Stereometriya

Stereometriya (qad.-yun. stereos - "qattiq, fazoviy" va yun. μετρεω (metreo) - "oʻlchayman") Yevklid geometriyasining sohasi boʻlib, unda uch oʻlchamli, shakllar oʻrganiladi. Stereometriya Stereometriyaning ko‘pgina masalalarini yechishdan oldin quyidagi keltirilgan to‘g‘ri chiziq va tekisliklarni ta’rif va teoremalarini yodda tutish lozim.

1. To‘g‘ri chiziq va tekislikning parallelligi

 tekislik va unga tegishli bo‘lmagan a to‘g‘ri chiziq birorta ham umumiy nuqtaga ega bo‘lmasa, u holda ular parallel deyiladi. To‘g‘ri chiziq va tekislikning parallelik alomati. Agar to‘g‘ri chiziq  tekislikdagi biror a to‘gri chiziqqa parallel bo‘lsa, u holda u shu tekislikka ham paralleldir. To‘g‘ri chiziq va tekisliklarni parallelligi haqidagi teoremalar: a) Agar  tekislikka tegishli bo‘lgan a to‘g‘ri chiziq  tekislikka parallel bo‘lib, shu bilan birga  va  tekisliklar v to‘g‘ri chiziq orqali kesishsa, u holda a va v to‘g‘ri chiziqlar parallel bo‘ladi . b) Agar a va в parallel to‘g‘ri chiziqlar orqali kesishuvchi turli tekisliklar o‘tkazilsa, u holda a, в va ularni kesishish chizig‘i s to‘g‘ri chiziqlar o‘zaro parallel bo‘ladi. v) Agar kesishuvchi  va  tekisliklarning Har biri berilgan a to‘g‘ri chiziqka parallel bo‘lsa, u holda ulrani kesishish chizig‘i в р ham a to‘g‘ri chiziqqa parallel bo‘ladi.

2. Tekisliklarni parallelligi

Agar  va  tekisliklar birorta ham umumiy nuqtaga ega bo‘lmasa, u holda ular parallel deyiladi. Ikki tekislikning parallellik alomati:  tekislikda yotgan o‘zaro kesishuvchi a va в to‘g‘ri chiziqlar  tekisligida yotgan c va d to‘g‘ri chiziqlarga mos ravishda parallel bo‘lsa, u holda  va  tekisliklar o‘zaro paralleldir. Parallel tekisliklar haqidagi teoremalar: a) Agar ikiki parallel tekisliklarni uchinchi tekislik kesib o‘tsa, u holda kesishish chiziqlari parallel bo‘ladi. b) Ikkita parallel tekislik orasiga joylashgan parallel to‘g‘ri chiziqlarning kemalari teng.

3. To‘g‘ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi

Agar tekislikni kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq tekislikdagi shu kesishish nuqtasidan o‘tuvchi istalgan to‘g‘ri chiziqka perpendikulyar bo‘lsa, to‘g‘ri chiziq shu tekislikka perpendikulyar deyiladi. To‘g‘ri chiziq va tekislikning perpendikulyarlik alomati. Agar tekislikni kesib o‘tuvchi to‘g‘ri chiziq, tekislikning shu kesishish nuqtasidan o‘tuvchi ikki to‘g‘ri chizig‘iga perpendikulyar bo‘lsa, u holda tekislikning o‘ziga ham perpendikulyar bo‘ladi. To‘g‘ri chiziq va tekislikning perpendikulyarligi haqidagi teoremalar: a) Bitta tekislikka perpendikulyar ikki to‘g‘ri chiziq o‘zaro paralleldir. b) Agar tekislik ikkita parallel to‘g‘ri chiziqdan biriga perpendikulyar bo‘lsa, u holda ikkinchisiga ham perpendikulyardir. v) Berilgan to‘g‘ri chiziqka perpendikulyar ikki tekislik o‘zaro paralleldir.

4. Tekisliklarning perpendikulyarligi

Kesishuvchi ikkita tekislikning kesishgan to‘g‘ri chizig‘iga perpendikulyar bo‘lgan uchinchi tekislik ularni perpendikulyar to‘g‘ri chiziqlar bo‘yicha kesib o‘tsa, bu ikki tekislik perpendikulyar tekisliklar deyiladi.

  Tekisliklarni perpendikulyarlik alomati. Agar tekislik ikkinchi tekislikka perpendikulyar to‘g‘ri chiziq orqali o‘tsa, u holda ular o‘zaro perpendikulyar bo‘ladi.

Perpendikulyar tekisliklar haqidagi teoremalar: a) Agar ikki tekislik perpendikulyar bo‘lib, ulardan biriga tegishli bo‘lgan to‘g‘ri chiziq ularning kesishish chizig‘iga perpendikulyar bo‘lsa, u holda bu to‘g‘ri chiziq ikkinchi tekislikka perpendikulyar bo‘ladi. b) Agar ikki tekislik perpendikulyar bo‘lib, ulardan biriga kesishgan chiziqdan perpendikulyar o‘tkazilsa, u holda bu perpendikulyar butunlay ikkinchisiga tegishli bo‘ladi.

