Тригонометрия

Тригонометрия (юнончадан "тригон" - учбурчак, "метрезис" - о'лчаш со'зларидан олинган бо'либ, о'збек тилига "учбурчакларни о'чаш" дея таржима қилинади) - математиканинг асосий бо'лимларидан бири ҳисобланиб, учбурчак томонлари ва бурчаклари орасидаги бог'ланишлар, тригонометрик функсияларнинг хоссалари ва улар о'ртасидаги бог'ланишларни о'рганади.

Тарихи

Ҳиндистонликлар илк марта тригонометрик функсиялар қийматлари жадвалини кашф қилганлар. Шумер астрономлари айланаларни 360 градусга бо'лиш орқали бурчак о'лчовини о'рганишди^[1]. Улар ва кейинчалик бобилликлар о'хшаш учбурчаклар томонлари нисбатларини о'ргандилар ва бу нисбатларнинг ба'зи хусусиятларини кашф этдилар, лекин буни учбурчакларнинг томонлари ва бурчакларини топишнинг тизимли усулига айлантирмадилар.Қадимги нубияликлар ҳам худди шундай усулдан фойдаланганлар^[2]. Милоддан аввалги ИИИ асрда Евклид ва Архимед каби юнон математиклари аккордлар ва айланаларга чизилган бурчакларнинг хоссаларини ўрганиб, замонавий тригонометрик формулаларга эквивалент бўлган теоремаларни исботладилар, гарчи улар ушбу формулаларнини алгебраик жиҳатдан эмас, балки геометрик жиҳатдан исбот қилган бўлсалар ҳам. Милоддан аввалги 140-йилда Гиппарх (Никеа, Кичик Осиё) замонавий синус қийматлари жадвалларига ўхшаш аккордларнинг биринчи жадвалларини берган ва улардан тригонометрия ва сферик тригонометрия масалаларини ечишда фойдаланган^[3]. Милодий ИИ асрда юнон-миср астрономи Птоломей (Мисрнинг Искандария шаҳридан) ўзининг “Алмагест” асарининг 1-китоби, 11-бобида батафсил тригонометрик жадвалларни (Птолемейнинг аккордлар жадвали) тузган^[4]. Птолемей о'зининг тригонометрик функсияларини аниқлаш учун аккорд узунлигидан фойдаланган, бу биз ишлатадиган синус функсиясидан озгина фарқ қилади. Биз син(α) деб атайдиган қийматнинг аккорд узунлигини Птолемей жадвалидаги керакли бурчак қиймати икки баробарини (2α) аниқлаш ва кейин бу қийматни иккига бо'лиш орқали топиш мумкин. Батафсилроқ жадваллар яратилгунга қадар асрлар о'тди ва Птолемейнинг рисоласи кейинги 1200 йил давомида О'рта аср Византияси, Ислом ва кейинчалик Г'арбий Европа дунёларида астрономияда тригонометрик ҳисобларни амалга ошириш учун ишлатилган. Замонавий синус функсияси биринчи марта Суря Сиддхантада учраган ва унинг хусусиятларини В асрда (милодий) ҳинд математики ва астрономи Арябҳата ҳужжатлаштирган^[5]^[6]. Бу юнон ва ҳинд асарлари ўрта аср ислом математиклари томонидан таржима қилинган ва кенгайтирилган.

