Transformar as fontes de corrente em fonte de tensão. 4W 1W + 10 V a 5W 40 W + + 20 V 10 V - - b ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências ligadas em série. a 10 W 40 W + + 10 V 10 V - - b ➢ Transformar as fontes de tensão em fontes de corrente. a 1A 10 W 1/4 A 40 W b ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências ligadas em paralelo. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 120 a 5/4 8W A b ➢ Transformar a fonte de corrente em fonte tensão. 8W + a - b 10 V ➢ Ligar a resistência de 2W aos terminais 𝑎𝑏. 8W a + 2W 10 V - b ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar a tensão sobre a resistência de 2W. 𝒗= 𝟐 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟐 𝑽 𝟐+𝟖 𝑷= 𝒗𝟐 𝟐 𝟐 = =𝟐 𝑾 𝑹 𝟐 ➢ Determinar a potência dissipada sobre a resistência de 2W. 5. Considerando que o circuito da figura se encontra em regime permanente, determine a tensão 𝑉𝑎𝑏 . 3W 6F 8A 2H + 5W 4H 7W 2H 1W - 12 V 10 V - + 5W 1H 5W 2F 4W a 3H 2F 2F b ➢ Substituir as indutâncias por um curto-circuito e as capacitâncias por um circuito aberto, porque o circuito está em regime permanente. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 121 3W 8A + 5W 7W 1W - 12 V 10 V - + 5W 5W 4W a b ➢ Eliminar a resistência de 7 Ω em paralelo com a fonte de tensão de 10 𝑉 por estarem em série com a fonte de corrente de 8 𝐴. 3W 8A 5W 1W - 12 V + 5W 5W 4W a b ➢ Redesenhar o circuito resultante. 8A 1W - 12 V + 5W a b ➢ Redesenhar o circuito e transformar a fonte de tensão de 12𝑉 em fonte de corrente. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 122 5W b 8A 1W 12 A a ➢ Associar as fontes de corrente, transformar a fonte de corrente resultante em fonte de tensão e associar as resistências em série. 6W Vab 4V - 6. b - + + a 𝑽𝒂𝒃 = −𝟒 𝑽 Utilize Transformação de Fontes para determinar a corrente 𝑖0 no circuito da figura. 6W 2W 12 V - + + 4W 1W 6V - 2W i0 ➢ Desprezar as resistências em série que estão em paralelo com a fonte de tensão de 6 𝑉. 2W - 12 V + + 1W 6V - 2W i0 ➢ Transformar as fontes de tensão em fonte de corrente. 3A 2W 1W 2W 6A i0 ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências de 2 Ω em paralelo. 3A 1W 1W i0 ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar 𝑖0 . Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 7. 𝒊𝟎 = 𝟏 ∙ (−𝟑) = −𝟏, 𝟓 𝑨 𝟏+𝟏 Para o circuito da figura, determine o valor de  sabendo-se as leituras do amperímetro. ▪ 𝑆 em 1 ⇨ A = 0,75 𝐴  ·i 12 W - + + ▪ 𝑆 em 2 ⇨ A = 1 𝐴 1 S A 2 a 1W + 6W E 6W 4W 1W + - 1V b i - ➢ Abrir o circuito nos terminais ab.  ·i a - + 12 W + 6W E 6W 4W - i b ➢ Redesenhar o circuito.  ·i a - + 12 W i + 6W E 4W 6W b ➢ Transformar a fonte de tensão 𝐸 em uma fonte de corrente. - +  ·i i E/12 A 12 W 6W 4W a 6W b ➢ Associar as resistências de 12 𝛺, 6 𝛺 e 4 𝛺 em paralelo. 123 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos a - +  ·i 2·i 2W E/12 A 6W b ➢ Considerar a chave 𝑆 em 1. - +  ·i 2·i 1,75/6 + 2W E/12 A + 6W 4·i - a 0,75 + 0,75 - 1,75 1W + - 1V b - ➢ Escrever as equações −𝟒 ⋅ 𝒊 + 𝜷 ⋅ 𝒊 + 𝟏, 𝟕𝟓 = 𝟎 𝑬 𝟏𝟐, 𝟓 𝟏, 𝟕𝟓 = − (𝜷 − 𝟒) 𝟐𝟒 𝟐𝟒 𝟏, 𝟕𝟓 (𝜷 − 𝟒) 𝑬 𝟏𝟐, 𝟓 = +𝒊 𝟐𝟒 𝟐𝟒 ⇨ (𝟏)  ·i + ➢ Considerar a chave 𝑆 em 2 𝒊=− E/12 2·i + 2W 4·i - 𝟏, 𝟕𝟓 𝑬 = 𝟐 ⋅ 𝒊 + 𝟎, 𝟕𝟓 + 𝟔 𝟏𝟐 ⇨ + 1V - - ➢ Escrever as equações. −𝟒 ⋅ 𝒊 + 𝜷 ⋅ 𝒊 + 𝟏 = 𝟎 𝟏 𝑬 =𝟐⋅𝒊+𝟏+ 𝟔 𝟏𝟐 𝟏𝟒 𝟏 𝑬 = − (𝜷 − 𝟒) 𝟐𝟒 𝟐𝟒 ➢ Igualar (1) com (2). ⇨ ⇨ (𝟐) 𝟏𝟐, 𝟓 𝟏, 𝟕𝟓 𝟏𝟒 𝟏 − = − (𝜷 − 𝟒) 𝟐𝟒 (𝜷 − 𝟒) 𝟐𝟒 𝒊=− 𝟏 (𝜷 − 𝟒) 𝑬 𝟏𝟒 = +𝒊 𝟐𝟒 𝟐𝟒 ⇨ 𝜷 = 𝟏𝟔 1/6 A a 6W I + 1V b - 1W 124 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 8. 125 Determine o Equivalente de Thèvenin visto dos terminais 𝑎𝑏 da figura. 4W a 16 W 16 W - 18 W 1/3 A 8V b + Com o circuito equivalente determinado, ligue aos terminais 𝑎𝑏 o circuito da figura e determine a corrente que circula pelos terminais 𝑎𝑏 (módulo e sentido). a 17,8 W Circuito Equivalente + 5V b ➢ Redesenhar o circuito. 4W a 16 W 16 W - 1/3 A 18 W 8V + b ➢ Transformar a fonte independente de tensão de 8 𝑉 em fonte de corrente e associar as resistências. 4W a 1/2 8W A 1/3 A 18 W b ➢ Transformar a fonte independente de corrente de ½ 𝑨 em fonte de tensão e associar as resistências. 12 W a 4V 1/3 A 18 W + b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Transformar a fonte de tensão de 4𝑉 em fonte de corrente. 1/3 A 12 W a 18 W 1/3 A b ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências. a 7,2 W b ➢ Ligar o circuito ao equivalente. a iab 17,8 W 7,2 W + 5V b ➢ Determinar 𝑖𝑎𝑏 . 9. 𝒊𝒂𝒃 = 𝟓 = 𝟎, 𝟐 𝑨 𝟐𝟓 Determine a tensão 𝑉0 no circuito da figura. 1W 1W + 1W 3V + 1W 2W Vo - ➢ Associar as resistências. 2W 1W + + 2W 3V - 1W Vo - 126 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 127 ➢ Transformar a fonte de tensão em fonte de corrente. 1W + 2W 1,5 A 1W 2W Vo - ➢ Associar as resistências e transformar a fonte de corrente em fonte de tensão. 1W 1W + + 1W 1,5 V - Vo - ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝑽𝟎 = 4.5 4.5.1 𝟑 𝟏 ∙ = 𝟎, 𝟓 𝑽 𝟏+𝟏+𝟏 𝟐 Aplicações dos Teoremas de Thèvenin e de Norton Equivalentes para o divisor de tensão No circuito de polarização de transistores sempre é útil saber-se os Equivalentes de Thévenin e de Norton para o circuito da Figura 4.23. R1 + V a R2 b Figura 4.23 - ➢ Determinar 𝑅𝑒𝑞 - Divisor de tensão Teoremas para análise de Circuitos Elétricos R1 a R2 b Req Figura 4.24 - Resistência equivalente do divisor de tensão 𝑹𝒆𝒒 = 𝑹𝟏 ∕∕ 𝑹𝟐 𝑹𝒆𝒒 = ➢ Determinar 𝑉𝑂𝐶 - 𝑹𝟏 ∙ 𝑹 𝟐 𝑹𝟏 + 𝑹 𝟐 R1 + V a + R2 Voc - Figura 4.25 - b Tensão de circuito aberto do divisor de tensão 𝑽𝑶𝑪 = ➢ Determinar 𝐼𝑆𝐶 - 𝑹𝟐 ∙𝑽 𝑹𝟏 + 𝑹𝟐 R1 + V a R2 Isc b Figura 4.26 - ➢ Equivalentes - Corrente de curto circuito do divisor de tensão 𝑰𝑺𝑪 = 𝑽 𝑹𝟏 128 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos + R1⫽ R2 a a 1/ R1·V R2/(R1+R2)·V b Figura 4.27 - 4.5.2 129 R1⫽ R2 b Equivalentes de Thèvenin e de Norton Equivalentes para circuito com diagrama desconhecido Se analisarmos os exemplos de aplicação apresentados até aqui, podemos provar que: 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽𝑶𝑪 𝑰𝑺𝑪 Isto pode ser aplicado na determinação dos equivalentes de Thèvenin e de Norton de um circuito ativo, do qual desconhecemos o diagrama. a Circuito Ativo b Figura 4.28 - Circuito ativo com diagrama desconhecido ➢ Determinar 𝑉𝑂𝐶 a + Circuito Ativo V b Figura 4.29 - Medição da tensão de circuito aberto 𝑽 = 𝑽𝑶𝑪 ➢ Determinar 𝐼𝑆𝐶 - a Circuito Ativo + A b Figura 4.30 - ➢ Determinar R eq - Medição da corrente de curto-circuito 𝑨 = 𝑰𝑺𝑪 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑹𝒆𝒒 = ➢ Equivalentes 130 𝑽𝑶𝑪 𝑽 = 𝑨 𝑰𝑺𝑪 V/A a a + A V V/A - b b Figura 4.31 - 4.5.3 Equivalentes de Thèvenin e de Norton Equivalentes para a característica V-A conhecida Os equivalentes de Thévenin e de Norton podem ser obtidos a partir da característica V-A do circuito, como mostrado na Figura 4.32. V Voc Req a a a + Req Voc Isc I V Voc Isc - b b b a a Req 𝑽𝒐𝒄 𝑰𝒔𝒄 𝑹𝒆𝒒 = ∆𝑽 ∆𝑰 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽𝒐𝒄 𝑰𝒔𝒄 𝑹𝒆𝒒 = ∆𝑽 ∆𝑰 + Isc Voc I V 𝑹𝒆𝒒 = Req a Isc Req I Req - b b b a a Req a Req Isc Voc -Voc V b a Req + b b a a Req Req Req I Figura 4.32 - b b b Equivalente de Thèvenin e de Norton para a característica V-A do circuito Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4.5.3.1 1. 131 Exercícios Substitua a Fonte por seu Equivalente de Thèvenin no circuito da figura. Após, utilizando o Método das Correntes de Malha, determine o valor da fonte de corrente 𝐼, sabendo que a corrente 𝑖 vale 4 𝐴. i I 0,5 W Fonte v 10 4W i 4W - 30 V + 3W 2W 6W -15 ➢ Determinar o circuito equivalente da Fonte a partir da relação V-A. V2 1,5 W Fonte - i2 10 15 V + -15 ➢ Substituir a Fonte pelo seu equivalente no circuito. I i 0,5 W 1,5 W 4W 4W - 30 V + 2W 15 V + ➢ Associar as resistências em série. 3W 6W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos i 132 I 2W 4W 4W - - 15 V 30 V + 2W + 3W 6W ➢ Definir as correntes de malha do circuito. i I 2W I 4W 15 V - 4W 30 V + i 2W i2 + 3W 6W i1 ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊=𝟒 𝑨 𝟏𝟓 + (𝟐 + 𝟒 + 𝟑) ∙ 𝒊 − 𝟒 ∙ 𝑰 − 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ (𝟐 + 𝟔 + 𝟒) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟒 ∙ 𝑰 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ −𝟑𝟎+(𝟑 + 𝟔) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑 ∙ 𝒊 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações para I. −𝟒 ∙ 𝑰 −𝟑 ∙ 𝒊𝟏 −𝟒 ∙ 𝑰 −𝟔 ∙ 𝒊𝟏 𝟎∙𝑰 { 2. 𝟗 ∙ 𝒊𝟏 𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝟔 ∙ 𝒊𝟐 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = −𝟓𝟏 = 𝟒𝟐 =𝟎 −𝟒 ∙ 𝑰 − 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 = −𝟓𝟏 𝟗 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟒𝟐 −𝟒 ∙ 𝑰 − 𝟔 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 | ⇨ 𝑰= −𝟓𝟏 −𝟑 𝟎 −𝟔 | | | 𝟒𝟐 𝟗 −𝟒 −𝟑 −𝟒 −𝟔 𝟎 𝟗 𝟎 −𝟔 𝟏𝟐 𝟎 −𝟔 𝟏𝟐 | | | = 𝟔𝑨 | Para o circuito da figura, determine a corrente 𝑖 para quando a chave 𝑆 estiver fechada, sabendo que com a chave 𝑆 aberta, 𝑖1 = −1 𝐴. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos kE 1W + 1W + E - 1W S i1 v 3W 26 A i - A 133 2W 4W + 1 40 V 1 i B ➢ Determinar o equivalente do circuito B a partir da relação V-A. 1W v 1 i 1 B kE 1W + 1W + E - 1W - ➢ Analisar o circuito 𝐴, para a chave 𝑆 aberta. i1 3W 2W 26 A 4W + 40 V - ➢ Eliminar o resistor de 1 𝛺 na saída do circuito. Transformar a fonte de corrente de 26 𝐴 em uma fonte de tensão. Substituir o valor da corrente 𝑖1 e determinar sobre o circuito os valores de tensão e corrente desenvolvidos em cada um dos componentes. 2 1W kE - + E -1 2W + 6 + 3W + 2 - + + 33 3 + 8 + 52 V ➢ Determinar o valor de 𝑘. 𝑬=𝟑 𝑽 𝒌 ⋅ 𝑬 = 𝒌 ⋅ 𝟑 = 𝟑𝟑 𝑽 4W - 40 V - 1W - 3 + 1W - ⇨ 𝒌 = 𝟏𝟏 ➢ Analisar o circuito 𝐴 ligado ao circuito 𝐵 quando a chave 𝑆 está fechada. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 11·E + + 1W i - 1W 1W 134 - E 2W 3W + 4W + 52 V 1W 40 V - - ➢ Determinar as correntes de malha. 11·E + + E 1W i - 1W 1W - 2W 3W + + i1 52 V 4W i2 1W i 40 V - - ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟏 = 𝑬 𝟔 ⋅ 𝒊𝟏 − 𝟑 ⋅ 𝒊𝟐 − 𝟓𝟐 + 𝟒𝟎 = 𝟎 𝟏𝟏 ⋅ 𝑬 + 𝟖 ⋅ 𝒊𝟐 − 𝟑 ⋅ 𝒊𝟏 − 𝟒 ⋅ 𝒊 − 𝟒𝟎 = 𝟎 3. 𝟔 ⋅ 𝒊 − 𝟒 ⋅ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟐 ⋅ 𝑬 − 𝟒 ⇨ 𝒊 = 𝟏, 𝟕𝟏 𝑨 ⇨ 𝟐𝟑 𝟕 𝑬= ⇨ 𝒊 = 𝟔 ⋅ 𝑬 − 𝟏𝟖 Duas fontes associadas em paralelo, alimentam uma rede através de um divisor de tensão, conforme o circuito da figura. Conhecendo-se as relações V-A de cada uma das fontes e da rede, que estão representadas nos gráficos, determine a tensão 𝑉𝑅 F1 V1 a 120 + VR b 40 - 8W e + c 180 10 25 W V F2 V2 Rede V3 i1 - f 2 i3 d 30 i2 ➢ Encontrar os circuitos equivalentes das fontes e da rede a partir das relações V-A. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3W F1 V1 a a + 120 120 V 40 b i1 6W F2 V2 b c c + 180 180 V 30 d i2 5W Rede V3 d e e f f 10 2 i3 ➢ Substituir os circuitos equivalentes das fontes e da rede no circuito inicial. 3W a + 120 V + 8W VR - b 5W e + 6W 25 W V c + - - f 180 V - d ➢ Redesenhar o circuito. + 3W 6W VR 8W + 120 V + 180 V - + 25 W V - - ➢ Transformar as fontes de tensão em fontes de corrente. 