D'Alembert prinsipi

Lagranj-d’Alember printsipi sifatida ham tanilgan D’Alember printsipi harakatning asosiy klassik qonunlarining bayonidir. U oʻzining kashfiyotchisi, fransuz fizigi va matematigi Jan le Rond d’Alember sharafiga nomlangan. D’Alembert printsipi inertsiya kuchlarini kiritish orqali statik tizimdan dinamik tizimga virtual ish printsipini umumlashtiradi, bu tizimda qoʻllaniladigan kuchlarga qoʻshilsa, dinamik muvozanatga olib keladi.

Traité de Dynamique, Jan Le Rond d’Alember, 1743 yil. Unda fransuz olimi „D’Alember prinsipi“ deb ham ataladigan harakat miqdori tamoyilini bayon qilgan.

Jan d’Alember (1717-1783)

Bu tamoyil toymasin ishqalanish kabi qaytarilmas siljishlar uchun qoʻllanilmaydi va qaytarilmaslikning umumiy tavsifi talab qilinadi . D’Alember printsipi Gamilton printsipiga qaraganda umumiyroqdir, chunki u faqat koordinatalar va vaqtga bogʻliq boʻlgan golonomik cheklovlar bilan cheklanmaydi, lekin tezliklarga bogʻliq emas.

Prinsip bayoni

Bu printsipga koʻra, massiv zarralar tizimiga taʼsir qiluvchi kuchlar va tizimning oʻzi momentining vaqt hosilalari oʻrtasidagi farqlar yigʻindisi tizim cheklovlariga mos keladigan har qanday virtual joy almashishga nolga teng.  Shunday qilib, matematik yozuvda d’Alember printsipi quyidagicha yoziladi:

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0,$

bu yerda:

• $i$ tizimdagi maʼlum bir zarrachaga mos keladigan oʻzgaruvchini (pastki belgisi orqali) koʻrsatish uchun ishlatiladigan butun son,
• $\mathbf {F} _{i}$ ga qoʻllaniladigan umumiy kuch (cheklash kuchlari bundan mustasno). $i$ — zarracha,
• $m_{i}$ ning massasi hisoblanadi $i$ — zarracha,
• $\mathbf {v} _{i}$ ning tezligi hisoblanadi $i$ — zarracha,
• $\delta \mathbf {r} _{i}$ ning virtual siljishi hisoblanadi $i$ -cheklovlarga mos keladigan zarracha.

Nyutonning nuqta belgisi hosilani vaqtga nisbatan ifodalash uchun ishlatiladi. Yuqoridagi tenglama koʻpincha d’Alembert printsipi deb ataladi, lekin u birinchi marta bu variatsion shaklda Jozef Lui Lagrange tomonidan yozilgan. D’Alemberning hissasi dinamik tizimning umumiyligida cheklash kuchlari yoʻq boʻlib ketishini koʻrsatish edi. Yaʼni umumlashgan kuchlar $\mathbf {Q} _{j}$ cheklash kuchlarini kiritish shart emas. Bu biroz ogʻirroq Gaussning eng kam cheklash printsipiga teng.

Hosil boʻlganlar

Oʻzgaruvchan massali umumiy holat

D’Alember printsipining umumiy bayonotida "tizim momentining vaqt hosilalari " zikr qilinadi. Nyutonning ikkinchi qonuniga koʻra, impulsning birinchi marta hosilasi kuchdir. ning impulsi $i$ -nchi massa uning massasi va tezligining mahsulotidir:

$\mathbf {p} _{i}=m_{i}\mathbf {v} _{i}$

va uning vaqt boʻyicha hosilasi

${\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}+m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}.$

Koʻpgina ilovalarda massalar doimiy boʻlib, bu tenglama quyidagiga kamayadi

${\dot {\mathbf {p} }}_{i}=m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}=m_{i}\mathbf {a} _{i}.$

Biroq, baʼzi ilovalar massalarni oʻzgartirishni (masalan, zanjirlarni yigʻish yoki ochish) va bu holda ikkala shartni ham oʻz ichiga oladi. ${\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i}$ va $m_{i}{\dot {\mathbf {v} }}_{i}$ berish, hozir boʻlish kerak