Х асрга келиб ислом математиклари барча олтита тригонометрик функсиядан фойдаланиб, уларнинг қийматларини жадвалга киритиб, сферик геометрия масалаларига қўллаганлар. Форс олими Носириддин ат-Тусий тригонометриянинг ўзига хос математик фан сифатида яратувчиси сифатида таърифланган^[7]. У биринчи бо'либ тригонометрияни астрономиядан мустақил математик фан сифатида ко'риб чиқди ва сферик тригонометрияни ҳозирги шаклга келтирди. У сферик тригонометрияда тўғри бурчакли учбурчакнинг олтита аниқ ҳолатларини санаб ўтди ва ўзининг “Сектор расми тўғрисида” асарида текислик ва сферик учбурчаклар учун синуслар қонунини баён қилди, сферик учбурчаклар учун тангенслар қонунини очди ва иккаласига ҳам исботлар келтирди. Тригонометрик функсиялар ва усуллар ҳақидаги билимлар Г'арбий Европага Птолемейнинг юнонча "Алмагест" асарининг лотинча таржималари, шунингдек, Ал Баттани ва Носириддин ат-Тусий каби форс ва араб астрономларининг асарлари орқали етиб борди. Шимолий европаликларнинг математикада тригонометрияга оид энг қадимги асарларидан бири бу ХВ аср немис математиги Региомонтануснинг "Де Триангулис" асари бўлган. Шу билан бирга, Алмагестнинг юнон тилидан лотин тилига яна бир таржимаси Жорж Требизонд томонидан якунланди. ХВИ асрда Шимолий Европада тригонометрия ҳали ҳам кам миқдорда ма'лум эди.

Навигация талаблари ва йирик географик ҳудудларнинг аниқ хариталарига ортиб бораётган эҳтиёж туфайли тригонометрия математиканинг асосий соҳасига айланди. Тригонометрия со'зи илк бор Бартҳоломеуш Питиушнинг 1595-йилда чоп этилган "Тригонометрия" асарида учраган. Комплекс сонларни тригонометрияга тўлиқ киритган швед олими Леонард Эйлер эди. Шотланд математиклари Жеймс Грегори(ХВИИ аср) ва Колин Маклаурин(ХВИИИ аср)нинг ишлари тригонометрик қаторларнинг ривожланишига таъсир кўрсатди. Яна, ХВИИИ асрда Брук Тейлорнинг Тейлор сериялари яралган.

Тригонометрик нисбатлар

Катетлари БC = а, АC = б ва гипотенузаси АБ = c бўлган то'г'ри бурчакли АБC учбурчак берилган бо'лсин(∠C = 90°)

О'ткир бурчак синуси (син) - о'ткир бурчак қаршисидаги катетнинг гипотенузага нисбатига тенг:

$\sin A={\frac {a}{c}}$ , $\sin B={\frac {b}{c}}$ .

О'ткир бурчак косинуси (cос) - о'ткир бурчакка ёпишган катетнинг гипотенузага нисбатига тенг:

$\cos A={\frac {b}{c}}$ , $\cos B={\frac {a}{c}}$ .

О'ткир бурчак тангенси (тан) - о'ткир бурчак қаршисидаги катетнинг унга ёпишган катетга нисбатига тенг:

$\tan A={\frac {a}{b}}={\frac {\sin A}{\sin B}}$ , $\tan B={\frac {b}{a}}={\frac {\sin B}{\sin A}}$ .

О'ткир бурчак котангенси (cот) - о'ткир бурчакка ёпишган катетнинг унинг қаршисидаги катетга нисбатига тенг:

$\cot A={\frac {b}{a}}={\frac {\cos A}{\cos B}}$ , $\cot B={\frac {a}{b}}={\frac {\cos B}{\cos A}}$ .

Бирлик айланада тригонометрик функсиялар

Бирлик айлана орқали синус ва косинуснинг ифодаланиши

Тригонометрик функсиялар радиуси 1 бўлган бирлик айлана орқали ифодаланиши ҳам мумкин. Бирлик айлана маркази А(0;0) нуқта бо'лсин ва бирлик айланада Б(х;й) нуқта олинган бо'лсин (ма'лумки АБ = 1). АБC то'г'ри бурчакли учбурчакда (бунда АБ - гипотенуза,) АC = cосА ва БC = синА. Демак, х=cосА ва й=синА.

Пастда айрим тригонометрик функсиялар учун қийматлар жадвали берилган.