5W 135 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos + VR 8W 3W 40 A 30 A 6W + 25 W V - ➢ Associar as fontes de corrente em paralelo; e as resistências em paralelo. + VR 8W 2W 70 A + 25 W V 5W ➢ Transformar a fonte de corrente em fonte de tensão. + 2W VR 8W + + 140 V 25 W V - - ➢ Calcular o valor de 25 ⫽ 5 𝛺. 𝟐𝟓 ⫽ 𝟓 = 𝟐𝟓 ⋅ 𝟓 𝟏𝟐𝟓 𝟐𝟓 = = 𝜴 𝟐𝟓 + 𝟓 𝟑𝟎 𝟔 ➢ Calcular o valor de 𝑉𝑅 através do divisor de tensão. 𝑽𝑹 = 4. 𝟖 𝟐𝟓 𝟖+𝟐+ 𝟔 ⋅ 𝟏𝟒𝟎 = 𝟒𝟖 ⋅ 𝟏𝟒𝟎 𝟖𝟓 ⇨ 𝑽𝑹 = 𝟕𝟗, 𝟎𝟓𝟗 𝑽 Dadas duas baterias com as seguintes características: 5W 5W 136 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos V 137 V a 12 V c 12 V 11,4 V d b 1A 30 A I Bateria A I Bateria B Pede-se: a) O circuito equivalente da associação em série das duas baterias; b) O circuito equivalente da associação em paralelo das duas baterias; c) O valor da resistência de carga para que haja a máxima transferência de potência, a corrente que circula pela carga, a tensão sobre a carga e a potência dissipada pela carga, nos dois casos acima. ➢ Determinar os circuitos equivalentes das baterias V 12 V a 0,4 W a a + b 0,4 W 30 A 12 V - 30 A I b b V c 12 V 0,6 W c c 11,4 V + d 1A 0,6 W 20 A 12 V - I d d ➢ Determinar o circuito equivalente da associação série das baterias 0,4 W - 12 V + 0,6 W 1W e e + + 24 V 12 V - - f f ➢ Determinar o circuito equivalente da associação paralelo das baterias g 30 A 0,4 W 20 A 0,6 W g 50 A h 0,24 W h ➢ Determinar a corrente, a tensão e a potência máxima dissipada na ligação em série. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 138 1W e + 1W 24 V - f 𝒊= 𝒗= 𝟐𝟒 = 𝟏𝟐 𝑨 𝟏+𝟏 𝟏 ∙ 𝟐𝟒 = 𝟏𝟐 𝑽 𝟏+𝟏 𝑷 = 𝒗. 𝒊 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 𝑾 ➢ Determinar a corrente, a tensão e a potência máxima dissipada na ligação em paralelo. g 50 A 0,24 W 0,24 W h 𝒊= 𝒗= 5. 𝟎, 𝟐𝟒 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓 𝑨 𝟎, 𝟐𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟒 𝟎, 𝟐𝟒 ∙ 𝟎, 𝟐𝟒 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟔 𝑽 𝟎, 𝟐𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟒 𝑷 = 𝒗. 𝒊 = 𝟐𝟓 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟓𝟎 𝑾 Para o circuito determine o valor da tensão 𝑉𝑎𝑏 . 15 W ic 10 W a 2A 10 W + V 30 25 Vab 2A 10 W 10 W 10 W ic /4 A - 1 i b ➢ Aplicar transformação às fontes de corrente, associar as fontes de tensão e as resistências no circuito fora da caixa, transformar em fonte de corrente. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 15 W ic a 10 W 20 W 2A 10 W i c /4 A 10 W b Determinar o Equivalente de Thèvenin do circuito fora da caixa. ➢ Determinar 𝑅𝑒𝑞 15 W I ic a 10 W + 20 W V 10 W 10 W - ic /4 A b ➢ Associar as resistências de 10 Ω em paralelo. 15 W ic I a 10 W 20 W + 5W V - ic /4 A b ➢ Definir as tensões e correntes no circuito. ic 15 W ic /4 ic - - 15 i + a c 10 W + 20 W 5 ic ic /4 I + 5W V - ic /4 A b 139 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Escrever e resolver as equações. 𝑽 = 𝟓 ∙ 𝒊𝒄 + 𝟏𝟓 ∙ 𝒊𝒄 = 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝒄 𝒊𝒄 = 𝑰 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽 = 𝟐𝟎 𝜴 𝑰 Calcular de 𝑉𝑜𝑐 15 W ic a 10 W 20 W 2A 5W + Voc ic /4 A b ➢ Definir as tensões e correntes no circuito. 15 W ic ic /4 a ic / 4 + 10 W + 20 W 5 ic 2A 5 W Voc + Voc - ic / 4 A - b ➢ Escrever e resolver as equações. 𝟏 𝟏 ∙ 𝒊𝒄 + 𝒊𝒄 − ∙ 𝒊𝒄 − 𝟐 = 𝟎 𝟒 𝟒 𝑽𝒐𝒄 = 𝟓 ∙ 𝒊𝒄 = 𝟏𝟎 𝑽 ⇨ 𝒊𝒄 = 𝟐 𝑨 ➢ Equivalente de Thèvenin. 20 W a + 10 V b ➢ Determinar o circuito equivalente da caixa a partir da relação V-A. 140 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 141 5W V + 30 25 30 V 1 i ➢ Substituir o Equivalente de Thèvenin do circuito e a caixa pelo seu equivalente. 20 W + 10 V 5W a + + Vab - 30 V - b ➢ Escrever e resolver a equação. 4.6 𝑽𝒂𝒃 − 𝟏𝟎 𝑽𝒂𝒃 − 𝟑𝟎 + =𝟎 𝟓 𝟐𝟎 ⇨ 𝑽𝒂𝒃 = 𝟐𝟔 𝑽 Teorema do deslocamento de fontes Algumas vezes é interessante transformar uma fonte independente em muitas outras, pois isto pode simplificar a análise do restante do circuito. Quando isto é feito chamamos de deslocamento de fontes. 4.6.1 Deslocamento de fontes de tensão + E 1 Uma fonte de tensão independente que tenha um de seus terminais ligados a mais de um ramo de circuito pode ser desmembrada removendo este nó, desde que cada ramo permaneça interligado em série com uma fonte de tensão de mesmo valor e polaridade. - E 1 V a - V + b E2 a b - V + V E3 + E3 Figura 4.33 - Deslocamento de fonte de tensão E2 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4.6.1.1 Exemplo E5 E2 E5 E3 E2 E3 + E1 142 + E4 V E6 E1 V + V - - 4.6.2 + E4 V - E6 - Deslocamento de fontes de corrente Um procedimento semelhante ao aplicado às fontes de tensão pode ser realizado com as fontes de corrente. Neste caso uma fonte de corrente que interligue dois pontos de um circuito pode ser substituída por outras tantas desde que elas formem um caminho fechado que comece e termine nos mesmos nós da fonte original. I I c c a a E1 E1 E2 E2 d d I E3 E3 E4 E4 b b e I e I Figura 4.34 - Deslocamento de fonte de corrente Da Figura 4.34 vemos que uma fonte de corrente faz circular uma corrente 𝐼 do nó 𝑏 para o nó 𝑎. Em paralelo com esta fonte de corrente há um outro caminho, formado pelos elementos, interligando o nó 𝑏 ao nó 𝑎. Então a fonte de corrente original pode ser removida e outras podem ser colocadas em paralelo com esses elementos. Observe que a corrente 𝐼 movimentada pelas fontes de corrente em paralelo com cada um dos elementos, de forma que toda a corrente que saiu do nó 𝑏 chega ao nó 𝑎, sem alterar as equações de nó do restante do circuito. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4.6.2.1 143 Exemplo I E 5 E E 5 E 6 d E2 E1 d c E3 a 4.6.3 1. E1 I b a E 4 6 E E7 I E2 c E3 I b E7 4 Exercícios Determine 𝑣0 no circuito abaixo. 1W 1W + 1W 3V - + 1A 1W v0 - 1W 1W 1W ➢ Aplicar deslocamento de fonte a fonte de corrente de 1 𝐴 e associar em série as resistências de 1 Ω. 1W 2W + 1W 3V + 1W v0 - 1W 1A 1A 1W ➢ Aplicar transformação de fonte às fontes de corrente de 1 𝐴. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2W 1W + 1W 3V - + 1W 1W - + 1W v0 - 1V 1V - + ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências. 2W 2W 2W + + 2V + 1W v0 - 1V - - ➢ Transformar as fontes de tensão. 2W + 1A 2W 1W 2W 0,5 A v0 - ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências. 2W + 1,5 A 1W 1W v0 - ➢ Transformar a fonte de corrente de 1,5 𝐴 e associar as resistências. 3W + + 1W 1,5 V - ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar 𝒗𝟎 . v0 - 144 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2. 𝒗𝟎 = 𝟏 ∙ 𝟏, 𝟓 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 𝑽 𝟒 145 Utilize Deslocamento e Transformação de Fontes para determinar a tensão 𝑣0 no circuito da figura. 6W 6A - 6W 12 V + + 6W 6 W v0 - ➢ Deslocar a fonte de corrente de 6 𝐴. 6W 6A 6A 12 V 6W + + 6W 6 W v0 - ➢ Transformar as fontes de corrente de 6 𝐴 em fonte de tensão. + - - 36 V 36 V - 6W + 6W + 12 V + 6W 6 W v0 - ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências em série. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 6W 12 W - + + 48 V 146 6 W v0 36 V + - - ➢ Transformar as fontes de tensão em fonte de corrente. + 8A 6W 3A 12 W 6 W v0 - ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências em paralelo. + 2,4 W v0 5A ➢ Determinar 𝑣0 . 3. 𝒗𝟎 = −𝟓 ∙ 𝟐, 𝟒 = −𝟏𝟐 𝑽 Fazendo uso das técnicas de deslocamento e de transformação de fontes, determine o valor da tensão 𝑉0 no circuito. 2A 2W 2A 2W - 1W 2A 2W 1W 2·Vx 2W 1W 1W 12 V + 1W Vx + 1W V0 2A + ➢ Desprezar a resistência de 2 Ω em série com a fonte de corrente de 2 𝐴. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2A 2A 2A 2W - 1W 2W 2W 1W 1W 1W 12 V + Vx + 1 W V0 1W 2·Vx 147 2A + ➢ Verificar que as correntes nas resistências de 1 Ω e de 2 Ω entre as fontes de corrente de 2 𝐴 é nula. 2A 2A 2W - 0A + 0A + - 1W 0V 2W 1W 0V 12 V -+ Vx 2W 1W 2A - 1W + 1W 1W 2·Vx V0 2A + ➢ Substituir as resistências de 1 Ω e de 2 Ω entre as fontes de corrente de 2 𝐴 por um circuito aberto. 2A 2W - - 2W 1W 1W 1W 12 V + Vx + 1W 1W 2·Vx V0 2A + ➢ Deslocar a fonte de corrente de 2 𝐴 superior. 2W - - 2W 2A 1W 2·Vx 1W 1W 12 V + 1W Vx 2A + 1W 2A V0 2A + Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 148 ➢ Associar as fontes de corrente de 2 𝐴 em paralelo e transformar a fonte de corrente de 2 𝐴 em paralelo com a resistência de 1 Ω em fonte de tensão 2W - - 3W 2A 12 V + 1W 1W Vx + 1W V0 2V 1W 2·Vx 4A + + ➢ Transformar a fonte de tensão de 2 𝑉 em uma fonte de corrente e associar as resistências. 2W - - 1W 2/3 A 3W 1W 2·Vx 1W 2A 12 V + Vx + 1W V0 4A + ➢ Associar as fontes de corrente de 2⁄3 𝐴 e de 2 𝑉𝑥 . Transformar a associação em uma fonte de tensão e associar as resistências. Transformar a fonte de tensão resultante em uma fonte de corrente. 2W - 2A 12 V + (3/2 ·Vx – 1/2) A 4W 1W 1W Vx + 1W V0 4A + ➢ Associar as resistências de 4 Ω e de 1 Ω em paralelo. Transformar a fonte de corrente em fonte de tensão. Associar a fonte de tensão resultante com a fonte de 12 𝑉. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 149 2W - 1W 2A 4 (6/5·Vx + 58/5) V Vx + /5 W 1W + V0 4A - + ➢ Transformar a fonte de tensão em fonte de corrente. 2W - 1W 2A Vx + 1W 4 (3/2·Vx + 29/2) V /5 W V0 4A + ➢ Associar as fontes de corrente em fonte de tensão. Associar as resistências. 2A 2-V0 1 W + V x (6/5·Vx + 74/5) V V0 2,8 W - - 2,8 ·V + 0 + 1W - V0 + ➢ Escrever as equações. 𝟔 𝟕𝟒 ⋅𝑽 + + 𝑽𝒙 − 𝟐, 𝟖 ⋅ 𝑽𝟎 − 𝑽𝟎 = 𝟎 𝟓 𝒙 𝟓 ⇨ 𝟏𝟏 ⋅ 𝑽𝒙 + 𝟕𝟒 − 𝟏𝟗 ⋅ 𝑽𝟎 = 𝟎 𝟏𝟏 ⋅ (𝟐 − 𝑽𝟎 ) + 𝟕𝟒 − 𝟏𝟗 ⋅ 𝑽𝟎 = 𝟎 ⇨ 𝑽𝟎 = 𝑽𝒙 = 𝟐 − 𝑽𝟎 𝟗𝟔 = 𝟑, 𝟐 𝑽 𝟑𝟎 4. Utilize Transformação de Fontes para determinar a potência na fonte de 6 𝐴 da figura, dizendo se é fornecida ou dissipada. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 10 W - 24 V 150 8W + 8W a + 4W 4W 20 V 6A + 2W 2W 5W 40 V - 20 W b 12 A Reduzir o circuito ➢ Eliminar a resistência de 10 Ω, que está em paralelo com um curto-circuito, e a resistência de 2 Ω, que está em paralelo com a fonte de tensão de 40 𝑉. Associar em paralelo as duas resistências de 4 Ω. - 24 V 8W + 8W a + 2W 20 V 2W 6A + 5W 40 V - 20 W b 12 A ➢ Transformar as fontes de tensão em fontes de corrente e a fonte de corrente em fonte de tensão. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 151 3A 8W 8W a 6A 10 A 2W 2W 20 A 5W - 240 V + 20 W b ➢ Associar em paralelo as duas resistências de 8 Ω. Associar em paralelo as duas resistências de 2 Ω. Associar em paralelo as fontes de corrente de 10 𝐴 e de 20 𝐴. Transformar as fontes de corrente em fonte de tensão. - 12 V + 4W a 1W 6A + 5W 30 V - - 240 V + 20 W b ➢ Associar em série as resistências e as fontes de tensão. a + 25 W V6A - 6A 5W 198 V + b ➢ Determinar a potência na fonte de corrente de 6 𝐴. 𝑽𝟔𝑨 = −𝟏𝟗𝟖 + (𝟐𝟓 + 𝟓) ∙ 𝟔 = −𝟏𝟖 𝑽 𝑷𝟔𝑨 = 𝑽𝟔𝑨 ∙ 𝟔 = −𝟏𝟖 ∙ 𝟔 = −𝟏𝟎𝟖 𝑾 A corrente está saindo no sinal negativo da tensão 𝑽𝟔𝑨 , indicando que a potência está sendo consumida pela fonte de corrente de 6 𝐴. 5. Determine o valor da tensão 𝑉0 aplicada ao resistor de 4 𝛺 do circuito da figura. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3W 6W 3W 6W 8V + 5W 9A + 12 W 8V + 3A + 3W 4V 5W 4W V0 - - ➢ Aplicar deslocamento de fontes à fonte de tensão de 8 𝑉. 3W - 6W 3W + + 12 W 8V 6W 8V 5W 9A + 8V + 3A + 3W 4V 5W 4W - - ➢ Observar que o circuito a esquerda não interfere no resultado de 𝑉0 , e pode ser eliminado. 3W 6W 8V + 5W 9A + 8V + 3W 5W 4W V0 - ➢ Transformar as fontes de tensão de 8 𝑉 em fontes de corrente. 6W 5W 9A 8/3 A 3W V0 8/3 A 3W + 5W 4W V0 - ➢ Associar em paralelo as fontes de corrente de 8⁄3 𝐴 e as resistências de 3 𝛺. 152 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 6W 153 5W 9A 1,5 W + 5W 4W V0 - ➢ Aplicar o deslocamento de fonte de corrente à fonte de 9 𝐴. 6W 9A 5W 9A 1,5 W + 5W 4W V0 - ➢ Transformar as fontes de corrente de 9 𝐴 em fontes de tensão. + 54 V 1,5 W 45 V - + 6W 5W + 5W 4W V0 - ➢ Associar em série a resistência de 6 𝛺 com a resistência de 5 𝛺 e transformar a fonte de tensão de 54 𝑉 em fonte de corrente. 45 V + 1,5 W 4,91 A 11 W 5W + 4W V0 - ➢ Associar em paralelo as resistências de 11 𝛺 e 1,5 𝛺, e transformar a fonte de corrente de 4,91 𝐴 em fonte de tensão. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 45 V 1,32 W + 5W + + 6,48 V 4W - V0 - ➢ Associar as fontes de tensão e os resistores em série. 6,32 W + + 4W 51,48 V - V0 - ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝑽𝟎 = 𝟒 ⋅ 𝟓𝟏, 𝟒𝟖 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 𝑽 𝟔, 𝟑𝟐 + 𝟒 Outra solução ➢ Definir as malhas do circuito. 6W i2 5W 9A 1,5 W i1 + 5 W i3 4 W V0 - ➢ Escrever as equações de malha. 𝟏𝟐, 𝟓 ⋅ 𝒊𝟏 − 𝟔 ⋅ 𝒊𝟐 − 𝟓 ⋅ 𝒊𝟑 = 𝟎 𝟏𝟏 ⋅ 𝒊𝟐 + 𝟗 ⋅ 𝒊𝟑 − 𝟏𝟏 ⋅ 𝒊𝟏 = 𝟎 𝒊𝟑 − 𝒊𝟐 = 𝟗 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝒊𝟑 . 154 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟐, 𝟓 ⋅ 𝒊𝟏 −𝟔 ⋅ 𝒊𝟐 −𝟓 ⋅ 𝒊𝟑 =𝟎 𝟎 ⋅ 𝒊𝟏 −𝟏 ⋅ 𝒊𝟐 𝟏 ⋅ 𝒊𝟑 =𝟗 −𝟏𝟏 ⋅ 𝒊𝟏 { 𝟏𝟏 ⋅ 𝒊𝟐 𝟗 ⋅ 𝒊𝟑 | ⇨ =𝟎 𝒊𝟑 = | | | ➢ Calcular 𝑉0 . 𝟏𝟐, 𝟓 −𝟔 𝟎 𝟎 −𝟏 𝟗 𝟏𝟐, 𝟓 −𝟔 −𝟓 𝟎 −𝟏 𝟏 −𝟏𝟏 𝟏𝟏 −𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟎 𝟗 | | | = 𝟔𝟒𝟑, 𝟓 = 𝟒, 𝟗𝟖𝟖𝟒 𝑨 𝟏𝟐𝟗 | 𝑽𝟎 = 𝟒 ⋅ 𝒊𝟑 = 𝟒 ⋅ 𝟒, 𝟗𝟖𝟖 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 𝑽 Outra solução ➢ Aplicar uma transformação  para 𝒀, 6W R1 R2 1,5 W 5W 9A + R3 5W 4W V0 - 𝑹𝟏 = 𝑹𝟐 = 𝑹𝟑 = 𝟔 ⋅ 𝟏, 𝟓 𝟗 = = 𝟎, 𝟕𝟐 𝜴 𝟔 + 𝟓 + 𝟏, 𝟓 𝟏𝟐, 𝟓 𝟔⋅𝟓 𝟑𝟎 = = 𝟐, 𝟒 𝜴 𝟔 + 𝟓 + 𝟏, 𝟓 𝟏𝟐, 𝟓 𝟓 ⋅ 𝟏, 𝟓 𝟕, 𝟓 = = 𝟎, 𝟔 𝜴 𝟔 + 𝟓 + 𝟏, 𝟓 𝟏𝟐, 𝟓 0,72 W 2,4 W 5W 9A + 0,6 W 4W V0 - ➢ Eliminar a resistência de 2,4 𝛺 que está em série com a fonte de corrente de 9 𝐴. 155 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 0,72 W 156 5W 9A + 0,6 W 4 W V0 - ➢ Aplicar divisor de corrente para calcular a corrente que circula pela resistência de 4 𝛺. 𝒊= 𝟓 + 𝟎, 𝟕𝟐 𝟓, 𝟕𝟐 ⋅𝟗= ⋅𝟗 𝟓 + 𝟎, 𝟕𝟐 + 𝟒 + 𝟎, 𝟔 𝟏𝟎, 𝟑𝟐 ⇨ ➢ Determinar 𝑉0 . 𝒊 = 𝟒, 𝟗𝟖𝟖𝟒 𝑨 𝑽𝟎 = 𝟒 ⋅ 𝒊 = 𝟒 ⋅ 𝟒, 𝟗𝟖𝟖 = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 𝑽 6. Aplique deslocamento e transformação de fontes para encontrar o equivalente de Thèvenin do circuito para os terminais ab. 1W a 80 V + 5W 80 A - 50 V 20 W + 2W + 5W 5W 90V 6W - b ➢ Aplicar deslocamento de fonte de tensão e de fonte de corrente. 1W a 80 V 80 A + 5W - 50 V 20 W + + 80 A 5W + 90V - 2W 90V - 5W 6W b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 157 ➢ Desconsiderar a fonte de corrente de 80 𝐴 e a resistência de 5 𝛺 em paralelo por estar em paralelo com a fonte de tensão resultante de 40 𝑉. 1W a 80 V + 80 A 5W 20 W + 2W + 5W 90V 40V 6W - - b ➢ Transformar as fontes de tensão em fontes de corrente. 1W a 80 A 16 A 5W 20 W + 2W + 40V 5W 90V 6W - - b ➢ Associar as fontes de corrente em paralelo. Transformar a fonte de corrente em fonte de tensão e associar as fontes de tensão e as resistências em série. a 20 W 6W + 2W + 360V - 90V 5W 6W - b ➢ Transformar a fonte de tensão de 90 𝑉 em fonte de corrente e associar as resistências em paralelo. a 2W 6W + 360V - 4,5 A 4W 6W b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 158 a 6W 6W + + 6W 18 V 360V - - b ➢ Transformar as fontes de tensão de 18 𝑉 e de 360 𝑉 m fonte de corrente e associar as resistências. a 6W 60 A 3W 3A b ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências e transformar em fonte de tensão. 2W + a - b 126 V 7. Determine 𝐸 e o modelo da caixa preta no circuito abaixo sabendo-se que as leituras dos amperímetros são: • Chave na posição 1: 𝐴1 = 1 𝐴 e 𝐴2 = 0,5 𝐴; • Chave na posição 2: 𝐴2 = 0 𝐴. + + E A1 - 6W 1 2 1 + 2 4W 6W 6W A2 Caixa Preta 2A 2W 3A 4W 2W ➢ Determinar o Equivalente de Thèvenin do circuito a esquerda da chave. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos + E a - 6W 4W 2A 6W 6W 3A 2W b ➢ Desconsiderar a resistência de 6 W em série com a fonte de corrente de 2 A. E + a - 6W 4W 2A 6W 2W 3A b ➢ Aplicar deslocamento de fontes à fonte de corrente de 2 A. + E - 6W 6W a 4W 2A 2A 2W 3A b ➢ Associar as fontes de corrente e transformar as fontes de corrente em fonte de tensão. 159 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos + 160 a E - 6W 4W 6W 2W + 10 V 12 V - + b ➢ Associar as resistências e as fontes de tensão. a 12 W 6W + + 12 V (E-10) V - - b ➢ Transformar as fontes de tensão em fontes de corrente. a 12 W 6W 1A (E-10)/6 A b ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências em paralelo e transformar a fonte de corrente resultante em fonte de tensão. 4W (2·E-8)/3 Chave na posição 1. + a - b V 0,5 A 4W 1A + (2·E-8)/3 - + + 4W V Rcp 1V 2W Vcp - Caixa Preta Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Escrever as equações. − 𝟐∙𝑬−𝟖 +𝟖=𝟎 𝟑 ⇨ −𝑽𝑪𝑷 + (𝑹𝑪𝑷 + 𝟐) ∙ 𝟎, 𝟓 = 𝟎 ⇨ Chave na posição 2 𝑬 = 𝟏𝟔 𝑽 𝑹𝑪𝑷 = 𝟐 ∙ (𝑽𝑪𝑷 − 𝟏) 0A 4W Rcp + + Vcp 8V - Caixa Preta 𝑽𝑪𝑷 = 𝟖 𝑽 ⇨ 𝑹𝑪𝑷 = 𝟏𝟒 𝜴 ➢ Equivalente de Thévenin da Caixa Preta 4W 14 W + + 8V 8V - Caixa Preta 8. Determine o valor de 𝑉0 para o circuito 2W + 2V + 2A 6V 4V - + ➢ Deslocar as fontes de corrente de 4 𝐴 e de 2 𝐴. V0 - 3V - 4A 1W + 9W 1W 6W + 12 W 1W 161 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3W 2V + 162 + 4A 12 W 9W 1W 6W 1W - - + 4V 2A 3V - 2A + 6V 4A V0 + - ➢ Eliminar as fontes de corrente de 4 𝐴 e 2 𝐴 em paralelo com a fonte de tensão de 6 𝑉 e a fonte de 2 𝐴 em paralelo com a fonte de tensão de 4 𝑉. 12 W + 2V + + 12 W 36 V 1W 6W V0 - 1W + - + 6V 4V 3V - + - ➢ Transformar a fonte de tensão de 36 𝑉 em fonte de corrente e associar as resistências. + 2V + 6W 3A 1W 6W 1W + - + 6V V0 4V 3V - + - ➢ Transformar a fonte de corrente de 3 𝐴 em fonte de tensão e associar as fontes de tensão. + 6W 6W 1W 1W + + 4V 3V - + 10 V V0 - - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 163 ➢ Deslocar a fonte de tensão de 4 𝑉. + 6W 1W 6W V0 1W + + + 4V 4V 3V - + 10 V - - - - ➢ Transformar as fontes de tensão de 4 𝑉 e de 10 𝑉 em fonte corrente. Eliminar a fonte de tensão de 4 𝑉 e a resistência de 1 𝛺 em paralelo com a fonte de tensão de 3 𝑉. + 1W 5/3 A 6W 2/3 - 6W A V0 + 3V ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências em paralelo e transformar em fonte de tensão. Associar a fonte de tensão resultante com a fonte de tensão de 3 𝑉. + 3W 1W V0 - + + 7V 3V - - ➢ Associar as fontes de tensão em série. 3W + + 4V ➢ Determinar 𝑉0 . 𝑽𝟎 = 𝟏 ∙𝟒=𝟏 𝑽 𝟒 1W V0 - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 9. Determine a potência fornecida ou absorvida pela fonte de tensão de 7 𝑉 do circuito. 2W 2W 2A 4V + + + 7V 6W 4V - ➢ Deslocar a fonte de corrente de 2 𝐴. 2W 2W + + 2A 2A 4V + 7V 6W 4V - - ➢ Transformar as fontes de corrente em fonte de tensão e associar. 2W - + 4V 4V + + - 2W 6W 7V - ➢ Transformar a fonte de tensão de 4𝑉 em fonte de corrente e associar as resistências. 2W + 4V + - 1,5 W 2/3 A 7V - ➢ Transformar as fontes de corrente em fonte de tensão e associar as fontes e as resistências. 164 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 165 3,5 W + 7V 5V - + ➢ Determinar a potência sobre a fonte de 7𝑉. 𝑷𝟕𝑽 = 𝟕+𝟓 ∙ 𝟕 = 𝟐𝟒 𝑾 (𝒇𝒐𝒓𝒏𝒆𝒄𝒊𝒅𝒂) 𝟑, 𝟓 10. Utilize Deslocamento e Transformação de Fontes para determinar o valor de 𝑰 e de 𝑹 no circuito 1 da figura, sabendo que o circuito 2 é o equivalente de Thèvenin do circuito 1. 8W + a 12 V - 15 W 6W a + 3W 3A 3W 5V 4W 5A IA - b Circuito 2 RW b Circuito 1 ➢ Aplicar deslocamento de fonte de tensão e de corrente. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 166 8W + b + 12 V 12 V - - 3W 3W 6W 3A 4W 5A 3A 5A RW IA b ➢ Associar as fontes de corrente. Transformar a fonte de tensão de 12 𝑉 em série com a resistência de 6 Ω em fonte de corrente. 8W b + 12 V - 2A 6W 3A 3W 3W 4W 2A 3A I-5 A RW b ➢ Transformar a fonte de corrente de 𝐼 + 5 𝐴 em fonte de tensão e associar com a fonte de 12 𝑉. Associar em série a resistência de 8 Ω com a de 𝑅 Ω. Associar em paralelo a fonte de corrente de 2 𝐴 com a de 3 𝐴. Associar em paralelo a resistência de 6 Ω com a de 3 Ω. Transformar a fonte de corrente Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 167 resultante em fonte de tensão. Transformar a fonte de corrente de 2 𝐴 em fonte de tensão. Associar em série as fontes de tensão. Associar em série as resistências resultantes. R+8 W a + 12 + (I - 5)·R V - 6W 3W 6V + ➢ b Transformar a fonte de tensão de 6 𝑉 em fonte de corrente. Associar em paralelo a resistência de 6 Ω com a de 3 Ω. Transformar a fonte de corrente resultante em fonte de tensão. R+8 W b + 12 + (I - 5)·R V 2W 2V + b ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências resultantes. R + 10 W + a 10 + (I - 5)·R V - b ➢ Comparar o Equivalente de Thèvenin resultante com o da figura 2 e determinar 𝑹 e 𝑰. R + 10 W + 15 W a 10 + (I - 5)·R V ⇨ a 5V - 𝑹 + 𝟏𝟎 = 𝟏𝟓 + 𝑹=𝟓 𝜴 b - b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos (𝑰 − 𝟓) ∙ 𝑹 + 𝟏𝟎 = 𝟓 ⇨ 𝟓 ∙ 𝑰 = 𝟓 ∙ 𝟓 − 𝟏𝟎 + 𝟓 ⇨ 𝑰=𝟒 𝑨 11. Determine o valor da tensão existente entre os pontos 𝑎𝑏 do circuito. 13 W + 10 V 10 V - - + 3W 2W 14 W + 10 V 2A 15 W 5W 2A 6W a 2A b 7W 20 W - ➢ Redesenhar o circuito para melhor visualização. + 10 V A - B a 14 W 10 V b 2A 7W 15 W 5W 2A 2A 6W 3W + 20 W 2W - - 10 V + 13 W ➢ Obter o Equivalente de Thèvenin do circuito A. + 10 V A - a 14 W 6W 3W + ➢ Deslocar a fonte de tensão de 10 𝑉. 10 V 2W - - 10 V + 168 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 14 W a 6W + + 10 V 10 V 169 - - 3W 2W + + 10 V 10 V - - ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências e transformaras fontes de tensão em fontes de corrente. 14 W a 6W 5/3 10/3 A A 3W 10 A 2W ➢ Associar as fontes de corrente em paralelo. Associar as resistências em paralelo. Transformar as fontes de corrente em fonte de tensão. + 7V - 21/5 W a 6/5 W + 16 V ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos A 27 /5 W a + 9V - ➢ Obter o Equivalente de Thèvenin do circuito B. B 20 W b 7W 2A 5W 15 W 2A 2A ➢ Deslocar a fonte de corrente de 2 𝐴. 7W b 2A 2A 20 W 2A 5W 15 W ➢ Transformar as fontes de corrente em fonte de tensão. 2A 170 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 14 V + 7W - b - 40 V + 20 W 15 W 5W 2A 30 V + ➢ Associar as fontes de tensão em série e as resistências em série. 