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i}-{\dot {m}}_{i}\mathbf {v} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$

Doimiy massali maxsus holat

Doimiy massali zarralar tizimi uchun Nyuton qonunini koʻrib chiqing, $i$ . Har bir zarrachaga umumiy kuch:

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}=m_{i}\mathbf {a} _{i},$

bu yerda

• $\mathbf {F} _{i}^{(T)}$ sistema zarralariga taʼsir qiluvchi jami kuchlar,
• $m_{i}\mathbf {a} _{i}$ jami kuchlardan kelib chiqadigan inersiya kuchlaridir.

Inertial kuchlarni chapga siljitish kvazstatik muvozanatni ifodalash mumkin boʻlgan ifodani beradi, ammo bu Nyuton qonunining kichik algebraik manipulyatsiyasi:

$\mathbf {F} _{i}^{(T)}-m_{i}\mathbf {a} _{i}=\mathbf {0} .$

Virtual ishni hisobga olsak, $\delta W$, umumiy va inertsial kuchlar birgalikda ixtiyoriy virtual siljish orqali amalga oshiriladi, $\delta \mathbf {r} _{i}$, tizimning nol oʻziga xosligiga olib keladi, chunki har bir zarracha uchun jalb qilingan kuchlar nolga teng.

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}^{(T)}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Asl vektor tenglamasini ish ifodasi ixtiyoriy siljishlar uchun bajarilishi kerakligini tan olish orqali tiklash mumkin. Umumiy kuchlarni qoʻllaniladigan kuchlarga ajratish, $\mathbf {F} _{i}$ va cheklovchi kuchlar, $\mathbf {C} _{i}$, hosilasi:

$\delta W=\sum _{i}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}-\sum _{i}m_{i}\mathbf {a} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$

Agar oʻzboshimchalik bilan virtual siljishlar cheklash kuchlariga ortogonal boʻlgan yoʻnalishlarda boʻlsa (bu odatda bunday emas, shuning uchun bu hosila faqat maxsus holatlar uchun ishlaydi), cheklash kuchlari hech qanday ish qilmaydi, ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ . Bunday siljishlar cheklovlarga mos kelishi aytiladi. Bu dinamik tizim uchun qoʻllaniladigan kuchlar va inertial kuchlar farqi virtual ish qilmasligini bildiruvchi d’Alember printsipining shakllanishiga olib keladi:

$\delta W=\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-m_{i}\mathbf {a} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0.$

Bundan tashqari, qoʻllaniladigan kuchlar uchun virtual ish printsipi deb ataladigan statik tizimlar uchun mos keladigan printsip mavjud.

Dalamberning inersiya kuchlari printsipi

D’Alember tezlanayotgan qattiq jismni " inertsial kuch " va " inertsial moment " yoki moment deb atalmishlarni qoʻshish orqali ekvivalent statik tizimga aylantirish mumkinligini koʻrsatdi. Inertial kuch massa markazi orqali harakat qilishi kerak va inertial moment har qanday joyda harakat qilishi mumkin. Keyin tizimni aynan shu „inersiya kuchi va momenti“ va tashqi kuchlar taʼsirida boʻlgan statik tizim sifatida tahlil qilish mumkin. Afzalligi shundaki, ekvivalent statik tizimda har qanday nuqta (nafaqat massa markazi) haqida lahzalarni olish mumkin. Bu koʻpincha oddiyroq hisob-kitoblarga olib keladi, chunki har qanday kuch (navbatda) moment tenglamasini qoʻllash uchun tegishli nuqtani tanlash orqali (momentlar yigʻindisi = nol) moment tenglamalaridan chiqarib tashlanishi mumkin. Mashinalarning dinamikasi va kinematikasi asoslari kursida ham bu tamoyil mexanizm harakatlanayotganda uning zvenosiga taʼsir etuvchi kuchlarni tahlil qilishda yordam beradi. Muhandislik dinamikasi darsliklarida bu baʼzan d’Alembert printsipi deb ataladi.