5. Tekislikka tushirilgan perpendikulyar va og‘ma

Berilgan nuqtadan berilgan tekislikka tushirilgan perpendikulyar deb, berilgan nuqtani tekislikning nuqtasi bilan tutashtiruvchi va tekislikka perpendikulyar to‘g‘ri chiziqda yotuvchi kesmaga aytiladi. Nuqtadan tekislikgacha masofa perpendikulyarning uzunligi deyiladi. Berilgan nuqtadan berilgan tekislikka o‘tkazilgan og‘ma deb berilgan nuqtani tekislikdagi nuqta bilan tutashtiruvchi va tekislikka perpendikulyar bo‘lmagan istalgan kesmaga aytiladi. Uch perpendikulyar haqidagi teorema. Tekislikda og‘mani asosidan uning proyeksiyasiga perpendikulyar qilib o‘tkazilgan to‘g‘ri chiziq og‘maning o‘ziga ham perpendikulyardir. Aksincha, tekislikdagi to‘g‘ri chiziq og‘maga perpendikulyar bo‘lsa, u og‘maning proyeksiyasiga ham perpendikulyar bo‘ladi. Og‘ma va tekislik orasidagi burchak deb, og‘ma va uning shu teksilikdagi ortogonal proyeksiyasi orasidagi burchakka aytiladi.

6. Ikki yoqli burchak va uni o‘lchash

Ikkita yarim tekislikdan va ularni chegaralab turgan umumiy to‘g‘ri chiziqdan tashkil topgan figura ikki yoqli burchak deyiladi. Yarim tekisliklar ikki yoqli burchakning yoqlari, ularni chegaralovchi to‘g‘ri chiziq esa ikki yoqli burchakning qirrasi deyiladi. Ikki yoqli burchakning qirrasiga perpendikulyar tekislik bilan hosil qilingan burchak ikki yoqli burchakning chiziqli burchagi deyiladi. Ikki yoqli burchakning o‘lchovi uchun unga mos chiziqli burchakning o‘lchovi qabul qilinadi.

2 . Ko‘pyoqlar

Ko‘pyoqlarga doir masalalarni yechishda asosiy ko‘pyoqlar turlari va ularning xossalarini bilish talab etiladi. 1. Sirti chekli miqdordagi yassi ko‘pburchakdan iborat jism ko‘pyoq deyiladi. Ko‘pburchaklarning tomonlari ko‘pyoqni qirralari deyiladi. Ko‘pyoqni chegaralovchi ko‘pburchaklar ko‘pyoqni yoqlari deyiladi. 2. Prizma deb ikki yog‘i teng ko‘pburchaklardan iborat bo‘lib, parallel tekisliklarda yotuvchi va qolgan barcha qirralari parallel ko‘pyoqqa aytiladi. Teng ko‘pburchaklar prizmani asoslari deyiladi. Prizmani qolgan yoqlari yon yoqlari deyiladi. Prizmaning asoslarida yotmaydigan qirralari yon qirralari deyiladi. Prizmaning barcha yon qirralari parallel tekisliklar hosil qilgan parallel to‘g‘ri chiziqlarning kesmalari ekanligidan o‘zaro teng. Asoslari orasidagi masofani ifodalovchi kesma prizmaning balandligi deyiladi. Prizmani diagonali deb bitta yog‘iga tegishli bo‘lmagan uchlarini tutashtiruvchi kesmaga aytiladi. Yon yoqlari asos tekisligiga perpendikulyar bo‘lgan prizma to‘g‘ri prizma deyiladi. Muntazam prizma deb shunday to‘g‘ri prizmaga aytiladiki, uning asoslari muntazam ko‘pburchaklardan iborat bo‘ladi. Ixtiyoriy prizmaning yon sirti quyidagi formula bilan topiladi:

Syon = Pn •AA1

bu yerda Pn – prizmaning ko‘ndalang kesim perimetri; AA1 – yon qirrasi uzunligi. Xususiy holda to‘g‘ri prizmaning yon sirti asosining perimetri bilan balandligi ko‘paytmasiga teng. Prizmaning hajmi quyidagi formula bilan hisoblanadi:

V = Sn •AA1 V = Sasos • H,

bu yerda Sn - prizmaning ko‘ndalang kesim yuzi; AA1 - yon qirrasi uzunligi; Sasos – asosining yuzi; H – prizmaning balandligi. 3. Asosi parallelogramdan iborat prizmaga parallelepiped deyiladi. Uning barcha oltita yoqlari parallelogramdir. Parallepipedning xossalari: A) Parallelepipedning diagonallari o‘rtalari uning simmetriya markazi deyiladi; B) Parallelepipedning qarama-qarshi yoqlari teng va parallel; S) Parallepipedning barcha to‘rtta diagonali ham bir nuqtada kessishadi va kesishish nuqtasida teng ikkiga bo‘linadi. Yon qirralari asos tekisligiga perpendikulyar to‘g‘ri parallelepiped deyiladi. To‘g‘ri burchakli parallelepiped to‘g‘ri parallelepiped bo‘lib, asoslari to‘g‘ri to‘rtburchaklardan iborat. To‘g‘ri burchakli parallelepipedning qirralari teng bo‘lsa, bunday parallelepiped kub deyiladi. Kubning hamma yoqlari teng kvadratlardan iborat. To‘g‘ri burchakli parallelepipedning hajmi va diagonali mos ravishda quyidagi formulalar bo‘yicha hisoblanadi: V = abc, d2 = a2+ в 2+c2 bu yerda a, в, c - to‘g‘ri burchakli parallelepipedning bir uchidan chiqqan qirralari. Kubning hajmi va diagonali mos ravishda quyidagi formulalar yordamida hisoblanadi: V= a3, d = a ,

4. Piramida deb, uning bitta yog‘i ixtiyoriy ko‘pburchakdan, qolgan yoqlari umumiy uchga ega bo‘lgan uchburchaklardan iborat ko‘pyoqqa aytiladi. Ko‘pburchak piramidaning asosi, qolganlari yon yoqlari deyiladi. Barcha yon yoqlarining umumiy uchi piramidani uchi deyiladi. Piramidani balandligi deb, piramidaning uchidan asos tekisligiga tushirilgan perpendikulyarga aytiladi. Muntazam piramida deb asosi muntazam ko‘pburchakdan iborat bo‘lib, balandligi bu muntazam ko‘pburchakni markaziga tushuvchi piramidaga aytiladi. Muntazam piramidaning barcha yon qirralari bir-biriga teng; barcha yon yoqlari teng yonli uchburchaklardir. Muntazam piramida yon yog‘ining balandligi bu piramidani apofemasi deyiladi. Agar piramidaning asosi n – burchakdan iborat bo‘lsa, u holda bunday piramida n- burchakli piramida deyiladi. Uchburchakli piramida tetraedr deyiladi. Agar tetraedrning barcha qirralari teng bo‘lsa, bunday tetraedr muntazam tetraedr deyiladi. Muntazam piramidaning yon sirti quyidagi formula yordamida hisoblanadi: Syon = P • h, bu yerda P – piramida asosining perimetri, h – apofema. Piramidaning hajmi quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi: V = S • H, bu yerda S – piramida assosining yuzi; H – piramida balandligi. 5. Piramidani uning asosiga parallel tekislik bilan kesganda ikkita ko‘pyoq hosil bo‘ladi. Ulardan biri kesik piramida deb ataladi, ikkinchisi piramida bo‘lib, u kesik piramidani to‘ldiruvchi deyiladi. Kesik piramidani asoslari o‘xshash ko‘pburchaklardan, yon yoqlari trapetsiyalardan iborat. Kesik piramidaning balandligi deb, oxirlari asoslarida bo‘lgan perpendikulyar kesmasiga aytiladi. Agar kesik piramida muntazam piramidaning qismi bo‘lsa, muntazam kesik piramida deyiladi. Muntazam kesik piramidaning yon yoqlari teng yonli trapetsiyalardan iborat. Bu trapetsiyalarning balandligi muntazam kesik piramidaning apofemasi deyiladi. Muntazam kesik piramidaning yon sirti quyidagi formula yordamida hisoblanadi. Syon = (P1 + P2) h, bu yerda P1P2 - piramida asoslarining perimetrlari; h – apofema. Muntazam kesik piramidani hajmi quyidagi formula bo‘yicha hisoblanadi: V = (S1 + +S2) H bu yerda H – kesik piramida balandligi; S1S2 – piramida asoslarining yuzlari . 6. a) Agar piramidaning barcha yon qirralari asos tekisligi bilan bir xil burchak tashkil qilsa, yoki qirralari teng bo‘lsa, u holda piramidaning balandligi asosiga tashqi chizilgan aylana markaziga tushadi. B) Agar piramidaning asosi barcha yon yoqlari bilan bir xil α burchak tashkil qilsa, yoki yon yoqlari apofemalari teng bo‘lsa, u holda piramidaning balandligi asosiga ichki chizilgan aylana markaziga tushadi, shu bilan birga Sasos = Syon • cosα. S) Agar S1 va S2 - piramidaning parallel kesimlari yuzlari, a1 va a2 - kesimlarning chiziqli o‘lchovi elementi, h1 va h2 - piramidaning uchidan kesimlargacha bo‘lgan masofa bo‘lsa, u holda = = tengliklar o‘rinli bo‘ladi.