14 V + 7W - b 40 V 35 W 5W 2A 70 V + ➢ Transformar as fontes de tensão em fontes de corrente. + 14 V 7W - b 5W 2A 2A 35 W ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências em paralelo e transformar em fonte de tensão. + 14 V - 7W a 35/8 W 17,5 V + 171 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 172 ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências em série. B 91 /8 W b + 31,5 V - ➢ Substituir os equivalentes no circuito. A 27 B 91 /5 W /8 W a + b 31,5 V 9V 13 W - + ➢ Determinar 𝑽𝒂𝒃 . 𝑽𝒂𝒃 = 𝟗 + 𝟑𝟏, 𝟓 = 𝟒𝟎, 𝟓 𝑽 12. Utilize Deslocamentos e Transformação de Fontes para determinar a tensão 𝑣0 no circuito da figura. 4W + + 12 W 12 V 62 V 6A - - 6W + 3W 2W 8A v0 - ➢ Aplicar deslocamento de fontes às fontes independentes de tensão e de corrente do circuito. 4W + + + 12 V 12 V - 12 W + 62 V - 62 V - - 6W + 3W 6A 6A 8A 2W v0 - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 173 ➢ Transformar a fonte de tensão de 12 𝑉 em fonte de corrente. Associar em série as fontes de tensão de 12 𝑉 com a de 622 𝑉. Eliminar a resistência de 12 Ω em série com a fonte de tensão de 62 𝑉 por estar em série com a fonte de corrente resultante da associação em paralelo das fontes de corrente de 6 𝐴 com a de 8 𝐴. + 4W 50 V + 6W 2A 3W 2W 14 A 6A v0 - ➢ Associar em paralelo a fonte de corrente de 2 𝐴 com a de 6 𝐴. Associar em paralelo a resistência de 6 Ω com a de 2 Ω. + 4W 50 V + 2W 8A 2W 14 A v0 - ➢ Transformar a fonte de corrente de 8 𝐴 em fonte de tensão. Associar as resistências e as fontes de tensão em série. 6W + 66 V 2W 14 A + - ➢ Transformar a fonte de tensão de 66 𝑉 em fonte de corrente. 11 A v0 6W 2W 14 A + v0 - ➢ Associar em paralelo as fontes de corrente e as resistências. + 3A 3 /2 W v0 - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 174 ➢ Determinar a tensão 𝑣0 𝒗𝟎 = 4.7 𝟑 ∙ 𝟑 = 𝟒, 𝟓 𝑽 𝟐 Princípio da linearidade Em nosso estudo, as resistências, as capacitâncias, as indutâncias e as fontes controladas são consideradas elementos lineares. Qualquer circuito composto por estes elementos será também linear. Circuito Linear e Figura 4.35 - r Circuito linear Sabemos pelo Princípio da Linearidade, que, se o valor da fonte de excitação de um circuito linear for multiplicado por uma constante, a resposta também será multiplicada pela mesma constante. k·e Circuito Linear Figura 4.36 - k·r Princípio da Linearidade Observação: Note que a linearidade não implica necessariamente que a função do tempo de saída tenha a mesma forma que a da entrada. 4.8 Teorema da linearidade O teorema da linearidade estabelece que: A resposta, num ponto qualquer de um Circuito Linear, é proporcional a excitação que a causa. 4.8.1 1. 𝒓= 𝒌∙𝒆 Exemplos Para o circuito da figura deseja-se saber qual o valor da resposta 𝑣0 , quando se aplica como excitação uma fonte de tensão de 5 𝑉, através da aplicação do princípio da linearidade. 2W 1W + + 2W 5V - 3W v0 - ➢ Arbitrar um valor conveniente para 𝑣0 . e determinar os valores das tensões e das correntes sobre cada elemento do circuito, como mostrado na figura. 𝒗𝟎 = 𝟑 𝑽 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos i 2W i1 + i0 + 2W V 1W v1 + v1 - 175 3W - 3V - ➢ Na resistência de 3 Ω onde está aplicada a tensão 𝑣0 , circula uma corrente: 𝒊𝟎 = 𝒗𝟎 𝟑 = =𝟏 𝑨 𝟑 𝟑 ➢ Essa mesma corrente 𝑖0 também circula através da resistência de 1 Ω, fazendo aparecer assim uma tensão: 𝒗𝟏 = 𝒗𝟎 + 𝟏 ∙ 𝒊𝟎 = 𝟑 + 𝟏 = 𝟒 𝑽 ➢ A tensão 𝑣1 está aplicada sobre uma das resistências de 2 Ω, fazendo circular uma corrente sobre ela: 𝒊𝟏 = 𝒗𝟏 𝟒 = =𝟐 𝑨 𝟐 𝟐 ➢ Aplicando a Lei de Kirchhoff das correntes ao nó 𝑣1 , vemos que a esse nó deve chegar uma corrente: 𝒊 = 𝒊𝟏 + 𝒊𝟎 = 𝟐 + 𝟏 = 𝟑 𝑨 ➢ Essa corrente 𝑖 circula através da outra resistência de 2 Ω, fazendo surgir a tensão 𝑉, que é a tensão de excitação. 𝑽 = 𝒗𝟏 + 𝟐 ∙ 𝒊 = 𝟒 + 𝟐 ∙ 𝟑 = 𝟏𝟎 𝑽 3A 2W + 10 V 1W 1A v1 2A + 2W 4V + 3W - - 3V - Podemos observar então, que para uma excitação de 10 𝑉 temos uma resposta de 3 𝑉. ➢ Para uma excitação de 5 𝑉, teremos uma resposta 𝑣0 dada pela regra de três simples a seguir. 𝟏𝟎 𝑽 2. 𝟓𝑽 ⇨ ⇨ 𝟑𝑽 𝒗𝟎 ⇨ 𝒗𝟎 = 𝟓∙𝟑 = 𝟏, 𝟓 𝑽 𝟏𝟎 Utilize o Princípio da Linearidade para determinar a corrente 𝑖0 no circuito, quando 𝐼 for igual a 12 𝐴. 4W 2W i0 8W I 6W 6W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 176 ➢ Arbitrar 𝑖0 = 1 𝐴 e determinar os valores das tensões e das correntes sobre cada elemento do circuito, como mostrado na figura. I-2 2 10/12 12 W 2W + + 4V + I 10 V 6 V I - 𝑰−𝟐= 𝟏𝟎 𝟏𝟐 ⇨ 𝑰= 2 1 1 6W 6W - 𝟑𝟒 𝟏𝟐 ➢ Aplicar uma regra de três simples para calcular 𝑖0 . 𝒊𝒐 = 𝟏 𝑨 4.9 𝒊𝒐 =? ⇨ ⇨ 𝑰= 𝟑𝟒 𝑨 𝟏𝟐 ⇨ 𝑰 = 𝟏𝟐 𝑨 𝒊𝒐 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟒, 𝟐𝟑𝟓 𝑨 𝟑𝟒 𝟏𝟐 Princípio da Superposição Uma das mais importantes consequências da linearidade de um circuito é o Princípio da Superposição. O princípio da superposição estabelece que: A resposta, num ponto qualquer de um sistema linear, a um número de excitações que atuam simultaneamente é simplesmente igual à soma das respostas a cada uma das excitações atuando separadamente, considerando todas as outras em repouso. e1 𝒓 = 𝒓𝟏 + 𝒓 𝟐 Circuito Linear r = r1 + r 2 e2 Figura 4.37 - 4.10 Princípio da superposição Teorema da Superposição O Teorema da Superposição possui grande importância quando tratamos da análise de circuitos que são compostos basicamente por elementos com comportamento linear, ou que estejam operando dentro de sua região linear. Se um circuito linear for excitado simultaneamente por duas ou mais entradas, aplicadas num mesmo ponto ou em diferentes pontos do circuito, a resposta total será a soma das respostas individuais a cada uma das entradas separadamente, considerando todas as outras em repouso. 𝒓 = 𝒌𝟏 ∙ 𝒆 𝟏 + 𝒌 𝟐 ∙ 𝒆 𝟐 Devemos lembrar que uma fonte em repouso é uma fonte com valor zero, e que fontes de tensão e de corrente são equivalentes, respectivamente, a um curto-circuito e a um circuito aberto. Ao contrário de uma fonte independente, o valor de uma fonte controlada depende de outras tensões e correntes no circuito e, portanto, não deve ser tratada como entrada externa. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 177 Observação: Fontes controladas não devem ser colocadas em repouso quando se for aplicar o teorema da superposição. De uma maneira bastante simples e direta, para determinar a resposta total do circuito, devemos: 1. Identificar as fontes independentes e escolher uma sequência para as análises; 2. Selecionar uma das fontes independentes e considerar todas as outras em repouso; 3. Determinar a resposta correspondente - tensão e/ou corrente; 4. Repetir os passos 2 e 3 para todas as fontes independentes; 5. Somar as respectivas respostas para obter a resposta total. 4.10.1 1. Exercícios Determine 𝑉0 no circuito que contém duas fontes independentes, uma de tensão e outra de corrente. 1W + 8V 5W 3A - + 6W 3W V0 - ➢ Considerar a fonte de corrente de 3 𝐴 somente. 1W i01 + 5W 3A 6W 3W - ➢ Associar em paralelo a resistência de 3 Ω com a de 6 Ω. 1W i01 3A 5W 2W + V01 - ➢ Determinar 𝑽𝟎𝟏 . 𝑽𝟎𝟏 = 𝟐 ∙ 𝒊𝟎𝟏 ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar 𝑽𝟎𝟏 . V01 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝒊𝟎 = 178 𝟓 𝟏𝟓 ∙𝟑= 𝑨 𝟓+𝟑 𝟖 𝑽𝟎𝟏 = 𝟐 ∙ 𝟏𝟓 𝟏𝟓 = 𝑽 𝟖 𝟒 ➢ Considerar a fonte de tensão de 8 𝑉 somente. 1W i02 + 8V 5W + 6W - V02 3W - ➢ Associar a resistência de 5 Ω em série com a de 1 Ω, e a resistência resultante associar em paralelo com a de 6 Ω. i02 + 8V + 3W 3W V02 - ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar 𝑉02 . 𝑽𝟎𝟐 = 𝟑 ∙𝟖=𝟒 𝑽 𝟑+𝟑 ➢ Considerar ambas as fontes presentes. 𝑽𝟎 = 𝑽𝟎𝟏 + 𝑽𝟎𝟐 𝑽𝟎 = 𝟏𝟓 𝟑𝟏 +𝟒= 𝑽 𝟒 𝟒 2. Determine a tensão 𝑉0 do circuito, utilizando o Método da Superposição. 4A 2W 2W + + 12 V 2A - ➢ Considerar a fonte de tensão de 12 𝑉 somente. 1W 1W V0 - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2W 2W + + 1W 12 V 1W V01 - ➢ Redesenhar o circuito. 2W + 1W 1W V01 - ➢ Determinar 𝑽𝟎𝟏 . 𝑽𝟎𝟏 = 𝟎 𝑽 ➢ Considerar a fonte de corrente de 2 𝐴 somente. 2W 2W + 1W 2A 1W V02 - ➢ Redesenhar o circuito. 2W + 1W 1W V02 - ➢ Determinar 𝑽𝟎𝟐 . 𝑽𝟎𝟐 = 𝟎 𝑽 ➢ Considerar somente a fonte de corrente de 4 𝐴. 2W 4A 2W + 1W 1W V02 - ➢ Redesenhar o circuito. 179 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 180 2W + 1W 4A 1W V03 - ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar 𝑽𝟎𝟑 . 𝑽𝟎𝟑 = 𝟏 ∙𝟒∙𝟏= 𝟏 𝑽 𝟏+𝟑 ➢ Considerar todas as fontes presentes. 3. 𝑽𝟎 = 𝑽𝟎𝟏 + 𝑽𝟎𝟐 + 𝑽𝟎𝟑 = 𝟎 + 𝟎 + 𝟏 𝑽 = 𝟏, 𝟎 𝑽 Determine a tensão 𝑉0 do circuito, utilizando o Método da Superposição. 4A 25 W 15 W + + 30 W 30 V 50 W - 1A V0 - 40 W ➢ Considerar fonte de tensão de 30 𝑉 somente. 25 W 15 W + + 30 W 30 V - 50 W V01 - 40 W ➢ Redesenhar o circuito. 15 W 25 W + + 30 W 30 V - 50 W 40 W V01 - ➢ Transformar a fonte de tensão de 30 𝑉 em fonte de corrente e associar as resistências em paralelo. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 181 25 W + 10 W 2A 50 W V01 - 40 W ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝑽𝟎𝟏 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟐 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟖 𝑽 𝟏𝟎 + 𝟏𝟏𝟓 ➢ Considerar a fonte de corrente de 4 𝐴 somente. 4A 25 W 15 W + 30 W 50 W V02 - 40 W ➢ Associar a resistência de 15 Ω que está em paralelo com a resistência de 30 Ω . Associar a resistência resultante com a resistência de 40 Ω . Redesenhar o circuito. + 4A 50 W 25 W 50 W V02 - ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝑽𝟎𝟐 = 𝟐𝟓 ∙ (−𝟒) ∙ 𝟓𝟎 = −𝟒𝟎 𝑽 𝟐𝟓 + 𝟏𝟎𝟎 ➢ Considerar somente a fonte de corrente de 1 𝐴. 15 W 25 W + 30 W 50 W 40 W ➢ Redesenhar o circuito. V03 - 1A Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 182 25 W + 10 W 50 W 1A V03 - 40 W ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝑽𝟎𝟑 = 𝟕𝟓 ∙ 𝟏 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟑𝟎 𝑽 𝟕𝟓 + 𝟓𝟎 ➢ Considerar todas as fontes presentes. 4. 𝑽𝟎 = 𝑽𝟎𝟏 + 𝑽𝟎𝟐 + 𝑽𝟎𝟑 = 𝟖 − 𝟒𝟎 + 𝟑𝟎 = −𝟐 𝑽 Utilize o Princípio da Superposição para calcular a corrente 𝑖𝑜 do circuito. 5W 10 W + 40 W i0 45 V - 15 W 10 V + 30 W 8A ➢ Considerar a fonte de tensão de 45 𝑉 somente. 5W 10 W + 45 V 40 W i01 - 15 W 30 W ➢ Associar as resistências de 𝟏𝟎 Ω em série com 𝟑𝟎 Ω, que está em paralelo com a resistência de 𝟒𝟎 Ω e redesenhar no circuito. 5W + 45 V i01 - ➢ Determinar 𝒊𝟎𝟏 . 15 W 20 W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝒊𝟎𝟏 = 𝟒𝟓 𝟗 = 𝑨 𝟒𝟎 𝟖 ➢ Considerar a fonte de corrente de 8 𝐴 somente. 5W 10 W 40 W i02 15 W 30 W 8A ➢ Deslocar a fonte de corrente de 8 𝐴. 5W 10 W 40 W i02 15 W 30 W 8A 8A ➢ Transformar as fontes de corrente de 8 𝐴 em fontes de tensão e associar as resistências. 20 W 40 W 40 W i02 + ➢ 120 V - + 240 V - Transformar a fontes de tensão de 240 𝑉 em fonte de corrente e associar as resistências. 20 W 20 W i02 + 120 V 6A - ➢ Transformar a fonte de corrente de 6 𝐴 em fonte de tensão e associar as fontes de tensão. 183 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 20 W 20 W i02 + 240 V - ➢ Determinar 𝒊𝟎𝟐 . 𝒊𝟎𝟐 = 𝟐𝟒𝟎 =𝟔 𝑨 𝟒𝟎 ➢ Considerar a fonte de tensão de 10 𝑉 somente. 5W 10 W - 40 W i03 15 W 30 W 20 W 40 W 10 V + ➢ Associar as resistências. i03 40 W 10 V + ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝒊𝟎𝟑 = 𝟏𝟎 𝟒𝟎 𝟏 ∙ = 𝑨 𝟖𝟎 + 𝟒𝟎 𝟒𝟎 + 𝟐𝟎 𝟖 𝟔 ➢ Calcular 𝑖0 . 5. 