Lezioni di analisi matematica.pdf/140

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CAPITOLO VI — § 38

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Questa osservazione rende intuitivo il teorema che dobbiamo ora esporre.

Si dice che una funzione reale è crescente, se essa cresce al crescere della , o più precisamente, se, indicati con , due punti qualsiasi del gruppo G ove la è definita tali che , si ha .

La y si dice decrescente, se invece dalla segue , ossia se la y decresce al crescere della (come per esempio, avviene se y è inversamente proporzionale ad ). La si dice non crescente, oppure non decrescente se dalla segue , oppure .

Se una funzione non è crescente, o non è decrescente in un dato gruppo G di punti, si dice che la funzione varia sempre nello stesso verso (senso) nel gruppo G.

TEOREMA Se f(x) è una funzione definita nel gruppo G, che varia sempre nello steso verso e se in ogni intorno (per esempio sinistro) del punto esistono punti di G distinti da a, esiste il .

Supponiamo per fissar le idee che non sia decrescente a sinistra del punto a e che si voglia dimostrare l’esistenza del . Noi dimostreremo che tale limite è precisamente il limite superiore L dei valori che f(x) assume, quando x assume i valori di G più piccoli (a sinistra) di a.

Distinguiamo due casi:

1° L è finito. Sia n un intero così grande che sia minore di un prefissato. Tra i citati valori di ne esisterà almeno uno (per esempio quello assunto da nel punto ) che è uguale ad fino alla decimale (e ciò per la stessa definizione di limite superiore). I valori che y assume nei punti G dell’intervallo non possono nè superare il limite superiore L, nè essere inferiori a (perchè y è per ipotesi funzione non decrescente).

Dunque tali valori (compresi tra ed L) dovranno pure coincidere con L fino alla decimale.

In altre parole nei punti di dell’intervallo vale la:

.

Per definizione di limite è dunque

.

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