Айрим тригонометрик функсиялар қийматлари жадвали
Функсия номи	0	$\pi /6$ °	$\pi /4$	$\pi /3$	$\pi /2$	$2\pi /3$	$3\pi /4$	$5\pi /6$	$\pi$
синус	$0$	$1/2$	${\sqrt {2}}/2$	${\sqrt {3}}/2$	$1$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$
косинус	${\ce {1}}$	${\sqrt {3}}/2$	${\sqrt {2}}/2$	$1/2$	$0$	$-1/2$	$-{\sqrt {2}}/2$	$-{\sqrt {3}}/2$	$-1$
тангенс	$0$	${\sqrt {3}}/3$	$1$	${\sqrt {3}}$	аниқланмаган	$-{\sqrt {3}}$	$-1$	$-{\sqrt {3}}/3$	$0$
котангенс	аниқланмаган	${\sqrt {3}}$	$1$	${\sqrt {3}}/3$	$0$	$-{\sqrt {3}}/3$	$-1$	$-{\sqrt {3}}$	аниқланмаган

Тригонометрик функсиялар

Тригонометрик функсиялар учун графиклар

Қуйида 4 та тригонометрик функсиялар учун графиклар келтириб о'тилган.

Функсия номи	Даврийлиги	Аниқланиш соҳаси	Қийматлар соҳаси
синус	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
косинус	$2\pi$	$(-\infty ,\infty )$	$[-1,1]$
тангенс	$\pi$	$x\neq \pi /2+n\pi (n\in \mathbb {Z} )$	$(-\infty ,\infty )$
котангенс	$\pi$	$x\neq \pi n(n\in \mathbb {Z} )$	$(-\infty ,\infty )$

Ушбу функсиялар даврийлиги туфайли инектив эмас.

Тескари тригонометрик функсиялар

Тескари тригонометрик функсия номлари ва хусусиятлари қуйидаги жадвалда келтириб о'тилган:

Тригонометрик айниятлар

тгх*cтх=1

син²х+cос²х=1

cтгх=cосх/синх

тгх=синх/cосх

Яна қаранг

Манбалар

↑ Рик Пиментелл, Телл Уорри. Cамбридге ИГCСЕ cоре матҳематиcс(4тҳ эдитион). Ҳачетте УК — 275-бет. ИСБН 978-1-5104-2058-8.
↑ Отто Неугебауэр. Қадимги математик астрономия тарихи. Спрингер-Верлаг — 744-бет. ИСБН 978-3-540-06995-9.
↑ Тҳурстон. Гиппархнинг аккордлар жадвали.
↑ Г. Тумер. Птоломейнинг "Алмагест" асари. Принcетон Университй Пресс. ИСБН 978-0-691-00260-6.
↑ Карл Бенжамин Боер. п. 215.
↑ Ж.Л.Берггрен. Ислом математикаси.
↑ Носириддин ат-Тусий. МаcТутор математика тарихи архиви.

Ушбу мақолада Ўзбекистон миллий энсиклопедияси (2000-2005) маълумотларидан фойдаланилган.

Фанлар ҳақидаги ушбу мақола чаладир. Сиз уни бойитиб, Википедияга ёрдам беришингиз мумкин.

[1] Рик Пиментелл, Телл Уорри. Cамбридге ИГCСЕ cоре матҳематиcс(4тҳ эдитион). Ҳачетте УК — 275-бет. ИСБН 978-1-5104-2058-8.

[2] Отто Неугебауэр. Қадимги математик астрономия тарихи. Спрингер-Верлаг — 744-бет. ИСБН 978-3-540-06995-9.

[3] Тҳурстон. Гиппархнинг аккордлар жадвали.

[4] Г. Тумер. Птоломейнинг "Алмагест" асари. Принcетон Университй Пресс. ИСБН 978-0-691-00260-6.

[5] Карл Бенжамин Боер. п. 215.

[6] Ж.Л.Берггрен. Ислом математикаси.

[7] Носириддин ат-Тусий. МаcТутор математика тарихи архиви.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]