𝒊𝟎 = 𝒊𝟎𝟏 + 𝒊𝟎𝟐 + 𝒊𝟎𝟑 = No circuito quando: 𝑽 = 𝟏𝟎 𝑽, 𝟗 𝟏 + 𝟔 + = 𝟕, 𝟐𝟓 𝑨 𝟖 𝟖 𝑰=𝟓 𝑨 ⇨ 𝑽𝟏 = 𝟒 𝑽 𝑽 = 𝟓 𝑽, 𝑰 = 𝟏𝟎 𝑨 ⇨ 𝒊𝟏 = −𝟐 𝑨 𝑽 = 𝟔 𝑽, 𝑰=𝟓 𝑨 ⇨ 𝒊𝟐 = −𝟑 𝑨 Determine 𝑉2 , quando: 184 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3W i i2 4W i1 + + + 4W V 13·i + - v - Rede linear passiva V2 + V1 - v 3 2W - - I ➢ Associar as resistências de 4 𝛺. i 3W i2 + i1 + + V 13·i + - v - V2 V1 - I ➢ Escrever as equações. −𝒊 + 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝑽𝟐 − 𝑽 + 𝒊𝟐 = 𝟎 𝟐 ⇨ 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒 ∙ 𝒊 + 𝒊𝟐 = ➢ Aplicar o Princípio da Linearidade e Superposição 𝑽 𝟐 𝒙 ∙ 𝑽 + 𝒚 ∙ 𝑰 = 𝑽𝟏 ➢ Aplicar a 1ª condição. 𝑽 = 𝟏𝟎 𝑽, 𝑽 = 𝟓 𝑽, 𝑰=𝟓 𝑨 𝑰 = 𝟏𝟎 𝑨 𝑽𝟏 = 𝟑, 𝟓 ∙ (−𝟐) = −𝟕 ⇨ ⇨ ⇨ 𝑽𝟏 = 𝟒 𝑽 𝒊𝟏 = −𝟐 𝑨 ⇨ ⇨ 𝒙 ∙ 𝟓 + 𝒚 ∙ 𝟏𝟎 = −𝟕 ➢ Resolver o sistema de equações para x e y. 3 - 𝑽𝟐 = 𝟏𝟎 ∙ 𝒊 2W v Rede linear passiva 2W 𝑽𝟏 = 𝟑, 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + 𝒙 ∙ 𝟏𝟎 + 𝒚 ∙ 𝟓 = 𝟒 𝒙 ∙ 𝟓 + 𝒚 ∙ 𝟏𝟎 = 𝑽𝟏 /2 W /2 W 185 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟎 ∙ 𝒙 { 𝟓∙𝒙 𝟓∙𝒚 𝟏𝟎 ∙ 𝒚 =𝟒 ⇨ = −𝟕 𝒙= 𝟒 | | | | 𝟓 −𝟕 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟓 𝟏𝟎 | | | | =𝟏 ⇨ 𝒚= | | | | 𝟒 𝟓 −𝟕 𝟏𝟎 𝟏𝟎 𝟓 𝟓 𝟏𝟎 | | | | 186 = −𝟏, 𝟐 ➢ Aplicar a 2ª condição. 𝑽 = 𝟔 𝑽, 6. 𝑽𝟏 = 𝟎, 𝑰= 𝟓𝑨 𝒊𝟏 = 𝟎 ⇨ 𝒊𝟐 = −𝟑 𝑨 ⇨ 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒 ∙ 𝒊 + 𝒊𝟐 = ⇨ 𝑽 𝟐 𝒙 ∙ 𝑽 + 𝒚 ∙ 𝑰 = 𝑽𝟏 ⇨ 𝒊 = 𝟏, 𝟓 𝑨 ⇨ 𝑽𝟐 = 𝟏𝟓 𝑽 Utilizando o Princípio da Linearidade e o Teorema da Superposição, podemos afirmar que para uma fonte de tensão de 15 𝑉, a tensão 𝑉0 do circuito vale? 5W 5W + + 5V 10 W 5A V0 - - ➢ Considerar a fonte de corrente. 5W 5W + 5A 10 W V01 - ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝑽𝟎𝟏 = 𝟓 ∙ 𝟓 ∙ 𝟏𝟎 = 𝟏𝟐, 𝟓 𝑽 𝟏𝟎 + 𝟓 + 𝟓 ➢ Considerar a fonte de tensão. 5W 5W + 10 W 5V - ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝑽𝟎𝟐 = 𝟏𝟎 ∙ 𝟓 = 𝟐, 𝟓 𝑽 𝟓 + 𝟓 + 𝟏𝟎 + V02 - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Aplicar o Princípio da Linearidade. 𝑽=𝟓 𝑽 𝑽 = 𝟏𝟓 𝑽 ➢ Determinar 𝑉0 ⇨ ⇨ 𝑽𝟎𝟐 = 𝟐, 𝟓 𝑽 ⇨ 𝑽𝟎𝟐 =? 𝑽𝟎𝟐 = 𝟏𝟓 ∙ 𝟐, 𝟓 = 𝟕, 𝟓 𝑽 𝟓 𝑽𝟎 = 𝑽𝟎𝟏 + 𝑽𝟎𝟐 = 𝟏𝟐, 𝟓 + 𝟕, 𝟓 = 𝟐𝟎 𝑽 7. Aplique o Princípio da Superposição para determinar o valor da tensão 𝑉0 no circuito da figura. 10 W 3A 10 W - + + 10 W 30 V 10 W v0 + 60 V - - ➢ Eliminar a resistência de 10 Ω em paralelo com a fonte de tensão de 60 𝑉. 10 W 3A 10 W - + + 10 W 30 V + v0 60 V - - ➢ Considerar a fonte de tensão de 30 𝑉 somente. 10 W 10 W - + 10 W 30 V + v01 - ➢ Redesenhar o circuito. 10 W 10 W 30 V + ➢ Aplicar divisor de tensão. + v01 - 10 W 187 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝒗𝟎𝟏 = 𝟓 ∙ (−𝟑𝟎) = −𝟏𝟎 𝑽 𝟓 + 𝟏𝟎 ➢ Considerar a fonte de corrente de 3 𝐴 somente. 10 W 3A 10 W + 10 W v02 - ➢ Redesenhar o circuito. + 10 W 10 W 10 W v02 3A - ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝒗𝟎𝟐 = 𝟓 ∙ (−𝟑) ∙ 𝟏𝟎 = −𝟏𝟎 𝑽 𝟓 + 𝟏𝟎 ➢ Considerar a fonte de tensão de 60 𝑉 somente. 10 W 10 W + + 10 W v03 60 V - - ➢ Redesenhar o circuito. 10 W + 10 W 10 W v03 - ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝒗𝟎𝟑 = 𝟓 ∙ 𝟔𝟎 = 𝟐𝟎 𝑽 𝟓 + 𝟏𝟎 Determinar 𝑣0 . + 60 V - 188 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝒗𝟎 = 𝒗𝟎𝟏 + 𝒗𝟎𝟐 + 𝒗𝟎𝟑 = −𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 + 𝟐𝟎 = 𝟎 𝑽 189 8. Aplique o Teorema da Superposição para determinar o valor da corrente 𝑖0 do circuito da figura. 4W 12 W i0 + 6W 2A 12 V 24 V - + ➢ Considerar a fonte de tensão de 12 𝑉 somente. 4W 12 W i01 + 6W 12 V ➢ Redesenhar o circuito. 4W i01 + 6W 12 V 12 W - ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝒊𝟎𝟏 = 𝟏𝟐 𝟏𝟐 ∙ =𝟏 𝑨 𝟒 + 𝟒 𝟔 + 𝟏𝟐 ➢ Considerar somente a fonte de corrente de 2 𝐴 somente. 4W 12 W i02 2A 6W ➢ Redesenhar o circuito. i02 4W ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝒊𝟎𝟐 = 𝟑 ∙ (−𝟐) = −𝟎, 𝟔𝟔𝟕 𝑨 𝟑+𝟔 2A 6W 12 W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Considerar a fonte de tensão de 24 𝑉 somente. 4W 12 W i03 - 6W 24 V + ➢ Redesenhar o circuito. 12 W i03 4W - 6W 24 V + ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝒊𝟎𝟑 = 𝟒 𝟐, 𝟒 ∙ (−𝟐𝟒) ∙ = −𝟏, 𝟔 𝑨 𝟒+𝟔 𝟐, 𝟒 + 𝟏𝟐 ➢ Determinar 𝒊𝟎 . 9. 𝒊𝟎 = 𝒊𝟎𝟏 + 𝒊𝟎𝟐 + 𝒊𝟎𝟑 = 𝟏 − 𝟎, 𝟔𝟔𝟕 − 𝟏, 𝟔 = −𝟏, 𝟐𝟔𝟕 𝑨 No circuito da figura, use o Princípio da Superposição para determinar o valor de i0 : • • Antes da fonte de corrente de 10 𝑚𝐴 ser inserida nos terminais 𝑎𝑏; Após a inserção da fonte de corrente de 10 𝑚𝐴 nos terminais 𝑎𝑏. 10 mA a 2 kW b i0 + 10 kW 10 V 18 kW 5 mA 18 kW 5 mA - ➢ Considerar o circuito sem a fonte adicional de 10 𝑚𝐴. a 2 kW i0 + 10 kW 10 V b - ➢ Considerar a fonte de corrente de 5 𝑚𝐴 somente. 190 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2 kW a 191 b i01 18 kW 10 kW 5 mA ➢ Eliminar a resistência de 10 𝑘Ω que tem seus terminais em curto-circuito e redesenhar o circuito. b i01 2 kW 18 kW 5 mA a ➢ Aplicar divisor de corrente. 𝒊𝟎𝟏 = 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟎, 𝟓 𝒎𝑨 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ➢ Considerar a fonte de tensão de 10 𝑉 somente. a 2 kW b i02 + 18 kW 10 kW 10 V - ➢ Eliminar a resistência de 10 𝑘Ω por estar em paralelo com a fonte de tensão de 10 𝑉. a + - ➢ Determinar a corrente 𝒊𝟎𝟐 . 𝟐∙ 𝟏𝟎𝟑 ➢ Determinar 𝑖0 . b i02 18 kW 10 V 𝒊𝟎𝟐 = 2 kW 𝟏𝟎 = 𝟎, 𝟓 𝒎𝑨 + 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟑 𝒊𝟎 = 𝒊𝟎𝟏 + 𝒊𝟎𝟐 = 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏 𝒎𝑨 ➢ Considerar a fonte de corrente de 10 𝑚𝐴 somente. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 192 10 mA a 2 kW b i03 18 kW 10 kW ➢ Eliminar a resistência de 10 𝑘Ω que tem seus terminais em curto-circuito e redesenhar o circuito. b i03 18 kW 2 kW 10 mA a ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar 𝒊𝟎𝟑 . 𝒊𝟎𝟑 = 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ∙ 𝟏𝟎 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟏 𝒎𝑨 𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟑 + 𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎𝟑 ➢ Determinar 𝑖0 . 𝒊𝟎 = 𝒊𝟎𝟏 + 𝒊𝟎𝟐 + 𝒊𝟎𝟑 = 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 + 𝟎, 𝟓 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 + 𝟏 ∙ 𝟏𝟎−𝟑 = 𝟐 𝒎𝑨 10. Utilize o Princípio da Superposição para calcular o 𝑉0 no circuito da figura. 40 W 30 W 7,5 A + + 60 W 180 V 20 W 80 W 25 W V0 - - ➢ Considerar a fonte de tensão de 180 𝑉 somente. 40 W 30 W 20 W + + 60 W 180 V - 80 W V01 25 W - ➢ Eliminar as resistências de 30 Ω em série com a de 60 Ω por estar em paralelo com a fonte de tensão. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 193 40 W 20 W + + 80 W 180 V 25 W V01 - - ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar 𝑽𝟎𝟏 . 𝑽𝟎𝟏 = 𝟐𝟎 𝟖𝟎 ∙ 𝟏𝟖𝟎 ∙ = 𝟒𝟖 𝑽 𝟖𝟎 + 𝟐𝟎 𝟐𝟎 + 𝟒𝟎 ➢ Considerar somente a fonte de corrente 7,5 𝐴. 40 W 30 W 7,5 A 20 W + 60 W 80 W 25 W V02 - ➢ Redesenhar o circuito 7,5 A 20 W + 30 W 60 W 80 W 25 W V02 40 W ➢ Eliminar do circuito o paralelo da resistência de 30 Ω com a de 60 Ω por estar em série com a fonte de corrente de 7,5 𝐴. Associar em série com a resistência de 20 Ω o paralelo da resistência de 25 Ω com a de 40 Ω. + 7,5A 80 W V02 - ➢ Aplicar divisor de corrente para determinar V02 . 𝑽𝟎𝟐 = 𝟒𝟔𝟎 𝟏𝟑 ∙ 𝟕, 𝟓 ∙ 𝟖𝟎 = 𝟏𝟖𝟒 𝑽 𝟒𝟔𝟎 + 𝟖𝟎 𝟏𝟑 ➢ Determinar 𝑉0 . 𝑽𝟎 = 𝑽𝟎𝟏 + 𝑽𝟎𝟐 = 𝟒𝟖 + 𝟏𝟖𝟒 = 𝟐𝟑𝟐 𝑽 460 /13 W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 194 11. No circuito abaixo quando 𝐸 = 8 𝑉 e 𝐼 = 4 𝐴, a tensão 𝑒 = 8 𝑉. Determine o valor de 𝑅, a potência dissipada sobre ele e o valor da corrente 𝑖 quando 𝐸 = 12 𝑉 e 𝐼 = 20 𝐴. + 2W E - 6W 1W 2W i 2W I 4W R + 4W + e - 8·i - ➢ Eliminar do circuito a resistência de 2W em série com a fonte de corrente I e a resistência de 6W em paralelo com a fonte de tensão E. + E 2W - 1W i I 2W 4W R + 4W e + - 8·i ➢ Determinar sobre o circuito os valores de tensão e corrente desenvolvidos em cada um dos componentes. I I VR + E/2 E/R 2W R E + VR = E 2 W 2·i - 4·i + 4·i 1 W i 4W - ➢ Escrever a equação do nó 𝑣𝑅 . 𝑰+𝟐⋅𝒊− 𝑬 𝑬 − =𝟎 𝟐 𝑹 ➢ Primeira condição. { 𝑬= 𝟖𝑽 𝑰=𝟒𝑨 𝒆= 𝟒⋅𝒊 𝟏 𝟏 𝟒 − ( + ) ⋅ 𝟖 = −𝟐 ⋅ 𝟐 𝟐 𝑹 ➢ Segunda condição. { 𝑬 = 𝟏𝟐 𝑽 𝑰 = 𝟐𝟎 𝑨 4W + - 4·i + e = 4·i - ⇨ 𝟏 𝟏 𝑰 − ( + ) ⋅ 𝑬 = −𝟐 ⋅ 𝒊 𝟐 𝑹 ⇨ 𝒆= 𝟖𝑽 ⇨ 𝑹= 𝟐𝜴 ⇨ i 𝒊= 𝟐𝑨 + - 8·i Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟏 𝟏 𝟐𝟎 − ( + ) ⋅ 𝟏𝟐 = −𝟐 ⋅ 𝒊 𝟐 𝟐 ➢ Determinar 𝑃𝑅 . 𝑷𝑹 = 𝑽𝟐𝑹 𝑬𝟐 = 𝑹 𝑹 ⇨ 𝒊 = −𝟒 𝑨 ⇨ 𝑷𝑹 = 𝟕𝟐 𝑾 195 12. Aplique o Teorema da Superposição para determinar a potência dissipada na resistência de 6 Ω conectada aos terminais 𝑎𝑏 do circuito da figura. 1W a 81 V 2W + 5W 90 A - 51 V 6W 20 W + + 5W 90 V 5W - b ➢ Considerar a fonte de corrente de 90 𝐴 somente. 1W a 2W 5W 90 A 6W 20 W 5W 5W b ➢ Eliminar do circuito a resistência de 5 Ω, cujos terminais estão em curto-circuito. Redesenhar o circuito. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 196 1W a 2W 6W 5W 90 A 20 W 5W b ➢ Associar as resistências em paralelo. Associar em série o resultado da associação em paralelo com a resistência de 2 Ω. Transformar a fonte de corrente em fonte de tensão. Associar as resistências em série. 6W a + 6W 450 V 6W - b ➢ Transformar a fonte de tensão em fonte de corrente. Associar as resistências em paralelo. Transformar a fonte de corrente resultante em fonte de tensão. 3W a + 6W 225 V - b ➢ Aplicar divisor de tensão para determinar 𝑽𝒂𝒃𝟏 . 𝑽𝒂𝒃𝟏 = 𝟔 ∙ 𝟐𝟐𝟓 = 𝟏𝟓𝟎 𝑽 𝟑+𝟔 ➢ Considerar a fonte de tensão de 81 𝑉 somente. 1W a 81 V 2W + 5W 6W 20 W 5W 5W b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 197 ➢ Eliminar do circuito a resistência de 5 Ω cujos terminais estão em curto-circuito. Associar em série as resistências de 5 Ω e 1 Ω. Redesenhar o circuito. a 6W 2W 6W 20 W 81 V 5W + b ➢ Associar as resistências em paralelo. Associar em série o resultado da associação em paralelo com a resistência de 2 Ω.. 6W a 6W 81 V 6W + b ➢ Transformar a fonte de tensão em fonte de corrente. Associar as resistências em paralelo. Transformar a fonte de corrente resultante em fonte de tensão. 3W - a 6W 40,5 V + ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝑽𝒂𝒃𝟐 = 𝟔 ∙ (−𝟒𝟎, 𝟓) = −𝟐𝟕 𝑽 𝟑+𝟔 ➢ Considerar a fonte de tensão de 51 V somente. b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 198 1W a 2W 5W 51 V - 6W 20 W + 5W 5W b ➢ Eliminar do circuito a resistência de 5 Ω cujos terminais estão em curto-circuito. Associar em série as resistências de 5 Ω e 1 Ω. Redesenhar o circuito. a 6W 2W 6W 20 W 51 V 5W + b ➢ Associar as resistências em paralelo. Associar em série o resultado da associação em paralelo com a resistência de 2 Ω.. 6W a 6W 51 V 6W + b ➢ Transformar a fonte de tensão em fonte de corrente. Associar as resistências em paralelo. Transformar a fonte de corrente resultante em fonte de tensão. 