Dinamik muvozanat

D’Alemberning virtual ish printsipi shakli shuni koʻrsatadiki, qattiq jismlar tizimi qoʻllaniladigan kuchlar va inertial kuchlar yigʻindisining virtual ishi tizimning har qanday virtual joyidan siljishi uchun nolga teng boʻlsa, dinamik muvozanatda boʻladi. Shunday qilib, tizimning dinamik muvozanati $n$ bilan qattiq jismlar $m$ umumlashtirilgan koordinatalarni talab qiladi

$\delta W=\left(Q_{1}+Q_{1}^{*}\right)\delta q_{1}+\dots +\left(Q_{m}+Q_{m}^{*}\right)\delta q_{m}=0,$

har qanday virtual siljishlar toʻplami uchun $\delta q_{j}$ bilan $Q_{j}$ umumlashtirilgan qoʻllaniladigan kuch boʻlish va $Q_{j}^{*}$ umumlashgan inersiya kuchidir. Bu holat natija beradi $m$ tenglamalar,

$Q_{j}+Q_{j}^{*}=0,\quad j=1,\ldots ,m,$

quyidagicha deb ham yozilishi mumkin:

${\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j},\quad j=1,\ldots ,m.$

Natijada qattiq jism tizimining dinamikasini aniqlaydigan m harakat tenglamalari toʻplami.

Lagrangian yordamida shakllantirish

d’Alembert printsipi Gamilton printsipining umumlashtirilgan versiyasi sifatida tizimning Lagrangian L = TV nuqtai nazaridan quyidagicha qayta yozilishi mumkin:

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,$

bu yerda:

• $\mathbf {r} =(\mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{N})$

• $\mathbf {F} _{i}$ qoʻllaniladigan kuchlardir

• $\delta \mathbf {r} _{i}$ ning virtual siljishi hisoblanadi $i$ -cheklovlarga mos keladigan zarracha $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$
• kritik egri chiziq cheklovlarni qondiradi $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0$

Lagrangian bilan

$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2},$

d’Alembert printsipining oldingi bayonoti tiklanadi.

Umumlashtirish

Termodinamika

Termodinamikada d’Alember printsipining kengaytmasidan foydalanish mumkin. Masalan, bitta S entropiyaga bogʻliq va doimiy massaga ega boʻlgan Lagranj tomonidan tasvirlangan adiabatik yopiq termodinamik tizim uchun $m_{i}$ kabi

$L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)=\sum _{i}{\frac {1}{2}}m_{i}{\dot {\mathbf {r} }}_{i}^{2}-V(\mathbf {r} ,S),$

quyidagicha yoziladi:

$\delta \int _{t_{1}}^{t_{2}}L(\mathbf {r} ,{\dot {\mathbf {r} }},S,t)dt+\sum _{i}\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}dt=0,$

oldingi cheklovlar qaerda ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0}$ va ${\textstyle \sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}=0}$ entropiyani oʻz ichiga olishi uchun umumlashtiriladi:

• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}+T\delta S=0$
• $\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}+T{\dot {S}}=0.$

Bu yerga $T=\partial V/\partial S$ tizimning harorati, $\mathbf {F} _{i}$ tashqi kuchlar, $\mathbf {C} _{i}$ ichki dissipativ kuchlardir. Mexanik va termal muvozanat tenglamalarini keltirib chiqaradi:

$$m_{i}\mathbf {a} _{i}=-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{i}}}+\mathbf {C} _{i}+\mathbf {F} _{i},\;\;i=1,...,N\qquad \qquad T{\dot {S}}=-\sum _{i}\mathbf {C} _{i}\cdot {\dot {\mathbf {r} }}_{i}.$$

Printsipning odatiy qoʻllanishi termo-mexanik tizimlar, membrana tashish va kimyoviy reaktsiyalarni oʻz ichiga oladi.

$\delta S={\dot {S}}=0$ boʻlgani uchun klassik d’Alember printsipi va tenglamalari tiklanadi.