3W - a 6W 25,5 V + ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝑽𝒂𝒃𝟑 = 𝟔 ∙ (−𝟐𝟓, 𝟓) = −𝟏𝟕 𝑽 𝟑+𝟔 ➢ Considerar a fonte de tensão de 90 𝑉 somente. b Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 199 1W a 2W 5W 6W 20 W + 5W 5W 90 V - b ➢ Eliminar do circuito a resistência de 5 Ω cujos terminais estão em paralelo com a fonte de tensão de 90 𝑉. Associar em série as resistências de 5 Ω e 1 Ω. Redesenhar o circuito. a 6W 2W 20 W 6W + 5W 90 V - b ➢ Definir as correntes de malha. a 6 W i1 2W 20 W 6W i3 + 90 V 5W i2 - b ➢ Escrever as equações de malha. (𝟔 + 𝟐𝟎 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ 𝟐𝟖 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟔 + 𝟓 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟑 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟗𝟎 − 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + (𝟐𝟎 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑖3 . ⇨ −𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟗𝟎 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟐𝟖 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝟐 ∙ 𝒊𝟑 =𝟎 −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 −𝟓 ∙ 𝒊𝟐 +𝟏𝟑 ∙ 𝒊𝟑 =𝟎 −𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟏 { +𝟐𝟓 ∙ 𝒊𝟐 −𝟓 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟗𝟎 ⇨ 𝒊𝟑 = [ [ 𝑽𝒂𝒃𝟒 = 𝟔 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟔 ∙ 𝟔 = 𝟑𝟔 𝑽 𝟐𝟖 −𝟐𝟎 −𝟐 −𝟓 𝟐𝟖 −𝟐𝟎 −𝟐 −𝟐 −𝟓 𝟏𝟑 −𝟐𝟎 −𝟐𝟎 200 𝟎 𝟐𝟓 𝟗𝟎 𝟎 𝟐𝟓 −𝟓 ] = 𝟏𝟔. 𝟐𝟎𝟎 =𝟔 𝑨 𝟐. 𝟕𝟎𝟎 ] ➢ Determinar a potência em 𝑅 = 6 Ω. 𝑽𝒂𝒃 = 𝑽𝒂𝒃𝟏 + 𝑽𝒂𝒃𝟐 + 𝑽𝒂𝒃𝟑 + 𝑽𝒂𝒃𝟒 = 𝟏𝟓𝟎 − 𝟐𝟕 − 𝟏𝟕 + 𝟑𝟔 = 𝟏𝟒𝟐 𝑽 𝑷𝟔 = 𝑽𝒂𝒃 𝟐 (𝟏𝟒𝟐)𝟐 = = 𝟑. 𝟑𝟔𝟎, 𝟔𝟕 𝑾 𝟔 𝟔 13. Utilize o Teorema da Superposição para determinar a potência dissipada na resistência de 36 Ω no circuito da figura. 4W + 16 W + 36 W 16 W 1/3 8V A + P=? - 18 W 6V - - ➢ Considerar somente a fonte de tensão de 8 V. 4W + 16 W + 36 W 16 W V01 - 18 W 8V ➢ Transformar a fonte de tensão de 8 V em fonte de corrente e associar as resistências. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4W + 1/2 8W A 12 W V01 - ➢ Transformar a fonte de corrente de ½ A em fonte de tensão e associar as resistências. 12 W + + 12 W 4V V01 - - ➢ Determinar a tensão V01. 𝑽𝟎𝟏 = 𝟒 ∙ 𝟏 =𝟐 𝑽 𝟐 ➢ Considerar somente a fonte de corrente de 1/3 A. 4W + 16 W 36 W 16 W 1/3 V02 A - ➢ Associar as resistências. + 12 W 1/3 A 12 W V02 - ➢ Determinar a tensão V02. 𝟏 𝑽𝟎𝟐 = −𝟏𝟐 ∙ 𝟑 = −𝟐 𝑽 𝟐 ➢ Considerar somente a fonte de tensão de 6 V. 18 W 201 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 202 4W + 16 W 36 W 16 W + V03 - 18 W 6V - ➢ Associar as resistências m série e paralelo. + 36 W + V03 7,2 W - 6V - ➢ Determinar a tensão V03. 𝑽𝟎𝟑 = − 𝟑𝟔 ∙ 𝟔 = −𝟓 𝑽 𝟑𝟔 + 𝟕, 𝟐 ➢ Determinar V0. 𝑽𝒐 = 𝑽𝟎𝟏 + 𝑽𝟎𝟐 + 𝑽𝟎𝟑 = 𝟐 − 𝟐 − 𝟓 = −𝟓 𝑽 ➢ Determinar P36. 𝑷𝟑𝟔 = (−𝟓)𝟐 = 𝟎, 𝟔𝟗𝟒 𝑾 𝟑𝟔 14. Aplique o Princípio da Superposição e o Método das Correntes de Malha para determinar a tensão 𝑣0 no circuito da figura. 3A 2W 3W 5W 3 IA 3W - + + 2W v0 IA + 36 V - 3W - Aplicar Superposição ➢ Considerar somente a fonte de corrente de 3 𝐴. Definir as corrente de malha. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3A 2W i1 3 W i2 3 IA 5W 3W + - + 2W v01 IA 3W - IA ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟐 = 𝟑 𝟑 ∙ 𝑰𝑨 + (𝟐 + 𝟑 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟓 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟎 (𝟐 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑) ∙ 𝑰𝑨 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟑 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝐼𝐴 . 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐 ∙ 𝑰𝑨 𝟏𝟎 ∙ 𝑰𝑨 =𝟗 =𝟗 ⇨ 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟗 ⇨ −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟏𝟎 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟗 ⇨ 𝑰𝑨 = 𝟏, 𝟓 𝑨 ➢ Determinar 𝑣01 . 𝒗𝟎𝟏 = 𝟑 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟑 ∙ 𝟏, 𝟓 = 𝟒, 𝟓 𝑽 ➢ Considerar somente a fonte de tensão de 36 𝑉. Definir as corrente de malha. 2W i1 5W 3W 3 IA 3W - + + 2W IA + IA 36 V v02 - 3W - ➢ Escrever as equações de malha. 𝟑 ∙ 𝑰𝑨 + (𝟐 + 𝟑 + 𝟓) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟎 −𝟑𝟔 + (𝟐 + 𝟓 + 𝟑 + 𝟑) ∙ 𝑰𝑨 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝐼𝐴 . ⇨ ⇨ 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟎 −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟏𝟎 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟑𝟔 203 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟎 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟐 ∙ 𝑰𝑨 −𝟓 ∙ 𝒊𝟏 𝟏𝟎 ∙ 𝑰𝑨 =𝟎 ⇨ = 𝟑𝟔 204 𝑰𝑨 = 𝟒 𝑨 ➢ Determinar 𝑣02 . 𝒗𝟎𝟐 = 𝟑 ∙ 𝑰𝑨 = 𝟑 ∙ 𝟒 = 𝟏𝟐 𝑽 ➢ Determinar 𝑣0 . 𝒗𝟎 = 𝒗𝟎𝟏 + 𝒗𝟎𝟐 = 𝟒, 𝟓 + 𝟏𝟐 = 𝟏𝟔, 𝟓 𝑽 4.11 Teorema da Máxima Transferência de Potência Qual a resistência de carga 𝑅𝐿 a ser ligada aos circuitos da Figura 4.38, para que ela dissipe a máxima potência possível? R a a + + + RL v V i I R - - - b b A B Figura 4.38 - Resistência de carga Relembrando que a potência pode ser dada por uma dessas expressões: 𝑷=𝒗∙𝒊 𝑷= 𝒗𝟐 𝑹𝑳 𝑷 = 𝒊 𝟐 ∙ 𝑹𝑳 Para o circuito (A), temos: 𝒊= 𝒗= 𝟏 ∙𝑽 𝑹 + 𝑹𝑳 𝑷= v 𝑹𝑳 ∙𝑽 𝑹 + 𝑹𝑳 𝑹𝑳 ∙ 𝑽𝟐 (𝑹 + 𝑹𝑳 )𝟐 que será máxima se: (𝑹 + 𝑹𝑳 )𝟐 − 𝟐 ∙ 𝑹𝑳 ∙ (𝑹 + 𝑹𝑳 ) 𝒅𝑷 = ∙ |𝑽|𝟐 = 𝟎 (𝑹 + 𝑹𝑳 )𝟒 𝒅𝑹𝑳 (𝟏) i RL Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 205 (𝑹 + 𝑹𝑳 )𝟐 − 𝟐 ∙∙ 𝑹𝑳 ∙ (𝑹 + 𝑹𝑳 ) = 𝟎 [(𝑹 + 𝑹𝑳 ) − 𝟐 ∙ 𝑹𝑳 ] ∙ (𝑹 + 𝑹𝑳 ) = 𝟎 𝑹 + 𝑹𝑳 = 𝟎 ⇨ 𝑹𝑳 = −𝑹 (𝑹 + 𝑹𝑳 ) − 𝟐 ∙ 𝑹𝑳 = 𝟎 Para o circuito (B), temos: 𝒊= 𝒗= ⇨ ⇨ 𝒅𝒆𝒔𝒑𝒓𝒆𝒛𝒂𝒅𝒂 𝑹𝑳 = 𝑹 𝑹 ∙𝑰 𝑹 + 𝑹𝑳 𝑷= 𝑹 ∙ 𝑹𝑳 ∙𝑰 𝑹 + 𝑹𝑳 𝑹𝟐 ∙ 𝑹𝑳 ∙𝑰 𝑹 + 𝑹𝑳 Do mesmo modo que para o circuito (A), podemos mostrar que 𝑅𝐿 = 𝑅 também para o circuito (B). 4.11.1 Exemplo Para o circuito da Figura 4.39 desenhe os gráficos de 𝑉𝐿 , 𝐼𝐿 e 𝑃𝐿 em função de 𝑅𝐿 . 5W a + + RL (0 a 10W) v 10 V i - b Figura 4.39 - Circuito alimentando a carga 𝑹𝑳 ➢ Para configurar a Tabela 4-1, devemos determinar os valores da tensão, da corrente e da potência para sobre 𝑅𝐿 , para valores variando de 0 a 10 Ω, conforme as equações: 𝑽𝑳 = 𝑰𝑳 = 𝑹𝑳 ∙ 𝟏𝟎 𝑽 𝑹𝑳 + 𝟓 𝟏𝟎 𝑽 𝑹𝑳 + 𝟓 𝑷𝑳 = 𝑽𝑳 ∙ 𝑰𝑳 Tabela 4-1 - Valores da tensão, corrente e potência para 𝑹𝑳 variando de a 10 Ω RL [W] VL [V] IL [A] PL [W] 0 0,00 2,00 0,00 1 1,67 1,67 2,78 2 2,86 1,43 4,08 3 3,75 1,25 4,69 4 4,44 1,11 4,94 5 5,00 1,00 5,00 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 6 5,45 0,91 4,96 7 5,83 0,83 4,86 8 6,15 0,77 4,73 9 6,43 0,71 4,59 10 6,67 0,67 4,44 206 ➢ Os dados da Tabela 4-1 podem ser plotados conforme mostrado na Figura 4.40. 11 10 9 RL 8 7 VL 6 PL 5 4 3 2 IL 1 RL 0 1 2 3 4 Figura 4.40 - 5 6 7 8 9 10 Gráfico das variáveis da carga Observe da Figura 4.40 que a tensão na carga aumenta à medida que 𝑹𝑳 e a potência fornecida à carga é máxima quando 𝑹𝑳 = 𝑹𝑻𝒉 = 𝟓 𝜴. A razão para esta aparente contradição é porque, à medida que 𝑹𝑳 aumenta, a redução na corrente mais do que compensa o aumento correspondente na tensão. 4.11.2 1. Exercícios Dadas duas baterias com as seguintes características: V V a 12 V c 12 V 11,4 V d b 1A 30 A I Bateria A I Bateria B Pede-se: d) O circuito equivalente da associação em série das duas baterias; e) O circuito equivalente da associação em paralelo das duas baterias; f) O valor da resistência de carga para que haja a máxima transferência de potência, a corrente que circula pela carga, a tensão sobre a carga e a potência dissipada pela carga, nos dois casos acima. ➢ Determinar os circuitos equivalentes das baterias Teoremas para análise de Circuitos Elétricos V 12 V 207 0,4 W a a a + b - 30 A I V b b a a 0,6 W c 12 V 0,4 W 30 A 12 V + 11,4 V d 1A 0,6 W 20 A 12 V - I b b ➢ Determinar o circuito equivalente da associação série das baterias 0,4 W - 12 V + 0,6 W 1W e e + + 12 V 24 V - - f f ➢ Determinar o circuito equivalente da associação paralelo das baterias g g 30 A 0,4 W 20 A 0,6 W 50 A 0,24 W h h ➢ Determinar a corrente, a tensão e a potência máxima dissipada na ligação em série. 1W + e 1W 24 V - 𝒊= 𝒗= f 𝟐𝟒 = 𝟏𝟐 𝑨 𝟏+𝟏 𝟏 ∙ 𝟐𝟒 = 𝟏𝟐 𝑽 𝟏+𝟏 𝑷 = 𝒗. 𝒊 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟐 = 𝟏𝟒𝟒 𝑾 ➢ Determinar a corrente, a tensão e a potência máxima dissipada na ligação em paralelo Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 208 g 50 A 0,24 W 0,24 W h 𝒊= 𝒗= 2. 𝟎, 𝟐𝟒 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟐𝟓 𝑨 𝟎, 𝟐𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟒 𝟎, 𝟐𝟒 ∙ 𝟎, 𝟐𝟒 ∙ 𝟓𝟎 = 𝟔 𝑽 𝟎, 𝟐𝟒 + 𝟎, 𝟐𝟒 𝑷 = 𝒗. 𝒊 = 𝟐𝟓 ∙ 𝟔 = 𝟏𝟓𝟎 𝑾 Determine o valor de 𝑅0 a ser ligado entre os terminais 𝑎𝑏 do circuito para que tenhamos a Máxima Transferência de Potência. Qual é essa potência? 2W a 40 W 10 W 10 A R0 + 200 V - b ➢ Considerar somente o circuito em destaque na figura. 2W a 40 W 10 W 10 A + 200 V - b ➢ Transformar a fonte de tensão de 200 𝑉 em fonte de corrente 2W a 10 W 10 A 10 W 5A b ➢ Associar as fontes de corrente e as resistências em paralelo. Transformar a fonte de corrente resultante numa fonte de tensão e associar as resistências. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 209 10 W a + 120 V - b ➢ Aplicar uma resistência de 𝑅0 = 10 Ω aos terminais 𝑎𝑏. 10 W a + 10 W 120 V - b ➢ Determinar a potência sobre 𝑅0 . 3. 𝑷𝑹𝟎 𝟏𝟐𝟎 𝟐 =( ) ∙ 𝟏𝟎 = 𝟑𝟔𝟎 𝑾 𝟐𝟎 Utilize o teorema de Thévenin para determinar o valor e a potência da resistência a ser conectada aos terminais ab do circuito da figura, de modo que ocorra a máxima transferência de potência. 2·I0 6W 4W - + a 2W 14 V + 4W 6A I0 b Determinar 𝑅𝑒𝑞 . ➢ Substituir a fonte de tensão independente por um curto-circuito e a fonte de corrente independente por um circuito aberto e aplicar uma fonte de tensão auxiliar 𝑉 fornecendo uma corrente 𝐼 ao circuito. 2·I0 6W 4W I - + a 2W + 4W V - b I0 ➢ Redesenhar o circuito. 2·I0 4W I - + a 6W 2W I0 + 4W V b - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Determinar as tensões e correntes sobre o circuito. 2·I0 4 4 W /3 I0 - + - 16/ I + 3 0 + + 6W 2W 1/3 I0 I0 I 2·I0 a ¼V 4W V V - - + - b ➢ Escrever as equações. 𝟐 ⋅ 𝑰𝟎 + 𝟐 ⋅ 𝑰𝟎 + 𝑰= 𝟏𝟔 ⋅𝑰 =𝑽 𝟑 𝟎 𝟒 𝟏 ⋅ 𝑽 + ⋅ 𝑰𝟎 𝟑 𝟒 ➢ Determinar 𝑉𝑜𝑐 . ⇨ 𝑰𝟎 = ⇨ 𝑰= 𝟑 ⋅𝑽 𝟐𝟖 𝟏𝟏 ⋅𝑽 𝟐𝟖 ⇨ 2·I0 6W 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽 𝟐𝟖 = 𝜴 𝑰 𝟏𝟏 4W - + + 2W 14 V + 4W 6A a Voc - I0 b ➢ Determinar as tensões e correntes sobre o circuito. 1/3 I0 +7/3 4 7 6 W /3 I0 + /3 2·I04 /3 I0 + 25/3 4 W - - 2 I0 -14 + 2W 14 V + I0 + - + + 2 I0 + 6 A 2 I0 + 2·I0 4 I0 - - - + 4W a Voc b ➢ Escrever as equações. 𝟒 𝟐𝟓 𝟖 ∙ ( ∙ 𝑰𝟎 + ) = 𝟒 ∙ 𝑰𝟎 𝟑 𝟑 𝑽𝒐𝒄 = 𝟐 ⋅ 𝑰𝟎 ➢ Determinar 𝑅𝐿 . ⇨ ⇨ 𝟏 𝟒 𝟐𝟓 ∙𝑰 − ∙𝑰 = 𝟐 𝟎 𝟑 𝟎 𝟑 𝑽𝒐𝒄 = −𝟐𝟎 𝑽 28 - a 28 + 𝑰𝟎 = −𝟏𝟎 𝑨 /11 W 20 V ➢ Determinar 𝑃𝑅𝐿 . ⇨ b /11 W 210 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑷𝑹𝑳 = 4. 𝟏𝟎𝟐 = 𝟑𝟗, 𝟐𝟖𝟔 𝑾 𝟐𝟖 𝟏𝟏 211 A resistência variável 𝑹𝟎 no circuito da figura é ajustada para que haja a máxima transferência de potência. Utilizando o Teorema de Thèvenin, determine o valor de 𝑹𝟎 e da potência dissipada em 𝑹𝟎 . R0 5W 2W + 3W - v 1W + 46,8 V 2,5·v A + - 42,4 V - ➢ Redesenhar o circuito. + a + 2W v 46,8 V 1W + - 42,4 V - 5W R0 - 3W 2,5·v A b Determinar 𝑉𝑜𝑐 . + v 46,8 V - 2,5·v A 42,4 V + - a + 1W 2W + - 5 W Voc 3W b ➢ Definir as correntes de malha. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos + 1W + - + - - i3 5 W Voc 3W i2 2,5·v A Voc /5 V a 2W v 46,8 V 42,4 V V /2 V + i1 b ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊𝟑 = 𝑽𝒐𝒄 𝟓 𝒊𝟐 = 𝟐, 𝟓 ∙ 𝒗∆ ⇨ 𝒗∆ = 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 ⇨ −𝟒𝟔, 𝟖 + (𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒𝟐, 𝟒 − 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟎, 𝟔 ∙ 𝑽𝒐𝒄 = 𝟒, 𝟒 (𝟓 + 𝟐 + 𝟑) ∙ 𝒊𝟑 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ −𝟏𝟕 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟓 ∙ 𝑽𝒐𝒄 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝐕𝐨𝐜 . −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟏𝟕 ∙ 𝒊𝟏 𝟎, 𝟔 ∙ 𝑽𝒐𝒄 𝟓 ∙ 𝑽𝒐𝒄 𝒊𝟐 = 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝑽𝒐𝒄 = 𝟒, 𝟒 ⇨ =𝟎 𝑽𝒐𝒄 = 𝟑𝟕𝟒 𝑨 Determinar 𝐼𝑠𝑐 . a + + v 46,8 V 42,4 V + - - 1W 2W 5W Isc 3W 2,5·v A b ➢ Eliminar do circuito a resistência de 5 Ω em paralelo com o curto-circuito. a + + v 46,8 V - 2,5·v A 42,4 V + - 1W 2W Isc 3W b 212 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos ➢ Definir as correntes de malha. a + + i1 v 46,8 V 42,4 V 1W + - - 2W Isc i3 3W i2 2,5·v A b ➢ Escrever as equações de malha. 𝒗∆ = 𝟐 ∙ (𝒊𝟏 − 𝑰𝒔𝒄 ) 𝒊𝟐 = 𝟐, 𝟓 ∙ 𝒗∆ ⇨ 𝒊𝟐 = 𝟓 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝑰𝒔𝒄 (𝟐 + 𝟑) ∙ 𝑰𝒔𝒄 − 𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ −𝟏𝟕 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟎 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 ⇨ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟔, 𝟖 𝑨 −𝟒𝟔, 𝟖 + (𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟏 + 𝟒𝟐, 𝟒 − 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑰𝒔𝒄 . −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 { −𝟏𝟕 ∙ 𝒊𝟏 𝟑 ∙ 𝑰𝒔𝒄 𝟐𝟎 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟒, 𝟒 =𝟎 ⇨ −𝟐 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟑 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟒, 𝟒 ➢ Determinar 𝑅𝑒𝑞 . 𝑹𝒆𝒒 = 𝑽𝒐𝒄 𝟑𝟕𝟒 = = 𝟓𝟓 𝜴 𝟔, 𝟖 𝑰𝒔𝒄 Outra Solução ➢ Matar as fontes independentes de tensão e aplicar uma fonte de tensão 𝑉 aos terminais 𝑎𝑏. I a + v 1W 2W + - 5W V - 2,5·v A 3W b ➢ Redesenhar o circuito. 213 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 214 I a + 1W v 2W + - 5W 2,5·v A V - 3W b ➢ Associar as resistências em paralelo. I v V /5 1,5 v + 2 /3 W + + 2,5·v A 4,5 v a 5W V 3W - - b ➢ Escrever as equações do circuito para determinar a 𝑹𝒆𝒒 . −𝑰 + 𝑽 + 𝟏, 𝟓 ∙ 𝒗∆ − 𝟐, 𝟓 ∙ 𝒗∆ = 𝟎 𝟓 ⇨ −𝟓 ∙ 𝑰 + 𝑽 − 𝟓 ∙ 𝒗∆ = 𝟎 𝒗∆ + 𝟒, 𝟓 ∙ 𝒗∆ = 𝑽 ⇨ 𝒗∆ = −𝟓 ∙ 𝑰 + 𝑽 − 𝟓 ∙ ⇨ 𝟓𝟓 ∙ 𝑰 = 𝑽 𝑹𝒆𝒒 = 𝟓𝟓 𝜴 𝟐 ∙𝑽=𝟎 𝟏𝟏 ➢ Determinar 𝑅0 . 𝟐 ∙𝑽 𝟏𝟏 55 W + a 55 W 374 V - b ➢ Determinar 𝑃𝑅0 . 5. 𝑷𝑹𝟎 𝟑𝟕𝟒 𝟐 ) = 𝟔𝟑𝟓, 𝟖𝟎 𝑾 = 𝟐 𝟓𝟓 ( Determine o valor da resistência 𝑅0 a ser ligada entre os terminais 𝑎𝑏 da figura, de modo que ela dissipe a máxima potência possível. Qual é o valor da potência dissipada pela resistência? Teoremas para análise de Circuitos Elétricos - + 125·i 4W 8W a i + + 80 W 100 V - R0 16 W 50 V 12 W - b ➢ Considerar o circuito para determinar o Equivalente de Thèvenin - + 125·i 4W 8W a + i + + 80 W Voc 100 V - 16 W 50 V 12 W - - b Determinar 𝑽𝒐𝒄 . ➢ Definir as malhas no circuito. 4W i1 i2 - 8W a + i + 100 V - + 125·i + 80 W Voc 16 W - i3 12 W 50 V - b ➢ Escrever as equações de malha. 𝒊 = 𝒊𝟑 − 𝒊𝟐 ⇨ −𝟏𝟎𝟎 + (𝟒 + 𝟏𝟔 + 𝟖𝟎) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟖𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 ⇨ 𝟏𝟐𝟓 ∙ 𝒊 + (𝟖 + 𝟒) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟖 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 𝟓𝟎 + (𝟖 + 𝟏𝟐 + 𝟖𝟎) ∙ 𝒊𝟑 − 𝟖 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟖𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑖. ⇨ ⇨ 𝒊𝟑 = 𝒊𝟐 + 𝒊 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟏𝟕 ∙ 𝒊 = 𝟎 −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟖𝟎 ∙ 𝒊 = 𝟏𝟎𝟎 −𝟖 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒊 = −𝟓𝟎 215 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟏 −𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝟖 ∙ 𝒊𝟏 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝟏𝟏𝟕 ∙ 𝒊 =𝟎 𝟏𝟎𝟎 ∙ 𝒊 = −𝟓𝟎 −𝟖𝟎 ∙ 𝒊 𝒊= = 𝟏𝟎𝟎 [ [ ➢ DeterminarVoc . 𝟏𝟐 −𝟏𝟐 −𝟖 𝟐𝟎 −𝟓𝟎 𝟏𝟐 −𝟏𝟐 𝟏𝟏𝟕 −𝟖 𝟐𝟎 −𝟒 𝟎 𝟐𝟎 −𝟒 216 𝟏𝟎𝟎 𝟐𝟎 −𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟎 ] = −𝟎. 𝟓𝟗𝟗 𝑨 ] 𝑽𝒐𝒄 = 𝟖𝟎 ∙ (−𝒊) = 𝟖𝟎 ∙ 𝟎, 𝟓𝟗𝟗 ≅ 𝟒𝟖 𝑽 Determinar 𝐼𝑠𝑐 . ➢ Aplicar um curto-circuito entre os terminais 𝑎𝑏. A corrente 𝑖 se torna nula e com ela a fonte de tensão de 125 ∙ 𝑖 também se anula. - + 125·i = 0 4W 8W + 100 V - i=0 a 80 W Isc 16 W + 50 V - b 12 W ➢ Definir as malhas no circuito. i1 4W 8W a + Isc i2 100 V - 16 W + i3 b 12 W 50 V - ➢ Escrever as equações de malha. (𝟖 + 𝟒) ∙ 𝒊𝟏 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟖 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟏𝟎𝟎 + (𝟒 + 𝟏𝟔) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 𝟓𝟎 + (𝟖 + 𝟏𝟐) ∙ 𝒊𝟑 − 𝟖 ∙ 𝒊𝟏 = 𝟎 𝑰𝒔𝒄 = 𝒊𝟐 − 𝒊𝟑 ⇨ ⇨ ⇨ 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟒 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟖 ∙ 𝒊𝟑 = 𝟎 −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑖2 e 𝑖3 . −𝟖 ∙ 𝒊𝟏 + 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = −𝟓𝟎 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝟏𝟐 𝟏𝟐 ∙ 𝒊𝟏 −𝟒 ∙ 𝒊𝟐 −𝟖 ∙ 𝒊𝟑 =𝟎 −𝟖 ∙ 𝒊𝟏 𝟎 ∙ 𝒊𝟐 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟑 = −𝟓𝟎 −𝟒 ∙ 𝒊𝟏 { 𝟐𝟎 ∙ 𝒊𝟐 ➢ Determinar 𝑰𝒔𝒄 . 𝟎 ∙ 𝒊𝟑 𝒊𝟐 = = 𝟏𝟎𝟎 [ −𝟒 −𝟖 [ = −𝟐, 𝟓𝟎 𝑨 𝟎 −𝟖 −𝟓𝟎 𝟐𝟎 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏𝟐 −𝟒 −𝟖 −𝟖 𝟎 𝟐𝟎 −𝟒 𝟐𝟎 𝟎 ] = 𝟓, 𝟎𝟎 𝑨 ] 𝒊𝟑 = [ 𝟏𝟐 −𝟒 −𝟖 𝟎 −𝟒 [ 𝟐𝟎 𝟎 𝟏𝟎𝟎 −𝟓𝟎 𝟏𝟐 −𝟒 −𝟖 −𝟖 𝟎 𝟐𝟎 −𝟒 𝟐𝟎 217 𝟎 ] ] 𝑰𝒔𝒄 = 𝟓, 𝟎𝟎 + 𝟐, 𝟓𝟎 = 𝟕, 𝟓𝟎 𝑨 ➢ Determinar o 𝑅𝑒𝑞 . 𝑹𝒆𝒒 = 𝟒𝟖 𝑽𝒐𝒄 = = 𝟔, 𝟒𝟎 𝜴 𝑰𝒔𝒄 𝟕, 𝟓 ➢ Calcular a potência dissipada em 𝑅0 . 6,4 W a + 6,4 W 48 V - 6. 𝑷𝑹𝟎 = ( b 𝟒𝟖 𝟐 ) ∙ 𝟔, 𝟒 = 𝟗𝟎 𝑾 𝟐 ∙ 𝟔, 𝟒 Qual a resistência a ser conectada aos terminais ab, de modo que tenhamos a máxima dissipação de potência? Qual é esta potência? 4W - 20 V + - 14 V + 4 /3 W 4V 6A 4W + A 8A + 6A a 6W 1W b ➢ Substituir os instrumentos ideais por seus circuitos equivalentes. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4W 20 V - - + 14 V 218 + 4 4V /3 W 4W 6A + 8A 6A a 6W 1W b ➢ Transformar a fonte de corrente de 6 𝐴, que está em paralelo com a resistência de 4 𝛺, em uma fonte de tensão. 4W - 20 V - + 14 V + - + 4 4V /3 W 24 V + - 8A 1W a 6W 6A 4W b ➢ Associar a resistência de 4 𝛺 com a resistência de 1 𝛺. 4W - 20 V - + 14 V + + 4 4V 24 V - + 8A /3 W 6A a 6W 5W b ➢ Transformar a fonte de tensão de 24 𝑉 em uma fonte de corrente. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 4W - 20 V - + 14 V 219 + 4 4V /3 W + 8A 5W a 6A 24/5 A 6W b ➢ Associar a fonte de corrente de 24/5 𝐴 com a fonte de corrente de 6 𝐴. Transformar a fonte de corrente resultante em uma fonte de tensão e associar com a fonte de tensão de 14 V. 4W - 20 V + - 4 4V /3 W 20 V + + 8A a 6W 5W b ➢ Aplicar deslocamento de fonte de tensão na fonte de tensão de 4 𝑉. 4W - - 20 V + - 4 4V 4V + + 8A /3 W 20 V + a 6W 5W b ➢ Anular a fonte de tensão de 4 𝑉 por estar em série com a fonte de corrente de 8 𝐴 e associar a fonte de tensão de 4 𝑉 com a fonte de tensão de 20 𝑉 que está em série com a resistência de 4 𝛺. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos - 16 V 220 + 4 4W /3 W 20 V + a 8A 6W 5W b ➢ Transformar a fonte de tensão de 16 𝑉 em uma fonte de corrente. 4A 4 4W /3 W 20 V + a 8A 6W 5W b ➢ Associar a resistência de 4 𝛺 com a resistência de 4/3 𝛺 e transformar a fonte de corrente de 4 𝐴 em fonte de tensão. 1W + - 4V 20 V - + a 8A 6W 5W b ➢ Associar as fontes de tensão e as resistências em série e transformar a fonte de tensão resultante em uma fonte de corrente. a 4A 6W 8A 6W b ➢ Associar as fontes de corrente em paralelo; e as resistências em paralelo. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 221 a 3W 4A b ➢ Para que tenhamos a máxima dissipação de potência devemos associar aos terminais ab uma resistência de 3 Ω. i a 3W 4A 3W b ➢ Aplicar divisor de corrente para calcular a potência dissipada na resistência de 3 𝛺. 𝒊= 𝟐𝑨 7. 𝑷 = 𝟑 ⋅ 𝒊𝟐 = 𝟑 ⋅ 𝟐𝟐 = 𝟏𝟐 𝑾 No circuito da figura quando 𝑉 = 90 𝑉 e 𝐼 = 15 𝐴, a resistência 𝑅𝑃 dissipa a máxima potência, o voltímetro indica 𝑉0 = 45 𝑉 e o amperímetro indica 𝐼0 = −15 𝐴. 4W R1 R + + I Rp V = V0 + 12 W V + V1 - V1 A = I0 R2 + - Determine a leitura do voltímetro e do amperímetro quando 𝑉 = 20 𝑉, 𝐼 = 10 𝐴 e 𝑅𝑃 caindo para a terça parte de seu valor inicial. ➢ Determinar a expressão de 𝑽𝟏 . 4W R1 + I + 12 W V V1 R2 - Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 222 ➢ Associar a resistência de 12 𝛺 com a resistência de 4 𝛺. Transformar a fonte de corrente em fonte de tensão e a fonte de tensão em fonte de corrente - 3I + 3W + R1 1 / R1V R2 V1 - ➢ Transformar a fonte de corrente em fonte de tensão, associar as fontes de tensão e as resistências. + R1⫽ R2 3W + R2/(R1+R2)·V+3·I V1 - - ➢ Escrever a expressão da tensão de controle 𝑉1 . 𝑽𝟏 = 𝒌𝟏 = 𝑹𝟐 ⋅𝑽+𝟑⋅𝑰 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 𝑹𝟐 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 ➢ Considerar o circuito. ⇨ 𝑽𝟏 = 𝒌 𝟏 ⋅ 𝑽 + 𝒌 𝟐 ⋅ 𝑰 ⇨ 𝒌𝟐 = 𝟑 + R Rp V1 + i - A = I0 + para: 𝑽 = 𝟗𝟎 𝑽 𝑰 = 𝟏𝟓 𝑨 𝒊 = −𝑰𝟎 } ⇨ 𝑰𝟎 = −𝟏𝟓 𝑨 ⇨ 𝒊 = 𝟏𝟓 𝑨 ⇨ 𝑽𝟎 = 𝟒𝟓 𝑽 ➢ Aplicar o Teorema da Máxima Transferência de Potência. 𝑹 = 𝑹𝑷 = 𝑽𝟎 𝟒𝟓 = =𝟑𝜴 𝟏𝟓 𝒊 V = V0 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 223 ➢ Escrever a equação da malha 𝑖. 𝑽𝟏 = (𝑹 + 𝑹𝑷 ) ⋅ 𝒊 ⇨ 𝑽𝟏 = 𝟗𝟎 𝑽 ➢ Aplicar o Teorema da Linearidade. 𝑽𝟏 = 𝒌 𝟏 ⋅ 𝑽 + 𝒌 𝟐 ⋅ 𝑰 Para: 𝑹𝟐 𝟏 = 𝟐 𝑹𝟐 + 𝑹𝟏 𝑽 = 𝟐𝟎 𝑽 𝑰 = 𝟏𝟎 𝑨 } ⇨ 𝟏 𝟐 ⇨ 𝒌𝟏 = ⇨ 𝑹𝟏 = 𝑹𝟐 𝑹𝑷 𝟑 𝑹′𝑷 = 𝑹′𝑷 = 𝟏 𝜴 ⇨ ➢ Aplicar o Teorema da Linearidade. 𝑽𝟏 = 𝒌 𝟏 ⋅ 𝑽 + 𝒌 𝟐 ⋅ 𝑰 ➢ Determinar o valor de 𝑖. 𝒊= 𝑽𝟏 𝑹 + 𝑹′𝑷 ⇨ ⇨ 𝑽𝟏 = 𝟒𝟎 𝒊 = 𝟏𝟎 𝑨 ➢ Determinar as leituras dos instrumentos. 𝑰𝟎 = −𝒊 8. 𝑽𝟎 = 𝑹′𝑷 ⋅ 𝒊 ⇨ ⇨ 𝑰𝟎 = −𝟏𝟎 𝑨 𝑽𝟎 = 𝟏𝟎 𝑽 Para o circuito da figura, determine: a) O valor de R, sabendo que, estando a chave S na posição 1, o Circuito 1 está transferindo a máxima potência possível; b) O circuito equivalente de Thèvenin do Circuito 2 utilizando Transformação de Fontes; c) Determine a corrente indicada pelo amperímetro quando a chave S está na posição 2. Circuito 1 Circuito 2 RW 2 + S 3W 2A A 1 2W + 9W 126 V - Chave S na posição 1 6W 10 W 2W Teoremas para análise de Circuitos Elétricos Circuito 1 ➢ Determinar 𝑅. 𝑹𝒆𝒒𝟏 = 𝑹 ⫽ 𝟗 𝜴 = 𝟔 𝜴 𝑹 = 𝟏𝟖 𝜴 ➢ Determinar 𝑉𝑜𝑐1 . 𝑽𝒐𝒄𝟏 = 𝟗 ∙ 𝟏𝟐𝟔 = 𝟒𝟐 𝑽 𝟗 + 𝟏𝟖 Equivalente de Thèvenin do Circuito 1. Circuito 1 6W + 42 V - Circuito 2 Circuito 2 3W 2A 2W 10 W 2W ➢ Redesenhar o Circuito 2 3W 2W 2A 10 W 2W ➢ Transformar a fonte de corrente de 2 𝐴 em fonte de tensão e associar as resistências em série. 224 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 225 3W + 4V 10 W 4W ➢ Transformar a fonte de tensão de 4 𝑉 em fonte de corrente. 3W 10 W 4W 1A ➢ Associar as resistências em paralelo e transformar a fonte de corrente de 1 𝐴 em fonte de tensão. Associar as resistências em série para obter o Equivalente de Thèvenin do Circuito 2. 41 /7 W Circuito 2 + 20/7 V - Chave S na posição 2 Circuito 1 6W i + + 41 /7 W Circuito 2 A + 42 V 20/7 V - - ➢ Determinar a corrente no Amperímetro. 𝟐𝟎 𝟕 = 𝟐𝟕𝟒 = 𝟑, 𝟑𝟎 𝑨 𝒊= 𝟒𝟏 𝟖𝟑 𝟔+ 𝟕 𝟒𝟐 − 9. Aplique transformação de fontes para reduzir o circuito a uma única fonte associada a uma única resistência. Após associe uma resistência aos terminais 𝑎𝑏 de modo que seja transferida a máxima potência a ela. Qual é essa potência? Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 2A 10 W 10 W 60 V - 226 + a 15 W 5W 8W 2W - 28 V + b ➢ Transformar a fonte de tensão de 60 𝑉 em uma fonte de corrente 6A 2A 10 W 10 W a 15 W 5W 8W 2W - 28 V + b ➢ Associar as resistências de 10 Ω e as fontes de corrente de 6 𝐴 e de 2 𝐴 em paralelo. 8A 5W a 15 W 5W 8W 2W - 28 V + b ➢ Transformar a fonte de corrente de 8 𝐴 em fonte de tensão e associar as resistências em série. 10 W a + 15 W 40 V - 2W 8W - 28 V + b ➢ Transformar a fonte de tensão de 40 𝑉 em uma fonte de corrente e associar as resistências em paralelo. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 227 a 6W 4A 8W 2W - 28 V + b ➢ Transformar a fonte de corrente de 4 𝐴 em fonte de tensão e associar as fontes de tensão e as resistências em série. 8W a 8W 4V + b ➢ Transformar a fonte de tensão de 4 𝑉 em fonte de corrente. 8W 0,5 A a 8W b ➢ Associar as resistências de 8 Ω em paralelo. a 4W 0,5 A b ➢ Transformar o Equivalente de Norton em um Equivalente de Thèvenin. 4W a 2V + b ➢ Aplicar uma resistência de igual valor da 𝑅𝑒𝑞 nos terminais 𝑎𝑏 do Equivalente de Thèvenin. 4W a 4W 2V + b ➢ Determinar a potência transferida para a resistência ligada aos terminais ab. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑷𝑹 = 𝑽𝒂𝒃 𝟐 ∙ 𝟒 228 𝑷𝑹 = 𝟏𝟐 ∙ 𝟒 = 𝟒 𝑾 ⇨ 10. Determine o valor da resistência a ser ligada aos terminais 𝑎𝑏 do circuito da figura, de modo que ela dissipe a máxima potência. Qual é o valor da potência dissipada? 2W - 12 V 2W + a + 2 Va + 1W - 2W Va 1W b Determinar 𝑅𝑒𝑞 . ➢ Considerar uma fonte auxiliar 𝑉 fornecendo uma corrente 𝐼. Definir as tensões e as correntes sobre o circuito. 2 W Va/2 Va/2 2 Va Va/2 Va 2 W Va + Va + Va + Va 1W Va 2W - Va/2 + - - 𝑽 = 𝟑 ∙ 𝑽𝒂 𝑰 = 𝑽 + 𝑽𝒂 = 𝑽 + Determinar 𝐼𝑆𝐶 . 𝑽 𝟒 = ∙𝑽 𝟑 𝟑 ⇨ 𝑹𝒆𝒒 = - 2 Va + V a + 1W V - b 𝑽 𝟑 = 𝜴 𝑰 𝟒 ➢ Aplicar um curto-circuito aos terminais 𝑎𝑏 do circuito. 2W I - 12 V 2W + a + 2·Va + 1W - 2W Va 1W Isc b ➢ Eliminar a resistência de 1 Ω em paralelo com o curto-circuito e definir as correntes de malha no circuito. 2W - 12 V 2W + a + 2·Va + - i1 1 W i2 Va 2W Isc Isc b ➢ Escrever as equações do circuito. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 𝑽𝒂 = 𝟐 ∙ (𝒊𝟐 − 𝑰𝒔𝒄 ) −𝟐 ∙ 𝑽𝒂 + (𝟐 + 𝟏) ∙ 𝒊𝟏 − 𝒊𝟐 = 𝟎 ⇨ 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 − 𝟓 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟒 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + (𝟐 + 𝟐) ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 ⇨ −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 + 𝟒 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 −𝒊𝟏 + (𝟏 + 𝟐) ∙ 𝒊𝟐 − 𝟏𝟐 − 𝟐 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟎 ⇨ −𝒊𝟏 + 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 − 𝟐 ∙ 𝑰𝒔𝒄 = 𝟏𝟐 ➢ Resolver o sistema de equações para 𝑰𝒔𝒄 . 𝟑 ∙ 𝒊𝟏 −𝟓 ∙ 𝒊𝟐 𝟎 ∙ 𝒊𝟏 −𝟐 ∙ 𝒊𝟐 −𝒊𝟏 { 𝟑 ∙ 𝒊𝟐 𝟒 ∙ 𝑰𝒔𝒄 =𝟎 𝟒 ∙ 𝑰𝒔𝒄 =𝟎 −𝟐 ∙ 𝑰𝒔𝒄 ⇨ = 𝟏𝟐 229 𝑰𝒔𝒄 = 𝟔 𝑨 ➢ Equivalente de Norton. a 3 4 / W 6A b ➢ Aplicar uma resistência de igual valor da 𝑅𝑒𝑞 nos terminais 𝑎𝑏 do Equivalente de Norton. a 6A 3 3 /4 W /4 W b ➢ Determinar a potência transferida para a resistência da carga, ligada aos terminais ab. 𝑷=( 4.12 𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 + 𝟒 𝟒 𝟐 ∙ 𝟔) ∙ 𝟑 = 𝟔, 𝟕𝟓 𝑾 𝟒 Teorema da Substituição O Teorema da Substituição estabelece que: Se a tensão em um ramo de um circuito é conhecida, este ramo pode ser substituído por uma fonte de tensão ideal naquele ramo. a + V - b a + V - b R Figura 4.41 - A tensão em um ramo de um circuito é conhecida Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 230 Se a corrente em um ramo de um circuito é conhecida, este ramo pode ser substituído por uma fonte de corrente ideal naquele ramo. I a b I a b R Figura 4.42 - A tensão em um ramo de um circuito é conhecida O Teorema da Substituição pode ser usado na resolução de alguns problemas de circuito. 4.12.1 Exemplo Determine o valor da tensão 𝑣3 no circuito da figura abaixo. 1W 1W + + 1W 6V 2W 1W - v3 - ➢ Determinar a resistência equivalente a partir dos terminais ab. 1W 1W a + + 1W 6V + 2W vab - 1W - R2 v3 b ➢ Associar as resistências a partir dos terminais ab. 1W a + + 1W 6V - Vab 1W b ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝒗𝒂𝒃 𝟏∙𝟏 𝟏 +𝟏 ∙𝟔= 𝟐𝑽 = 𝟏∙𝟏 +𝟏 𝟏+𝟏 Pelo Teorema da Substituição a tensão 𝑉𝑎𝑏 pode ser substituída por uma fonte de tensão ideal de 2 𝑉, a fim de se encontrar 𝑉3 . Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 231 1W a + + 2W 2V 1W v3 - b ➢ Aplicar divisor de tensão. 𝒗𝒂𝒃 = 4.12.2 𝟏 ∙𝟐=𝟏𝑽 𝟏+𝟏 Simetria Quando um circuito possui uma simetria inerente é possível deduzir-se determinadas tensões ou correntes por simples inspeção e, aplicar o Teorema da Substituição. Tensões e correntes nulas são particularmente interessantes, desde que uma fonte de corrente nula é um circuito aberto e uma fonte de tensão nula é um curto-circuito, podemos ter as quatro situações seguintes: 1. Um ramo sem tensão sobre ele. Pode ser substituído por um curto-circuito sem alterar o resto do circuito. 2. Um ramo sem corrente circulando por ele. Pode ser removido sem alterar o resto do circuito. 3. Dois nós ao mesmo potencial. Um curto-circuito pode ser aplicado entre esses dois nós sem alterar o resto do circuito. 4. Duas malhas adjacentes com correntes no sentido horário e iguais. O ramo entre as duas malhas adjacentes pode ser substituído por um circuito aberto porque não existe corrente nele. 4.12.2.1 Exemplo Vamos considerar que o circuito em ponte mostrado na figura é um circuito simétrico, isto é, uma ponte equilibrada. R1 + R2 R V R3 Figura 4.43 ➢ Definir as tensões de nó do circuito. R4 Circuito em ponte equilibrado Teoremas para análise de Circuitos Elétricos R1 + 232 R2 R V 1 2 R3 R4 ➢ Escrever as equações de nó. 𝑽 𝟏 𝑽𝟏 − 𝑽 𝑽 𝟏 − 𝑽 𝟐 + + =𝟎 𝑹 𝑹𝟏 𝑹𝟑 𝑽 𝟐 𝑽𝟐 − 𝑽 𝑽 𝟐 − 𝑽 𝟏 + + =𝟎 𝑹𝟒 𝑹𝟐 𝑹 A condição para que o circuito seja uma ponte equilibrada é: logo: 𝑽 𝟏 = 𝑽𝟐 = 𝒗 𝒗 𝒗−𝑽 + =𝟎 𝑹𝟏 𝑹𝟑 𝒗 𝒗−𝑽 + =𝟎 𝑹𝟐 𝑹𝟒 𝑹𝟑 𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 = 𝑹𝟒 𝑹𝟐 + 𝑹𝟒 ⇨ 𝑹𝟑 ∙ 𝑽 = (𝑹𝟏 + 𝑹𝟑 ) ∙ 𝒗 ⇨ 𝑹𝟒 ∙ 𝑽 = (𝑹𝟐 + 𝑹𝟒 ) ∙ 𝒗 Podemos calcular a resistência equivalente vista pela fonte de tensão fazendo uso de cada uma das quatro possibilidades: 1. Um ramo sem tensão sobre ele. R1 + R2 R V R3 R3 R4 R4 Figura 4.44 - R2 V + v=0 - - R1 + Um ramo sem tensão sobre ele 2. Um ramo sem corrente circulando por ele. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos R1 + R2 R1 R2 R3 R4 + R V V - - i=0 R3 R4 Figura 4.45 - Um ramo sem tensão sobre ele 3. Dois nós ao mesmo potencial. R1 + R2 R1 R V R2 + v v V - v v R3 R4 Figura 4.46 - R3 R4 Dois nós ao mesmo potencial 4. Duas malhas adjacentes com correntes no sentido horário e iguais. R1 + R2 i R 0 V R3 R4 R3 Figura 4.47 - 1. R2 V - 4.12.3 R1 + i R4 Duas malhas adjacentes com correntes no sentido horário e iguais Exercícios Determine o valor de 𝑖0 no circuito. 233 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 234 6W 3W 0,5 W 1W 1W 0,5 W 1W i0 + 1W 12 V 3W 3W 3W - ➢ Determinar a resistência equivalente vista dos terminais da fonte de tensão de 12 𝑉. 6W 1W 3W 0,5 W a 1W 0,5 W 1W 1W Req 3W 3W 3W b ➢ Associar as resistências. 3W a 1W 1W 1W 1W Req 1W b ➢ A ponte formada pelas resistências de 1 Ω é simétrica. Portanto, a resistência do centro da ponte pode ser desprezada. Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 3W a Req 1W 1W 1W 1W b ➢ Associar as resistências. a 4W Req b ➢ Determinar 𝑖0 i0 + 4W 12 V - 2. 𝒊𝟎 = 𝟏𝟐 =𝟑𝑨 𝟒 Para o circuito, sabe-se que: 𝑹𝒙 = 𝟐𝟎 𝜴 𝑹𝒙 = 𝟓 𝜴 ⇨ ⇨ 𝑰=𝟑𝑨 𝑰=𝟒𝑨 RW RW RW RW RW I + 5W E Determine o valor de 𝑅, e de I quando 𝑅𝑥 = 0 𝛺. ➢ Aplicar simetria ao circuito em ponte. Rx W 235 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos RW RW RW RW I + 5W E Rx W ➢ Redesenhar o circuito. RW I + 5W E Rx W - ➢ Aplicar os valores de 𝑅𝑥 e de 𝐼 ao circuito. RW 3A + 5W E 20 W - −𝑬 + 𝑹 ∙ 𝟑 + 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟎 ⇨ −𝑬 + 𝟑 ∙ 𝑹 + 𝟏𝟐 = 𝟎 RW 4A + 5W E 5W - −𝑬 + 𝑹 ∙ 𝟒 + 𝟐, 𝟓 ∙ 𝟒 = 𝟎 ⇨ ➢ Resolver o sistema de equações. 𝑹= 𝟐𝜴 𝑬 = 𝟏𝟖 𝑽 −𝑬 + 𝟒 ∙ 𝑹 + 𝟏𝟎 = 𝟎 ➢ Aplicar o valor de 𝑅𝑥 = 0 𝛺 ao circuito resultante para calcular o valor de 𝐼. 236 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos RW ?A + 5W E - 𝑰= 𝟏𝟖 =𝟗𝑨 𝟐 0W 237 Teoremas para análise de Circuitos Elétricos 238 Bibliografia 5 239 Bibliografia 5.1 Livros [1] J. O’Malley – Análise de Circuitos – McGrawHill - 1983 [2] P. Cutler – Análise de Circuitos CC – McGrawHill – 1976 [3] J. D. Irwin - Análise de Circuitos em Engenharia - MAKRON Books - 2000 [4] J. D. Irwin - Análise de Circuitos em Engenharia – 4ª ed. - PEARSON - 2010 [5] R. Feltre, S. Yoshinaga: Atomística: Teoria e Exercícios – vol. 2 - 1970 [6] R. C., Dorf; J. A. 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Alves - ABC dos Circuitos Elétricos em Corrente Alternada - Instituto Politécnico do Porto – 1999 [39] SENAI - Análise de Circuitos Elétricos - Prática [40] SENAI – Análise de Circuitos Elétricos - Teoria [41] SENAI SP - Análise de Circuitos Elétricos [42] Análise de Circuitos Elétricos para a Engenharia [43] Análise de Circuitos II – Exercícios [44] POSITRON - Aplicação e Funcionamento de Acessórios Automotivos [45] IFE CE - Circuitos Elétricos [46] Circuitos Elétricos - Corrente Contínua e Alterada [47] Circuitos Elétricos - Notas de Aula [48] Circuitos Elétricos - Textos de Apoio para Pós-graduação [49] Circuitos Elétricos - Volume 1 [50] Circuitos Elétricos - Volume 3 [51] Circuitos Elétricos II [52] USP - Circuitos em Corrente Contínua [53] Circuitos Monofásicos e Trifásicos - cap7 [54] Conceitos Básicos de Eletricidade [55] Corrente Alternada Monofásica e Trifásica [56] IFE SC - Eletricidade [57] SENAI SP - Eletricidade [58] UNESP - Eletricidade [59] UFSM - Eletricidade [60] Cândido Mendes - Eletricidade Aplicada Bibliografia 241 [61] CEDITEC - Eletricidade Aplicada [62] FATEC - Eletricidade Aplicada I [63] Eletricidade Aplicada 1 [64] Eletricidade Aplicada 2 [65] Eletricidade Aplicada - Exercícios [66] Eletricidade Aplicada - Corrente Contínua [67] SENAI - Eletricidade - Instalações Industriais [68] Eletroeletrônica Automotiva [69] Eletrônica - Circuitos Elétricos [70] Fundamentos da Eletroeletrônica [71] Fundamentos de Análise de Circuitos Elétricos [72] Grandezas e Componentes Elétricos [73] Modelagem e Análise de Sistemas Elétricos em Regime Permanente [74] Noções Básicas de Eletroeletrônica Prática [75] Potência e Energia Elétrica [76] Resumo de Circuitos Elétricos [77] Teoremas de Circuitos Elétricos - cap6 5.3 [78] 5.4 Apresentações Graça; Cláudio - Materiais Magnéticos Física Geral e Experimental III - Aula 9-1 Manuais [79] WEG - DT 5 - Características e Especificações de Geradores [80] WEG - Geradores Síncronos - linha S [81] WEG - Manual do Gerador Síncrono - Linha G Plus [82] WEG - Manual para Correção de Fator de Potência [83] WEG - Manual para Correção do Fator de Potência 2 5.5 Sites [84] www.ceee.com.br - Eletricidade para Estudantes - Teoria [85] https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780750659321500038 [86] https://www.sciencedirect.com/book/9780750649339/passive-components-for-circuit-design [87] https://www.sciencedirect.com/book/9780340631980/introduction-to-electric-circuits [88] https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/B9780340631980500046 Bibliografia 242